九年级数学下册专题14解直角三角形之新定义模型(原卷版+解析)

这是一份九年级数学下册专题14解直角三角形之新定义模型(原卷版+解析)，共42页。
【知识储备】
模型1、新定义模型
此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。

图1 图2
2）余弦定理：如图2， ．
3）正弦面积公式：如图2，.
4）同角三角函数的基本关系式:，。
5）和（差）、二倍角角公式：
; .
; .
.
例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB； 在中，

根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
例2．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务．
利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得．任务：(1)__________，__________；
(2)已知中，，，所对边分别是，，，，，，求．
例3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对，a，b，c分别为，，的对边，则其面积
(1)在中，，，，求b边对应的高的长度．
(2)如图，在中，已知，，D为上一点，证明：.
(3)正数a，b，c，d，e，f满足，证明：．

例4．（2023春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式：
（海伦公式）； （秦九韶公式）．
(1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；
(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长．

例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cs60°+cs30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cs90°＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例6．（2022春·浙江·九年级专题练习）1.某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度．
例7．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ．
例8．（2023秋·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出
．

阅读以上内容，回答下列问题：在中，，．
(1)如图3，，，若，则______，______；
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）．
例9．（2022·重庆·校考一模）材料一：证明：．
证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵DE⊥AB于点E，
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2
∵∠BAC=∠a ∴．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来.
应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．
(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和csa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由．
例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线重合，则的值；
(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；
(4)若，则的取值范围是 ．
课后专项训练
1．（2023春·浙江九年级课时练习）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023·广东深圳·校联考一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA=cs(90°-A)及sin2A+cs2A=1成立.如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，设CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，则下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数是（ ）
(1)a2+b2=c2 (2)aa’+bb’=cc’ (3)sin2A+sin2B=1 (4)+=
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
4．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）定义：在中，，把∠Ａ的邻边与对边的比叫做的余切，记作．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为 ．
5．（2023·江苏苏州·统考一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ．
6．（2023·广东·模拟预测）关于三角函数有如下的公式：
①cs(α+β)＝csαcsβ﹣sinαsinβ；②sin(α+β)＝sinαcsβ+csαsinβ；
③；
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求，cs75°的值；(2)如图，直升机在一建筑物CD上方的点Α处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为30m求建筑物CD的高．
7．（2023·江西景德镇·九年级校考期中）如图，在锐角中，，，
（1）请用，，表示（余弦定理）； ______________；（2）证明你的结论．
（3）如图，已知的外心为，内心为，重心为，若IG∥BC，证明．

8．（2022·福建福州·校考模拟预测）小明在学习直角三角形的三角函数时发现：
如图1，在中，所对的边分别是a、b、c，
∵， （）
∴．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．
(1)如图2，在锐角三角形中，所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函数的有关知识验证；
(2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离．

9．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）古希腊数学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了计算三角形面积的公式：，（其中，，，分别为三角形的三边长，为三角形的面积）．我国宋代数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，也曾提出由三角形三边求三角形面积的方法，它们实质上是相同的．请根据上面的公式解决问题：已知三角形的三边长分别为，，，若，，是方程的两个实数根，请利用上面的公式求该三角形的面积．
10．（2023·福建泉州·九年级统考期中）请先阅读这段内容.再解答问题
三角函数中常用公式.求的值，
即.
试用公式，求出的值.
11．（2023·山东淄博·九年级统考期中）计算
(1)；(2)；
(3)已知三角函数有如下的公式：，利用该公式求的值．
12．（2023·山西·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcsβ±csαsinβ；tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan75°=tan（45°+30°）===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：（1）计算：sin15°；（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．
13．（2023春·山西·九年级专题练习）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
理解应用：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距海里．
(1)求：的面积；(2)求：乙船航行的速度（结果保留根号）．
14．（2023秋·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为，，，记，即为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式．
(1)现有一块三角形空地A，它的三边长分别为，，，求这块地的面积；
(2)有一块空地的面积为，则空地A的面积是空地面积的几倍．
15．（2022秋·湖南长沙·八年级校考期末）已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．(1)当时，的周长__________（请直接写出答案）．
(2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则．
若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
16．（2022·山东济宁·统考二模）在中，，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如，等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设，是锐角，定义：当时，两角和的余弦公式：．
例：计算的值．
，
两角差的余弦公式：．利用类比的方法运用公式求解．
(1)计算_______．(2)计算的值；
(3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积．
在中，，，的对边分别为a、b、c，的面积为，过点A作，垂足为D，则在中，
∵ ∴
∴
同理可得，，
即……………①
由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又∵
∴将等式两边同除以，得，
∴…………………②
由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
专题14 解直角三角形之新定义模型
解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。
【知识储备】
模型1、新定义模型
此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。

