浙江省衢温5+1联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

这是一份浙江省衢温5+1联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，6}，B＝{1，4，8}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{1，2，4，7，8}B．{4，8}C．{3，4，5，6，8}D．{1}
2．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．1D．
3．（5分）已知，则|z|2＝（ ）
A．B．1C．2D．5
4．（5分）已知m，n，l是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
5．（5分）若α为锐角，且，则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0对任意的x1，且x1≠x2都成立，设a＝f（lg23），b＝f（lg54），，则（ ）
A．b＞a＞cB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．b＞c＞a
7．（5分）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量．在综合实践活动中，某小组自制了一个圆台形雨量收集器（大口向上无盖，不考虑厚度）如图，两底面直径AB＝25cm，CD＝10cm，高为15cm．在一次降雨过程中，利用该雨量器收集的雨水高度是10cm，则该雨量器收集的雨水体积（cm3）为（ ）
A．250πB．C．D．
8．（5分）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）有一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，平均数为2024，则（ ）
A．2024，x1，x2，⋯，x6的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B．2024，x1，x2，⋯，x6的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C．2024，x1，x2，⋯，x6的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D．2024，x1，x2，⋯，x6的极差等于x1，x2，⋯，x6的极差
（多选）10．（6分）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式h＝2sin（ωt+φ），t∈[0，+∞）确定，其中ω＞0，φ∈（0，π]．小球从最高点出发，经过1.8s后，第一次到达最低点，则（ ）
A．
B．
C．t＝2.7s时，小球运动速度最快
D．t＝20s时，小球向下运动
（多选）11．（6分）已知f（x），g（x）的定义域为R，若f（1﹣x）+g（x）＝3，g（﹣2）＝2，且f（x+2）为奇函数，g（x+1）为偶函数，则（ ）
A．f（x）为偶函数B．g（x）为奇函数
C．f（﹣1）＝﹣1D．g（x）关于x＝1对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分共15分。
12．（5分）若二项式的展开式中x3的系数是160，则实数a＝ ．
13．（5分）将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子非空，则不同的放法有 种．
14．（5分）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知等差数列{an}中，a1，a2，16成等比数列，a3＝3a1+a2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，记数列{bn}的前n项和为Sn，求S50的值．
16．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形且∠BAD＝60°，点A1在底面ABCD上的射影为边AD的中点E，点F、G分别为边BC、DD1的中点．
（1）证明：FG∥平面B1BE；
（2）若AA1＝AB，求直线B1C与平面B1BE所成角．
17．（15分）已知．
（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；
（2）当m＞0时，求f（x）的单调区间．
18．（17分）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
（1）若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，写出该生所有选择结果构成的样本空间，并求该考生得正分的概率；
（2）若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；若某考生此题已得正分，求该考生得4分的概率；
（3）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．
19．（17分）已知A（﹣2，0），B（2，0），P（x，y），且∥PA|﹣|PB∥＝2，点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）直线l：y＝kx与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上．
（ⅰ）若△TMN是等边三角形，求实数k的值；
（ⅱ）若|TM|＝|TN|，求△TMN面积的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，6}，B＝{1，4，8}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{1，2，4，7，8}B．{4，8}C．{3，4，5，6，8}D．{1}
