九年级数学下册专题15三角函数中的最值模型之胡不归模型(原卷版+解析)

这是一份九年级数学下册专题15三角函数中的最值模型之胡不归模型(原卷版+解析)，共47页。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
例2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．

例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
例5．（2023.广西九年级期中）如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
例7．（2022·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；
课后专项训练
1．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
2．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．
3．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．
4．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .

5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
6．（2023.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ．
7．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
8．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________．
9．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
10．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．
（1）写出中点D的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

11．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，．①求的值；②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．

12．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．
13．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.
（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,
①求证：；②若，，求的度数．
（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．①当时，求的长；②直接写出的最小值．
14．（2023.上海九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接． ①求的周长为最大值时点P的坐标；②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．
15．（2023·重庆·校联考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．
(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；
(2)如图②，若∠CDH+∠BFD∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：
(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．
16．（2023·重庆沙坪坝·九年级校联考期中）已知，在中，，，E是边上一点．
(1)如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积；(2)如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．证明：；(3)如图3，已知，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最大值时，请直接写出的值．
专题15 三角函数中的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，
即最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
例2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．

【答案】/
【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的长度便可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，∴，
在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，∴，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，∴，∴，，
∴，∴的最小值为：，
∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．
例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．
【详解】解：过作，菱形，，
，，即为等边三角形，，
在中，，，当、、三点共线时，取得最小值，
，，，
在中，，则的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
【答案】0
【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作于，
∵四边形是正方形，，，的最小值为0，
∵，∴的最小值为0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．
例5．（2023.广西九年级期中）如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，
作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，
在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，
∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，
在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，
∴DB+OD的最小值为，故选：B．
例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，
设，则,∵，∴，∴，∴，
∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，
∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
例7．（2022·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；(3)∠QAC的正弦值为
【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则，根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值；（3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可．
（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108°∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36°
∵DE垂直平分AB∴AD = BD∴∠B =∠BAD = 36°∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B∴△DBA∽△ABC∴直线AD是△ABC的自相似分割线．
（2）如图，连接，，
垂直平分AB，
当点与重合时，,此时最小，
，
设，则
解得：
PA+PC=
当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；
（3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，
，由（2）知，
平分
点落在上时，点与点重合，
即此时的值最小，最小值为
∠QAC的正弦值为
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．
例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，∴ ，
则最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；
【答案】（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为；
【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度．
【详解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），
令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2），
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D，
，解得，∴直线BD的解析式为y＝x+1．
（2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，
设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点H为（t， t+1），
∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PH最大，此时点P为（，），当PH最大时，△PDF的面积也最大．
∵直线BD的解析式为y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），
在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝
过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，
∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，
当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，
∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合，
令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3，），∴PM＝﹣＝，∴点G（，），
∴点G（，），PG﹣GE的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强．
课后专项训练
1．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，

当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，
∴，∴，∴直线PD的解析式为；
如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，
∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴，由轴对称的性质可知AP=GP，∴，
∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得，
∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，
∴的最小值为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
2．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．
【答案】3
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;
∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;
∵AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,
PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴AP+PD的最小值为3.故答案为：3.
【点睛】本题考查菱形性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.
3．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．
【答案】4
【分析】由四边形是菱形，根据已知线段长度，将转化，再根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点M，过点M作于点H，过点A作于点G，交于点P，
四边形是菱形，边长为5，，
，，，，
，，
，，，，，
，即，，
当A，P，G三点共线且时，取最小值，最小值为，
菱形的面积，，
的最小值是4．故答案为：4．
【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，将转化为是解题的关键．
4．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .

【答案】
【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点，
∴，∴，
∵两点之间线段最短，∴当共线时，的值最小，即的最小值为，
∵，，，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴，，∵，∴，
∴，，
∴，∴，故答案为．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
【答案】6
【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案．
【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），
，
此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．
6．（2023.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ．
解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，
故答案为：
7．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，
作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴，∴，∴，∴是等边三角形，
∵，∴，∵CH⊥AB，∴，
∴，
∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，，是等边三角形，∴，，
∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
8．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________．
【答案】3
【分析】过点作的垂线，垂足为，过点作，根据已知条件求得的长，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，当时，最小，股定理求得的长即可求解．
【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，过点作，

中，
，
如图，当时，最小，最小值为
的最小值为．故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，转化线段是解题的关键．
9．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4．
10．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．
（1）写出中点D的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．
【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB计算即可．
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题．
【详解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．
∵OD=DB，∴D(，2)．∵y=经过D(，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=．
（2）如图①中，连接OE，OF．由题意E(，4)，F(3，1)，

∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，
∴BH==2，∴sin∠CBH==．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．
∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．
∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，
∴sin∠JOD=，∴NJ=ON•sin∠NOD=ON，∴NH+ON=NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值=HK的长．
∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ON是最小值为4．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
11．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．

