浙江省衢温“5+1”联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

这是一份浙江省衢温“5+1”联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，已知复数满足为的共轭复数，则，已知实数，且，则等内容，欢迎下载使用。

高一年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共8页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．2D．
3．如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A．4B．8C．D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．在同一直角坐标系中，函数且的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数为偶函数，对任意的，满足，记，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数满足为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
11．设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有则成立，则（ ）
A．或B．关于直线对称
C．为奇函数D．
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在中，角所对边分别是，若，则________．
13．已知点在以点为圆心的圆上，且，则的最大值是________．
14．在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的值域．
16．（本小题满分15分）
在中，角所对边分别是，且．
（1）求；
（2）若，求的值及边上的高．
17．（本小题满分15分）
已知．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值；
（3）求的最小值．
18．（本小题满分17分）
已知圆锥的底面半径，高．
（1）求圆锥侧面展开图圆心角（用弧度表示）；
（2）球在圆锥内，圆锥在球内，
（ⅰ）求球的表面积的最大值；
（ⅱ）求球与球体积之比的最小值．
19．（本小题满分17分）
设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．于是根据定义若为区间上的下凸函数，则对任意的，有；若为区间上的上凸函数，则对任意的，有．
（1）已知函数，
求证：（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；
参考公式：
（2）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求的取值范围．
2023学年第二学期衢温“5+1”联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由题意得
令
则
函数的单调增区间为
（2）
则
则
16．解：（1）法一：
因为，所以
法二：
在中，所以
因为，所以
（2）因为，则
由于，则
则
所以
．
则
（其它方法请酌情给分）
17．解：（1）
（2）
（3）法一：记，
则
根据余弦定理得
则，即
则
所以最小值为
（言之有理即可）
法二：
当时，取得最小值
18．解：（1）记圆锥的母线长为
则
则
（2）（ⅰ）当球的表面积最大时，此时球为圆锥的内切球
记球的最大半径为，如图画出截面图，则
所以．
所以球的表面积的最大值为
（ⅱ）球与球体积之比最小，即球体积最小，球体积最大
如图所示，以为直径的球可以包含圆锥，且此时为能包含圆锥的最小球，
记球的最小半径为，则
法一：则球的最小体积为
由（ⅰ）球的最大体积为．
所以球与球体积之比的最小值为
法二：
所以球与球体积之比的最小值为
19．解：（1）（ⅰ）
则
（ⅱ）令，则
所以，即函数为下凸函数
（2）因为函数在区间内为上凸函数
则对任意的，有恒成立
因为
则
因为
所以 题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
A
D
A
B
C
题号
9
10
11
答案
BCD
AC
ABD