【分析】利用补集、交集定义能求出结果．
【解答】解：集合U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，6}，B＝{1，4，8}，
∴∁UA＝{2，4，7，8}，
则（∁UA）∩B＝{4，8}．
故选：B．
【点评】本题考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．1D．
【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
【解答】解：根据题意可知2p＝4，∴p＝2，
∴焦点到准线的距离是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．
3．（5分）已知，则|z|2＝（ ）
A．B．1C．2D．5
【分析】根据模长的性质求解．
【解答】解：由题意，|z|2＝＝＝＝1．
故选：B．
【点评】本题考查复数的模长，属于基础题．
4．（5分）已知m，n，l是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
【分析】根据题意，由直线与直线的位置关系分析A，由直线与平面平行的性质分析B，由直线与平面垂直的性质分析C，由平面与平面垂直的性质分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若m⊥l，n⊥l，则m与n可能平行、相交或异面，A错误；
对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，B错误；
对于C，若m⊥α，n⊂α，由线面垂直的定义，必有m⊥n，C正确；
对于D，若α⊥β，m⊂α，则m与平面β可能平行，也可能相交或者在β内，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直、平行的性质，属于基础题．
5．（5分）若α为锐角，且，则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据α为锐角和sin（）的值，得到的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cs（）的值，然后根据二倍角的正弦函数公式求出sin（2α﹣）的值，再根据诱导公式及正弦函数为奇函数即可得到cs2α的值．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
所以cs（）＝＝，
∴sin（2α﹣）＝2sin（α﹣）cs（α﹣）＝2××＝，
则cs2α＝sin（﹣2α）＝﹣sin（2α﹣）＝﹣．
故选：A．
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用二倍角的正弦函数公式及诱导公式化简求值，掌握正弦函数的奇偶性和单调性，是一道基础题．求出的范围是解本题的关键．
6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0对任意的x1，且x1≠x2都成立，设a＝f（lg23），b＝f（lg54），，则（ ）
A．b＞a＞cB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．b＞c＞a
【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f（x）在R上为减函数，又由lg54＜1＜＜＝lg2＜lg23，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0对任意的x1，且x1≠x2都成立，
则函数f（x）在R上为减函数，
又由lg54＜1＜＜＝lg2＜lg23，
则有f（lg23）＜f（）＜f（lg54），即b＞c＞a．
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及对数的性质，属于基础题．
7．（5分）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量．在综合实践活动中，某小组自制了一个圆台形雨量收集器（大口向上无盖，不考虑厚度）如图，两底面直径AB＝25cm，CD＝10cm，高为15cm．在一次降雨过程中，利用该雨量器收集的雨水高度是10cm，则该雨量器收集的雨水体积（cm3）为（ ）
A．250πB．C．D．
【分析】作出图形，求出圆台型雨水的上底面圆的半径，再根据圆台的体积公式，即可求解．
【解答】解：如图，根据题意可得EB＝，GD＝5，EG＝15，
设SG＝x，则根据题意可知，
∴，∴x＝10，
设FH＝r，则易知，
∴，∴r＝10，
∴该雨量器收集的雨水体积为＝．
故选：B．
【点评】本题考查圆台的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
8．（5分）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据化简整理得出•＝0，由此将化简，可得＝•．根据BC＝2且，得到点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点），以B为原点建立直角坐标系，求出所在圆的方程，设出点A的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出•的最大值，进而得到本题的答案．
【解答】解：由，得＝0，即•＝0，
所以＝（）•＝•﹣•＝•．
因为BC＝2，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，
则MD⊥BC，∠BMC＝，可得BD＝1，MD＝＝，BM＝＝．
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得C（2，0），D（1，0），M（1，），圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝，
设A（m，n），则＝（1﹣m，n），结合＝（2，0），可得•＝2（1﹣m）+0＝2﹣2m，