(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，．①求的值；
②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．
【答案】(1)见解析(2)①；②t的最小值为3
【分析】（1）根据矩形的性质可得，折叠的性质可得，即可求证；
（2）①连接交于点M，作交的延长线于H，根据菱形的性质得出，，，通过证明四边形是矩形，得出， ，则，根据勾股定理得出最后根据，即可求解；②根据题意得出点Q的运动时间 ，连接，过点P作于H，则，进而得出，根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，t有最小值，t的最小值为的值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，
∵关于的对称图形为，∴，∴四边形是菱形．
（2）解：①如答图1中，连接交于点M，作交的延长线于H．

∵四边形是菱形，∴，，
∵，∴为中位线，∴，
∵，∴四边形是矩形，
∴， ，∴，
在中，∴
②由题意得：点Q的运动时间
如答图2中，连接，过点P作于H，
由①，得
过点O作于M．如答图2 根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，
t有最小值，t的最小值为的值， 又所以t的最小值为3．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，是中考压轴题．
12．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
（2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
（3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于．

∵，∴．在中，．
∵，∴．∴点到的距离为．
（2）如图，连接，过点作于，过点作于．
∵，∴的最小值等于的长，
∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，
∴的最小值等于的长，∵，∴．
在中，．
∵，∴．
即的最小值为；故答案为：
（3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，
在中，，∴，
∴，∴的最小值等于，
∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，
∴的最小值等于，
∵四边形是矩形，∴，
∴，∴，即的最小值等于．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
13．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.
（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,
①求证：；②若，，求的度数．
（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．①当时，求的长；②直接写出的最小值．
【答案】（2）①证明见解析；②30°；（3）①AE的长为或；②．
【分析】（2）①由矩形性质得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根据勾股数得BC2+EC2=AC2，又因为AD=BC，即得CE=CD．②设∠CED=α，根据∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三个内角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE．
（3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE=CD=5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②在CB上截取CH= ，利用两边对应成比例及夹角相等构造△ECH∽△BCE，把BE转化为EH，所以当点A、E、H在同一直线上时，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．
【详解】解：（2）①证明：∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CA2=CB2+CE2
∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=90°
∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2∴CB2+CE2=CB2+CD2∴CE=CD
②设∠CED=α，则∠CDE=∠CED=α∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α
∵∠AEC=135°∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α
∵DA=DE∴∠DAE=∠DEA=135°-α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°
∴2（135°-α）+（90°-α）=180°解得：α=60°∴∠ADE=90°-60°=30°
（3）①∵矩形ABCD中，AB=5，BC=8∴AD=BC=8，CD=AB=5
∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CE=CD=5
i）如图1，若DE=DA，则DE=8
过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N
∴∠AME=∠MND=90°∴四边形AMND是矩形
∴MN=AD=8，AM=DN设AM=DN=x，则CN=CD-DN=5-x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2∴82-x2=52-（5-x）2解得：x=
∴EN= ，AM=DN=∴ME=MN-EN=8-,
∴Rt△AME中，AE=
ii）如图2，若AE=DE，则E在AD的垂直平分线上