图1 图2
2）余弦定理：如图2， ．
3）正弦面积公式：如图2，.
4）同角三角函数的基本关系式:，。
5）和（差）、二倍角角公式：
; .
; .
.
例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB； 在中，

根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
(1)证明：如图2，过点作于点，在中，，
在中，，，；

(2)解：如图3，过点作于点，，，，
在中，
又，即，，．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
例2．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务．
利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得．
任务：(1)__________，__________；
(2)已知中，，，所对边分别是，，，，，，求．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）直接根据进行类比即可求解；
（2）根据代入数值可得，继而求解即可．
【详解】（1）根据进行类比，可得
，，
故答案为：，；
（2），，，，
∴，即，
解得，（舍去），．
例3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对，a，b，c分别为，，的对边，则其面积
(1)在中，，，，求b边对应的高的长度．
(2)如图，在中，已知，，D为上一点，证明：.

(3)正数a，b，c，d，e，f满足，证明：．
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【分析】(1)利用解直角三角形即可求解；(2)根据即可证得；
(3)根据题意可得边长为1的等边三角形，利用三角形的面积即可证得．
【详解】（1）解：在中，，，边对应的高的长度为：；
（2）证明：，
，
，
，，；
（3）证明：如图：是边长为1的等边三角形，
，；，
，
，．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形面积公式的应用，熟练掌握和运用三角形面积公式是解决本题的关键．
例4．（2023春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式：
（海伦公式）； （秦九韶公式）．

(1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；
(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长．
【答案】(1)(2)的面积为84；边上得高的长为12
【分析】（1）利用两个公式分别代入即可；
（2）设，则，利用勾股定理得，，即，求解得，即，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面积公式求出其面积即可．
【详解】（1）解：，
由海伦公式可得；
由秦九昭公式可得．
（2）解：设，则，
，，，
，解得；∴
∴．∴．
【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积公式和勾股定理是解题的关键．
例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cs60°+cs30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cs90°＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cs45°+cs60°sin45°= =，故此选项正确；
②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确；
③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cs45°-cs60°sin45°==，故此选项正确；
④cs90°=cs（45°+45°）=cs45°cs45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确；
故正确的有4个．故选D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．
例6．（2022春·浙江·九年级专题练习）1.某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目思路，将构造15°的过程转化为75°，并可求解；
（2）计算出∠DAB=75°，利用tan75°求解．
【详解】（1）解：方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tan∠DAC=tan75°=．
方法二：根据tan（α±β）=．
假设α=30°，β=45°代入差角正切公式：tan75°=tan（30°+45°）=．
（2）解：在Rt△ABC中，BC=30，AC=60，
∴ ； ∴∠CAB=30°
∵∠CAD=45°∴∠DAB=75° 在Rt△ABD中，
∴ ∴
∴CD的高度为．
【点睛】本题考查三角函数的计算，通过阅读，类比计算是解题关键．
例7．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ．
【答案】
【分析】过点作于，利用的正弦函数值，设出的长，根据勾股定理求出，最后根据的规定求值即可．
【详解】解：过点作于，如图所示，
，设，，
，，，
；故答案为：．
【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．
例8．（2023秋·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出
．

阅读以上内容，回答下列问题：在中，，．
(1)如图3，，，若，则______，______；
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）．
【答案】(1)， (2)
【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：，
由三角函数的定义可得，，
由材料可得：，故答案为：，
（2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：

则，，，，
在中，，，，
，在中，，
，，．
【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形．
例9．（2022·重庆·校考一模）材料一：证明：．
证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵DE⊥AB于点E，
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2
∵∠BAC=∠a ∴．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来.
应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．
(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和csa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由．
【答案】(1)(2)能，过程见解析
【分析】(1) 过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得；
(2) 过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得．
【详解】（1）解：过点A作于点D