因为A点在圆M：（x﹣1）2+（y﹣）2＝上运动，
所以1﹣≤m≤1+，可得当m＝1﹣时，2﹣2m＝2﹣2（1﹣）＝，达到最大值．
综上所述，当m＝1﹣时，•有最大值．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算、向量的数量积及其运算性质、圆的方程及其性质等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）有一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，平均数为2024，则（ ）
A．2024，x1，x2，⋯，x6的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B．2024，x1，x2，⋯，x6的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C．2024，x1，x2，⋯，x6的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D．2024，x1，x2，⋯，x6的极差等于x1，x2，⋯，x6的极差
【分析】根据平均数，中位数，标准差和极差的定义逐个判断各个选项．
【解答】解：对于A，因为样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数为2024，
所以x1+x2+…+x6＝6×2024，
所以2024，x1，x2，⋯，x6的平均数为×（2024+x1+x2+…+x6）＝（2024+6×2024）＝2024，
所以2024，x1，x2，⋯，x6的平均数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数，故A正确；
对于B，因为x1，x2，x3，x4，x5，x6的大小顺序不确定，所以2024，x1，x2，⋯，x6的中位数与原数据的中位数大小无法确定，故B错误；
对于C，设样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为s2，
所以2024，x1，x2，⋯，x6的方差为＝×[（2024﹣2024）2+（x1﹣2024）2+…+（x6﹣2024）2]＝×[（x1﹣2024）2+…+（x6﹣2024）2]＝≤s2，
所以2024，x1，x2，⋯，x6的标准差不大于x1，x2，⋯，x6的标准差，故C错误；
对于D，因为样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数为2024，所以2024不是最小的数据，也不是最大的数据（除非所有数据都是2024，此时两组数据的极差都是0，相等），
不妨设x1是最小的数据，x6是最大的数据，
所以样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差为x6﹣x1，
而数据2024，x1，x2，⋯，x6的最小数据是x1，最大数据是x6，
所以数据2024，x1，x2，⋯，x6的极差也是x6﹣x1，
所以2024，x1，x2，⋯，x6的极差等于x1，x2，⋯，x6的极差，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了平均数，中位数，标准差和极差的定义，属于中档题．
（多选）10．（6分）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式h＝2sin（ωt+φ），t∈[0，+∞）确定，其中ω＞0，φ∈（0，π]．小球从最高点出发，经过1.8s后，第一次到达最低点，则（ ）
A．
B．
C．t＝2.7s时，小球运动速度最快
D．t＝20s时，小球向下运动
【分析】根据题意，由t＝0时h＝2sinφ＝2，求出φ的值，即可判断选项A；
求出周期T，即可求出ω，判断选项B；
求函数h（t）的导数，计算h′（2.7），即可判断选项C；
利用周期性即可判断选项D．
【解答】解：由题意知，t＝0时，2sinφ＝2，解得sinφ＝1，又因为φ∈（0，π]，所以φ＝，选项A错误；
因为周期T＝2×1.8＝3.6，所以ω＝＝＝，选项B正确；
由h＝2sin（t+）＝2cst，h′（t）＝﹣sint，h′（2.7）＝﹣sin（×2.7）＝，
所以t＝2.7s时，小球运动速度最快，选项C正确；
t＝20＝3.6×5+1.8+0.2，所以t＝20s时，小球向上运动，选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
（多选）11．（6分）已知f（x），g（x）的定义域为R，若f（1﹣x）+g（x）＝3，g（﹣2）＝2，且f（x+2）为奇函数，g（x+1）为偶函数，则（ ）
A．f（x）为偶函数B．g（x）为奇函数
C．f（﹣1）＝﹣1D．g（x）关于x＝1对称
【分析】由g（x+1）为偶函数，可得g（1﹣x）＝g（1+x），y＝g（x）关于x＝1对称，从而判断D；
由f（1﹣x）+g（x）＝3，可得f（1﹣x）＝f（x﹣1），即有f（x）＝f（﹣x），从而判断A；
用赋值法判断C；
用赋值法可求得g（0）＝4，又由g（x）是定义在R上的奇函数，即可判断B．
【解答】解：因为f（x+2）为奇函数，
所以f（﹣x+2）＝﹣f（x+2），
所以函数y＝f（x）关于（2，0）中心对称，
且f（2）＝0，f（1﹣x）＝﹣f（x+3）；
又因为g（x+1）为偶函数，
所以g（1﹣x）＝g（1+x），
所以y＝g（x）关于x＝1对称，且g（x）＝g（2﹣x），故D正确；
又因为f（1﹣x）+g（x）＝3，
用2﹣x替换x，得f（x﹣1）+g（2﹣x）＝3，
又因为g（x）＝g（2﹣x），
所以f（1﹣x）＝f（x﹣1），
用x替换1﹣x，
得f（x）＝f（﹣x），
所以y＝f（x）是R上的偶函数，故A正确；
由f（﹣x+2）＝﹣f（x+2），
可得f（﹣x）＝﹣f（x+4），
即f（x）＝﹣f（x+4），f（x+4）＝﹣f（x），
所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
所以函数y＝f（x）的周期为8，
