第十八章平行四边形单元自测题

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第十八章 平行四边形 单元自测题一、单选题1．如图，£ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（　　）A．10 B．8 C．7 D．62．如图， , 两点分别位于一个池塘的两端，小超想测量 , 间的距离，但不能直接到达，他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达 , 的点 ,找到 ， 的中点 , ，并且测出 的长为 ，则 , 间的距离为（　　） A． B． C． D．3．如图，矩形 中，对角线 交于点 ，如果 ，那么 度数是（　　） A． B． C． D．4．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（　　） A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm5．下列命题中是真命题的是(　　) A．四个角相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线相等的菱形是正方形6．如图，四边形OABC是正方形，若点B的坐标为（0， ），则点A的坐标是（　　） A． B． C．（1，1） D．7．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80°8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（　　）A．2 B．4 C． D．9．下列命题中正确的是（　　）A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的平行四边形是矩形C．两边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形10．如图所示，点是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是、．若，，则的长是（　　）A．14 B．10 C．8 D．6二、填空题11．一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连结各边中点所得三角形的周长为　 　.12．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为　 　．13．如图，在 中， ，点D为 上一动点（不与点C重合），以 ， 为一组邻边作平行四边形 ，当 的值最小时，平行四边形 的周长为　 　.14．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=　 　厘米. 三、解答题15．如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F.求证：OE=OF16．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．17．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，交于F，垂足为E，求的度数．18．如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积。四、综合题19．如图，矩形ABCD，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE于F.（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.20．如图，在Rt中，，D是的中点，E是的中点，过点A作AF//BC交延长线于点F．（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形；（3）若，菱形的面积为10，求的长．21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线交于点E，连接OE交CD于点F．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若AC＝12，∠DOC＝60°，求菱形OCED的面积．22．已知平行四边形 中, ,垂足为 与 的延长线相交于 ,且 ，连接 ； （1）如图 ,求证:四边形 是菱形； （2）如图 ,连接 ,若 ,在不添加任何辅助线的情况下,直接写出图 中所有面积等于 的面积的钝角三角形. 23．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为 ，请直接写出△ACC′的面积最大值． 答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故答案为：D．【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，再利用三角形三边的关系求解即可。2．【答案】C【解析】【解答】∵D,E分别是 ， 的中点 ∴DE是△ABC的中位线，∵DE=8m，∴AB=2DE=16m，故答案为：C.【分析】根据三角形的中位线即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA= AC，OD= BD，AC=BD，∴OA=OB，∴∠OAD=∠ODA=30°，∵∠AOB=∠OAD+∠ODA=60°．故答案为：C．【分析】只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．4．【答案】D【解析】【解答】解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面， ∴OD是△ABC的中位线，∴AC=2OD=2×50=100cm．故选：D．【分析】判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD．5．【答案】D【解析】【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，故A不正确，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B不正确，不符合题意；C、相邻两边相等的平行四边形是菱形，故C不正确，不符合题意；D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D正确，符合题意.故答案为：D.【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理，逐项进行判断，即可得出答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形OABC是正方形，∴对角线相等垂直平分，每一条对角线平分一组对角，∴点A的纵横坐标相等，∵点B的坐标为（0， ），∴点A的坐标是 ．故答案为：A．【分析】根据点B的坐标可知OB的长，再利用等腰直角三角形的性质求解即可。7．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°， ∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°．故选C．【分析】在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．8．【答案】B【解析】【分析】本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度。因为在矩形ABCD中，所以AO=AC= BD=BO，又因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO=AB=2，所以AC=2AO=4．故选B.9．【答案】B【解析】【解答】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，故本选项错误．B、两条对角线相等的四边形是矩形，故本选项正确．C、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误．D、对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形，故本选项错误．故选B．【分析】两组对边平行的四边形是平行四边形；两条对角线相等的四边形是矩形；邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形．10．【答案】B【解析】【解答】连接CE，如图：四边形ABCD是正方形，，∠C=90°，在中，，，∵EF⊥BC ， EG⊥CD ，∴∠EGC=∠EFC=∠C=90°，∴四边形EFCG为矩形，∴EF=CG，，，，故答案为：B．