浙江省衢温“5+1”联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

这是一份浙江省衢温“5+1”联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题，共13页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，设，，，则，已知直线，关于函数的描述正确的是等内容，欢迎下载使用。

数学试题
命题：浙江省开化中学 程有弟 李承法 张小臣 审题：衢州三中 陈旭
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知圆：与圆：，则“”是“圆与圆外切”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（ ）
A.B.
C.D.
5.设，，，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知圆雉底面半径为1，母线长为2，则该圆雉的外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
7.超市举行回馈顾客有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后可参加抽奖活动，抽奖原则是：从装有4个红球、6个黄球的甲箱和装有5个红球、5个黄球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，得奖金20元；若只有1个红球，则获二等奖，得奖金10元；若没有红球，则不获奖.现某顾客有3次摸奖机会，则该顾客3次摸奖共获得40元奖励的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线：，圆：，下列说法正确的是（ ）
A.圆的圆心为，半径
B.直线与圆相交且平分圆的面积与周长
C.若直线在两坐标轴上的截距相等，则
D.若直线的倾斜角为，则
10.关于函数的描述正确的是（ ）
A.函数图象的一条对称轴为直线
B.函数在上单调递增
C.函数在上有2个零点
D.将的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称
11.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则该图形可以完成的所有无字证明为（ ）
A.B.
C.D.
12.如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.若保持，则点在底面内运动路径的长度为
B.三棱雉体积的最大值为
C.若，则二面角的余弦值的最大值为
D.若则与所成角的余弦值的最大值为
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13.已知平面上三点，，，则在上的投影向量的坐标为______.
14.如图长方体中，，，上底面的中心到平面的距离是______.
15.设是定义在上的奇函数，且，若，则______.
16.已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
（1）求角的值；
（2）若，且，求的面积.
18.（12分）某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表：
（1）估计本村的贫困户的年收入的众数、第75百分位数和平均数；
（2）用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在和的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在千元的概率；
19.（12分）已知在梯形中，，，，，为中点.
（1）求直线的方程；
（2）求的外接圆的方程及该圆上一点到点的距离的最小值.
20.（12分）函数，.
（1）当时，总有成立，求实数的取值范围；
（2）若，对，，使得，求实数的取值范围.
21.（12分）如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示.
（1）求证：；
（2）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
图1图2
22.（12分）已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（3）以为圆心4为半径作圆，过作直线交圆于、两点，求四边形的面积的最小值及取得最小值时直线的方程.
衢温“5+1”联盟2022学年第一学期高二年级期中联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
三、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分）
13.14.15.16.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17.解：（1）∵，∴
∵，∴.
∴，∴，∴
（2）∵，∴.
∴
由，得
又，所以解得，
∴
18.解：（1）众数为；
由于前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为
∴第75百分位数在第4组中，
设第75百分位数为，则有：，解得：，
即第75百分位数为13.5；
（2）由分层抽样比例为，所以这在和的贫困户两组中所抽取的人数分别为3，2.
记年收入在的3名贫困户分别为，，，年收入在的2名贫困户分别为，，
则从中随机抽取2户的所有可能结果为：，，，，，，，，，共10种，
其中抽到至少有一名在的贫困户的可能结果：，，，，，，有7种，
故年收入在的贫困户至少有1人被抽到的概率：
19.解：（1）因为梯形，，故，
所以，
又直线过点，
所以直线的方程为：，即
（2）设点，则①
又由，得②
联立①②，解得或（舍，∵此时四边形为平行四边形）
即，从而中点，又，所以，
即为直角三角形，所以的外接圆圆心为的中点，半径，
所以外接圆方程为
由，
得的外接圆的方程及该圆上一点到点的最小值为
（设的外接圆方程为，则，所以的外接圆方程为.求圆方程这部分给3分）
20.解：（1）方法一：由得，
当时，此时；
当时，，
∵，∴，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
∴
方法二：对恒成立对恒成立，
设，，对称轴为，
①当，即时，只需，符合题意；
②当，即时，只需，故；
③当，即时，只需，
又，无解.
综上所述，.
（2）记，，
由题意得
又，当时，等号成立，∴
∵，∴在上单调递增
∴，∴.
∵，∴，即
又，∴
21.证明：（1）在图1连接交于点，则在图2中，
∵、都是等边三角形，
∴，
∵
∴直线平面
∵直线平面，
∴.
图1图2
（2）解法一
假设存在点，符合题意.
设，则，则在中，由，
由余弦定理得，
由（1）得直线平面，又，∴直线平面，
∵平面，∴平面平面
作，垂足为，则平面，
在，由，，
所以
图3
如图3，取中点，连接，，
由，得四边形为平行四边形，
因为平面，所以平面，
则直线与平面所成角为，且.
由已知，∴
由，得
在中，设，由余弦定理得
即，解得或
所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，
此时或
解法二（等体积法）：
设，则，
则在中，由，，由余弦定理得，
作，垂足为，连接，得，∴
由（1）得直线平面，又，∴直线平面，
∴，所以是直角三角形，
所以的面积为，
设点到平面的距离为，
由得，得，
设直线与平面所成角为，则，所以
所以，得，
在中，设，由余弦定理得
即，解得或
所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，
此时或
解法三（向量法） 由解法一知，如图3，以的中点为原点，，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，所以，
因此，，
设平面的法向量为，则
由得，
取法向量，
设存在点，，满足题意，
则，
所以，
设直线与平面所成角为，则，所以
所以
，
解得，
所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，
此时或
22.【解析】（1）根据椭圆定义知周长为，
依题意有，
从而，
故椭圆的方程为
（2）设：，，，
由，
则，
所以
设线段中点坐标为，则，
即设线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为：，
令，当时，与轴重合，不合题意；
当时，得，即点，
所以，
所以，即存在满足题设
（3）直线：，即，
圆心到直线的距离为，
则弦的长：，
所以，
设，则，且，
所以，
易知在单调递增，
所以当，即时，，此时直线：
收入（千元）
频数
15
10
35
20
10
10
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
D
C
B
C
B
A
D
9
10
11
12
BD
AC
ACD
ABD