在f（1﹣x）+g（x）＝3中，
令x＝﹣2，则有f（3）+g（﹣2）＝3，
又因为g（﹣2）＝2，
所以f（3）＝1，
在f（﹣x+2）＝﹣f（x+2）中，
令x＝1，
则有f（1）＝﹣f（3）＝﹣1，
又因为f（x）为偶函数，
所以f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，故C正确；
在f（1﹣x）+g（x）＝3中，
令x＝0，则有f（1）+g（0）＝3，
又因为f（1）＝﹣1，
所以g（0）＝4，
又因为g（x）的定义域为R，
所以g（x）不为奇函数，故B错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性、周期性，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分共15分。
12．（5分）若二项式的展开式中x3的系数是160，则实数a＝ 2 ．
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数求出结果．
【解答】解：根据二项式的展开式（r＝0，1，2，3，4，5），
当r＝1时，x3的系数为，解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13．（5分）将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子非空，则不同的放法有 36 种．
【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合知识求解．
【解答】解：将4个不同的小球分成3组，有＝6种分组方法，
然后全排列放入3个不同的盒子，
所以不同的放法共有6＝36种．
故答案为：36．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
14．（5分）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ．
【分析】设椭圆的左焦点为F′，连接PF′，QF′，设|PF|＝m，可得m＝a，进而可得|PF|＝a，|QF|＝a，
又＝（+），两边平方可求椭圆C的离心率．
【解答】解：设椭圆的左焦点为F'，连接MF'，F'N，则四边形为F'NFM为平行四边形，
设|MF|＝m，由，，得|FA|＝2m，|NF|＝|F'M|＝3m，
又|MF'|+|MF|＝2a，∴|MF'|＝a，|MF|＝a，
∵，∴∠NFM＝，
在△NFM中，＝（+），∴＝（）2＝（+2•+2），
即c2＝（a2+a2﹣2×a×a×），解得c2＝a2，
∴e＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知等差数列{an}中，a1，a2，16成等比数列，a3＝3a1+a2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，记数列{bn}的前n项和为Sn，求S50的值．
【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
（2）由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a1，a2，16成等比数列，可得＝16a1，即（a1+d）2＝16a1，
又a3＝3a1+a2，即a1+2d＝3a1+a1+d，即有d＝3a1，d≠0，
解得a1＝1，d＝3，
则an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；
（2）＝＝（﹣），
则数列{bn}的前n项和Sn＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣），
可得S50＝（1﹣）＝．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的中项性质和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形且∠BAD＝60°，点A1在底面ABCD上的射影为边AD的中点E，点F、G分别为边BC、DD1的中点．
（1）证明：FG∥平面B1BE；
（2）若AA1＝AB，求直线B1C与平面B1BE所成角．
【分析】（1）由题意可证得四边形DEBF为平行四边形，即证得DF∥EB，进而可证得DF∥平面B1BE，DG∥平面B1BE，再证得平面DFG∥平面B1BE，进而可证得结论；
（2）建立空间坐标系，可得各点的坐标，可得直线B1C的方向向量与平面B1BE的法向量的坐标，可得两个向量的夹角的余弦值，即求出线面的正弦值，进而可得夹角的大小．
【解答】（1）证明：连接DF，因为E，F，G分别为AD，BC，DD1的中点，
所以DE∥BF，且DE＝BF，
所以四边形DEBF为平行四边形，所以DF∥EB，
DF⊄平面B1BE，EB⊂平面B1BE，
所以DF∥平面B1BE，
DG∥BB1，DG⊄平面B1BE，BB1⊂平面B1BE，
所以DG∥平面B1BE，
又因为DG∩DF＝D，所以平面DFG∥平面B1BE，
而FG⊂平面DGF，
所以FG∥平面B1BE；
（2）解：如图，以E为坐标原点，以EA，EB，EA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则E（0，0，0），因为底面是边长为2的菱形且∠BAD＝60°，所以BE＝，
AA1＝AB，所以A1E＝＝＝，
所以A1（0，0，），B（0，，0），B1（﹣1，，），C（﹣2，，0），
所以＝（﹣1，0，﹣），＝（0，，0），＝（﹣1，，），
设平面B1BE的法向量为＝（x，y，z），
则，即，
令z＝，则＝（3，0，），
所以•＝﹣3﹣3＝﹣6，||＝＝2，||＝＝2，
所以cs＜，＞＝＝＝﹣，
设直线B1C与平面B1BE所成的角为θ，θ∈[0，]，
所以sinθ＝|cs＜，＞|＝，
所以θ＝．
即直线B1C与平面B1BE所成的角为．
【点评】本题考查直线和平面平行的证法及用空间向量的方法求线面角的大小，属于中档题．
17．（15分）已知．