【分析】连接CE，先利用“SAS”证出，可得AE=CE，再证出四边形EFCG为矩形，可得EF=CG，再利用勾股定理求出即可。11．【答案】7.5【解析】【解答】解：因为三角形的三边长分别为4，5，6，∴连接这个三角形三边中点所得的三角形的三边是此三角形的三条中位线，∴三角形三边中位线分别为：2，2.5，3．∴顺次连接三角形各边中点所得到的三角形的周长=2+2.5+3=7.5．故答案为：7.5．【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，易得连接这个三角形三边中点所得的三角形的三边是此三角形的三条中位线，即可得知所得的三角形的周长是原三角形周长的一半．12．【答案】6【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，∴BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，故△ABC的周长=AB+BC+AC=2（DF+FE+DE）=12，则DF+FE+DE=12×=6．即△DEF的周长为6，故答案为：6．【分析】根据三角形中位线的性质可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可。13．【答案】4+ 【解析】【解答】解：当DE⊥AE时，DE取得最小值，设此时CD=x，∵四边形ADCE是平行四边形，∴CD=AE，AD=CE，BC∥AE，∵∠B=90°，DE⊥AE，∴四边形BAED是矩形，∴BD=AE，∴BD=CD=x，∵BC=BD+CD，BC=4，∴BD=CD=2，∵AB=3，∠B=90°，∴AD= ，∴当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为：2+ +2+ =4+ .故答案为：4+ .【分析】当DE⊥AE时，DE取得最小值，设CD=x，根据平行四边形的性质可得CD=AE，AD=CE，BC∥AE，推出四边形BAED是矩形，得到BD=AE，则BD=CD=x，易得BD=CD=2，利用勾股定理求出AD，据此不难求出平行四边形ADCE的周长.14．【答案】3【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米。∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米。∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线。∴EF= AB=3厘米。【分析】由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，所以OA+OB=（AC+BD），再根据三角形OAB的周长=OA+OB+AB=18可求得AB的长，由三角形的中位线定理可得EF=AB可求解。15．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， OA=OC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，∠EAO=∠FCO，OA=OC,∠AEO=∠CFO∴△AEO≌△CFO﹙ASA﹚ ∴OE=OF【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA=OC，求出∠EAO=∠FCO，根据ASA推出△AEO≌△CFO，即可得出答案.16．【答案】证明：连接AC，交BD于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．又∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF．又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．【解析】【分析】连接AC，交BD于点O，再根据平行四边形的性质可知OA=OC，OB=OD，再利用角平分线互相平分的四边形是平行四边形的判定方法证明即可。17．【答案】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∵，∴．∵，∴．∴．∵，，，∴，∴，∴．【解析】【分析】先根据求出，利用角的运算求出，再结合，可得，最后利用角的运算求出即可。18．【答案】解：∵ ∠1=∠2，∴ AD∥BC，∴ △CAD和△ABC的高相等，∵ AD=2BC，∴S△CAD=2S△ABC=2×3=6.【解析】【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC， 得出△CAD和△ABC的高相等，根据题意得出S△CAD=2S△ABC，即可得出答案.19．【答案】（1）解：AD=CF （2）证明： 矩形ABCD， DE=AB， CF⊥DE， 【解析】【分析】 （1）（2）由矩形的性质结合已知条件得AB=CD=DE，∠A=∠DFC=90°，AB∥CD，由平行线性质得∠CDF=∠AED，证明△DAE≌△CFD，据此可得结论.20．【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）证明：由（1）得：△AEF≌△DEB，∴AF=DB，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BC=CD，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：∵D是的中点，∴，∵，∴，∵，即，∴，∴；【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；（2）先求出 四边形ADCF是平行四边形， 再求出 AD=BC=CD， 最后证明即可；（3）先求出 ， 再利用三角形的面积公式和勾股定理计算求解即可。21．【答案】（1）证明：∵OCDE，ODCE，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝12，∴OC＝OD＝AC＝6，∵∠DOC＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝6，∵四边形OCED是菱形，∴∠DFO＝90°，∠DOF＝∠DOC＝30°，∴DF＝3，在Rt△DFO中，根据勾股定理得，OF＝＝3，∴OE＝2OF＝6，∴菱形OCED的面积为DC•OE＝＝18．【解析】【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再结合OC=OD，即可得到四边形OCED是菱形；（2）先求出DC和OE的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可。22．【答案】（1）证明： 四边形 为平行四边形 四边形 为平行四边形 四边形 为菱形（2）【解析】【分析】（1）根据题意可证明AE=BC且AE∥BC，得出四边形ACBE为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出AE=AC，从而可证明四边形ACBE是菱形；（2）由于△DAC与△DOC同底等高，△AEB与△DOC是等底等高，△ACB与△DOC是等底同高，△DEO与△DOC等底同高，所以这四个三角形与△DOC是面积相等，又因为∠EAC＜90°，所以这四个三角形都是钝角三角形，故直接写出即可.23．【答案】（1）解：由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE， 在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝ ∠ADC＝45°（2）解：结论：BP+DP＝ AP， 理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵ ，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'＝ AP；（3）△ACC′的面积最大值为 ﹣1 【解析】【解答】（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝ AC•C'G， Rt△ABC中，AB＝BC＝ ，∴AC＝ ＝2，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD＝C'D＝ ，OD＝ AC＝1，∴C'G＝ ﹣1，∴S△AC'C＝ AC•C'G＝ ＝ ﹣1．【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝ ∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积