过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q∴AP=DP=AD=4，∠APQ=∠PQC=90°
∴四边形CDPQ是矩形∴PQ=CD=5，CQ=PD=4
∴Rt△CQE中，EQ=＝3∴PE=PQ-EQ=2
∴Rt△APE中，AE=
iii）如图3，若AE=AD=8，则AE2+CE2=AD2+CD2=AC2∴∠AEC=90°
取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上
∴点E也在⊙O上∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意
综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或．
②在CB上截取CH= ，连接EH ∴ ,∵∠ECH=∠BCE∴△ECH∽△BCE
∴ ,∴EH=BE∴AE+BE=AE+EH
∴当点A、E、H在同一直线上时，AE+BE=AH取得最小值
∵BH=BC-CH=8-＝ ,∴AH= ∴AE+BE的最小值为．
【点睛】此题考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，矩形的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程和一元二次方程，圆的定义和圆周角定理．解题关键是对新定义概念的性质运用，第（3）①题等腰三角形的分类讨论需数形结合把图形画出后再解题，②可利用特殊位置试算得到最小值，计算过程较繁琐复杂．
14．（2023.上海九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接． ①求的周长为最大值时点P的坐标；②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．
【答案】（1） ；（2）①；②的最小值为10，此时点H的坐标为
【分析】（1）先求出点C的坐标，可得到n，进而求出点B的坐标，再将点A、C的坐标代入，即可求解；
（2）①设点P的坐标，并表示出点E的坐标，从而得到PE，再根据△PFE∽△BOC，根据相似三角形的性质，即可求解；
②如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， 从而得到 ， ，从而得到当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，然后证得点P、O、M三点共线，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过y轴上的点C，
∴当 时， ，∴点 ，将点 ，代入，得： ，
∴直线BC的解析式为 ，当 时， ，∴点B（4,0），
将点，B（4,0），代入，得：
，解得： ，∴抛物线解析式为 ；
（2）①设 ，则 ，
∴ ，设△PEF的周长为m，
∵，∴∠PEF=∠BCO，∵∠PFO=∠BCO=90°，∴△PFE∽△BOC，∴ ，
∵点B（4,0）， ，∴ ，
∴ ，∴，
∴，
∴当 时，m最大，此时 ，即的周长为最大值时点P的坐标为；
②抛物线的对称轴为 ，
如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°，
∴ ， ，
∴，
∴当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，
∵∠MGO=60°，∴∠MOG=30°，∵，∴ ， ，
∴∠POB=60°，∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°，∴点P、O、M三点共线，
设直线AC的解析式为 ，∵ ，
∴ ，解得： ，∴直线AC的解析式为 ，
∵，∴可设直线BG的解析式为 ，
把点B（4,0），代入得： ，∴直线BG的解析式为 ，
∴点 ，∴ ，∴，∴PM=10，
∴的最小值为10，∵∠POB=60°，抛物线对称轴为 ，
∴此时点H的纵坐标为 ，
∴的最小值为10，此时点H的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
15．（2023·重庆·校联考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．
(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；
(2)如图②，若∠CDH+∠BFD∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：
(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．
【答案】(1)2(2)CHAD，证明见解析(3)存在，2
【分析】（ 1）解斜三角形BCD可求得结果；（ 2）作HN//AB交AC于N，作NM⊥BC于M，求得∠C＝∠NHC＝30°，于是CH＝2HMHN，由条件推出∠BED＝∠BAD＝60°，进而证明△ABD≌△NDH，进一步可求得结果；（ 3）作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O，确定点P在⊙O上运动，作∠BCR＝30°，作HN⊥CR，可得HN，从而得出PH+HN最小时，P、H、N共线，且PHN过点O，作OQ⊥CR于Q交AB于T，作BT⊥OQ于T，解Rt△BOT，Rt△BCR，进一步求得结果．
【详解】（1）如图1，
作DM⊥BC于M，∴∠BMD＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，
∴∠ABF＝∠FBC＝15°，∴∠ABD＝∠ABF＝15°，∴∠DBM＝45°，
∴DM＝BD•sin∠DBM＝2•sin45°，∴CD＝2DM＝2；
（2）CHAD，理由如下：如图2，作HN//AB交AC于N，作NM⊥BC于M，
∴∠DNH＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠NHC＝∠DNH﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，
∴∠C＝∠NHC＝30°，∴CH＝2HM＝2•（HN•cs∠NHC）＝2•（HN•cs30°）HN，
∵∠CDH+∠BFD∠DEF，∠CDH+∠BFD+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝120°，∴∠BED＝∠BAD＝60°，
∵∠AGD＝∠BGE，∴∠ADG＝∠ABF＝∠ABD，
∵∠DBH＝∠ABC+∠ABD＝30°+∠ABD，∠BHD＝∠C+∠ADG＝30°+∠ABD，
∴∠DBH＝∠DHB，∴DH＝BD，∴△ABD≌△NDH（AAS），∴HN＝AD，∴CHAD；
（3）如图3，作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O，
∴点P在⊙O上运动，作∠BCR＝30°，作HN⊥CR于N∴HN
∴PH+HN最小时，P、H、N共线，且PHN过点O，
故作OQ⊥CR于Q交AB于T，作BT⊥OQ于T，
∵∠ABC＝∠BCR＝30°，∴AB//CR，∴OQ⊥BT，
作OB的垂直平分线交OT于M，∴OM＝BM，设BT＝x，
∴OM＝BM＝2BT＝2x，MT，∴（）2+x2＝22，
∴x，∴BT＝（）x，
∵TQ＝BRBC（），∴OQ，∴P′Q＝OQ﹣OP′2，
∵2PH+CH＝2（PHCH）∴2PH+CH的最小值是：24．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟悉“定弦对定角”，“胡不归”等模型及较强的计算能力．
16．（2023·重庆沙坪坝·九年级校联考期中）已知，在中，，，E是边上一点．
(1)如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积；(2)如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．证明：；(3)如图3，已知，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最大值时，请直接写出的值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）证明，可得，由三角形的面积公式可求解；
（2）作辅助线如解析图，证明，可得，进一步可得，证明，可得，从而可得结论；
（3）作辅助线如解析图，可得当点，P，N三点共线时，有最小值，由折叠的性质可得，进而得点K在以C为圆心，为半径的圆上运动，可得当点K落在的延长线上时，有最大值，然后由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：如图1，过点F作直线于H，

∵将绕点逆时针旋转至，∴，
∵，∴，
∵，∴
∴，∴，
∴，∴的面积；
（2）证明∶如图2，过点M作，交直线于点G，过点E作，交于Q，

∵，∴，
∵点N是的中点，∴，∴，
∴，∴，∵，
∴，
∴，∴，
∵将绕点E顺时针旋转至，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴；
（3）解：如图，作点C关于的对称点，连接，

∵点Q是点P关于直线的对称点，∴平分垂直平分，
∵是等边三角形，∴，∴，
∵点C与点关于对称，∴，
∴，∴为等边三角形，∵，
∴当点，P，N三点共线时，有最小值，
∵将沿所在直线翻折得到，∴，
∴点K在以C为圆心，为半径的圆上运动，∴当点K落在的延长线上时，有最大值，
∵为等边三角形，，∴垂直平分，
∵，∴，∵，，∴，，

∴，∵将沿所在直线翻折得到，
∴，∴，，
∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，确定点P的位置是解题的关键．