（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；
（2）当m＞0时，求f（x）的单调区间．
【分析】（1）根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）根据已知条件，利用导数研究函数的单调性，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
则，
当m＝1时，，，
故所求的切线方程为，即7x﹣y﹣3+ln2＝0；
（2）∵m＞0，
由（1）知，
令f'（x）＝0，解得x＝1或，
当时，即，
在x∈（0，+∞）内，f'（x）≥0，
f（x）单调递增；
当时，即，
在或x∈（1，+∞）内，f′（x）＞0，f（x）单调递增：在内，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，即，
在x∈（0，1）或内，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
在内，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
综上所述：当时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；
当时，f（x）的单调递增区间为，（1，+∞），单调递减为；
当时，f（x）的单调递增区间为，单调递减为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
18．（17分）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
（1）若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，写出该生所有选择结果构成的样本空间，并求该考生得正分的概率；
（2）若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；若某考生此题已得正分，求该考生得4分的概率；
（3）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．
【分析】（1）根据样本空间的定义写出得正分时所有选择结果构成的样本空间，再利用古典概型的概率公式求解；
（2）利用条件概率公式求解；
（3）设方案一、二、三的得分分别为X，Y，Z，分别求出E（X），E（Y），E（Z），比较大小即可．
【解答】解：（1）由题意，该考生得正分时所有选择结果构成的样本空间为；{A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD}，
设A1＝“某题的答案是BD，该考生得正分”，
则得正分的事件为：B，D，BD，
所以；
（2）设A2＝“某题的答案是ABD，该考生得正分”，
则得正分的事件为：A，B，D，AB，AD，BD，ABD，
所以，
设A3＝“某题的答案是ABD，该考生得4分”，
则得4分的事件为：AB，AD，BD，
所以，
所以该考生此题已得正分，则该考生得4分的概率；
（3）设方案一、二、三的得分分别为X，Y，Z，
①因为X的所有可能取值为2，3，
且，，
所以X的分布列为：
则；
②Y的所有可能取值为0，4，6，
且，，，
所以Y的分布列为：
所以；
③Z的所有可能取值为：0，6，
且，，
所以Z的分布列为：
则，
因为E（X）＞E（Y）＞E（Z），
所以以数学期望为依据选择方案一更恰当．
【点评】本题主要考查了样本空间的定义，考查了古典概型的概率公式和条件概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19．（17分）已知A（﹣2，0），B（2，0），P（x，y），且∥PA|﹣|PB∥＝2，点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）直线l：y＝kx与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上．
（ⅰ）若△TMN是等边三角形，求实数k的值；
（ⅱ）若|TM|＝|TN|，求△TMN面积的取值范围．
【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解；
（2）（i）由直线MN，OT分别与双曲线联立，得到M，T的横坐标，进而求得|OM|＝，
|OT|＝，再根据△TMN为等边三角形，得到|OT|＝|OM|即可求解；
（ii）根据S△TMN＝|MN||OT|＝|OM||OT|＝3，再利用换元法求得S的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据双曲线的定义，可得C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
设其方程为﹣＝1，则a＝1，c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝3，
故C的方程为x2﹣＝1；
（2）显然，直线MN，OT的斜率均存在且不为0，设直线MN，OT的斜率分别为k，﹣，
则直线MN的方程为y＝kx，直线OT的方程为y＝﹣x，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（3﹣k2）x2＝3，
∴3﹣k2＞0，∴0＜k2＜3，且x＝，
∴|OM|＝|x1|＝，
同理可得：k2＞，且|OT|＝，
（i）若△TMN为等边三角形，则|OT|＝|OM|，
即＝3，
∴k＝﹣；
（ii）若|TM|＝|TN|，则OT⊥MN，
∴S△TMN＝|MN||OT|＝|OM||OT|＝3，
设t＝k2+1，＜t＜1，故S＝3＝3，
设u＝，则＜u＜，∴S＝3，
∵y＝﹣16u2+16u﹣3在（，）上单调递增，（，）上单调递减，
∴y∈（0，1]，∴S∈[3，+∞），即△TMN的面积的取值范围为[3，+∞）．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于难题．
X
2
3
P

Y
0
4
6
P


Z
0
6
P