，

（2）解：如图，过点A作于点D
，

．
【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键．
例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线重合，则的值；
(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；
(4)若，则的取值范围是 ．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可；（2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可；（3）由题意可得，然后依据定理列出关于x的方程，从而求出x的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得，然后再得到，再求得的取值范围，即可求得结果．
【详解】（1）解：当时，，，，
，，，故答案为：．
（2）解：∵若角α的终边与直线重合，，，
当时，，
当时，，
的值为或．
（3）解：，点，且，
，（正值舍去），．
（4）解：，，，
，，又，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023春·浙江九年级课时练习）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据是半圆弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根据，求出OD=OC=OA=，利用三角函数ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，
∵是半圆弧的，∴∠AOD=60°，∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵点C在半圆弧的中点处，∴=半圆弧的一半，∴∠CAO=45°，
∵，∴AD=OA=，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cs45°-cs60°sin45°）=2×=1．故选择：D．
【点睛】本题考查弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数，掌握弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数是解题关键．
2．（2023·广东深圳·校联考一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA=cs(90°-A)及sin2A+cs2A=1成立.如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，设CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，则下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数是（ ）
(1)a2+b2=c2 (2)aa’+bb’=cc’ (3)sin2A+sin2B=1 (4)+=
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理以及解直角三角形一一判断即可.
【详解】解：∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确，
∵DE∥AC，∴△DEB∽△ACB，∴，
∴，不妨设，则a′＝ak，b′＝bk，c′＝ck，
∵aa'＋bb'＝cc'，∴a2k＋b2k＝c2k，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故②正确，
∵sin2A＋sin2B＝1，sin2A＋cs2A＝1，∴sin2B＝cs2A，∴sinB＝csA，
∵sinA＝cs（90°−A），∴90°−∠B＝∠A，∴∠A＋∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故③正确，
∵+=，∴+=1，∴sin2B＋sin2A＝1，∴△ABC是直角三角形，故④正确．故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
【答案】
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：==
==．故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
4．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）定义：在中，，把∠Ａ的邻边与对边的比叫做的余切，记作．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为 ．
【答案】或
【分析】此题需要分类讨论：若；或．利用勾股定理和等腰三角形的性质求出，然后利用余切的定义求解．
【详解】解：若，过A作于D，如图，

∴，∴，∴；
若，过A作于D，如图，
∴，∴，∴；故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了余切的定义，同时也利用了等腰三角形的性质和勾股定理，有一定的综合性．
5．（2023·江苏苏州·统考一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】如图，作，垂足为H，然后根据三角函数的定义即可可解答．
【详解】解：如图，作，垂足为H，
在中，，即，
在中，，即，
所以．故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
6．（2023·广东·模拟预测）关于三角函数有如下的公式：
①cs(α+β)＝csαcsβ﹣sinαsinβ；②sin(α+β)＝sinαcsβ+csαsinβ；
③；
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求，cs75°的值；(2)如图，直升机在一建筑物CD上方的点Α处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为30m求建筑物CD的高．
【答案】(1)；(2)建筑物CD的高为60米
【分析】(1)根据所给的公式进行运算，即可分别求得；
(2) 过点D作DE⊥ΑB于点E，可求得BC＝ED＝30，再根据∠ΑDE＝α＝60°，∠ΑCB＝β＝75°，即可求得．
【详解】（1）解： ；
；
（2）解：如图，过点D作DE⊥ΑB于点E， 则∠ΑED＝∠BED＝90°，
∵∠EBC＝∠BED＝∠BCD＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝ED＝30，
由平行得∠ΑDE＝α＝60°，∠ΑCB＝β＝75°，
在Rt△ΑBC中，，∴(米)，
在Rt△ΑED中，，∴（米），
∴CD＝BE＝ΑB﹣ΑE＝60（米）．答：建筑物CD的高为60米．
【点睛】本题考查了三角函数公式的应用，解直角三角形的应用，灵活运用三角函数的定义和公式是解决本题的关键．
7．（2023·江西景德镇·九年级校考期中）如图，在锐角中，，，
（1）请用，，表示（余弦定理）； ______________；（2）证明你的结论．
（3）如图，已知的外心为，内心为，重心为，若IG∥BC，证明．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据余弦定理即可得到答案；
（2）过点C作CD⊥AB于D，则，，
则，再由勾股定理可得由此求解即可；
（3）连接AG并延长，分别与BC交于D，连接AI并延长交延长交BC于E，交圆O于F，连接BF，CF，GI，OI，BI，CI，AO，FO，由重心的性质可得，再由GI∥BC，可证△AGI∽△ADE则，，则，，则，，可得，设三角形ABC内切圆半径为r，则可推出，然后证明得到AF=2BF，
再证BF=FI，，由三线合一即可证明OI⊥AI．
【详解】解：（1）由余弦定理可得，故答案为：；
（2）如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∴，，
∴，在直角三角形BDC中，，
∴
，∴；
（3）如图所示，连接AG并延长，分别与BC交于D，连接AI并延长交延长交BC于E，交圆O于F，连接BF，CF，GI，OI，BI，CI，AO，FO，∵G是重心，∴，
∵GI∥BC，∴△AGI∽△ADE∴，∴，则，
∴，∴，，∴，
设三角形ABC内切圆半径为r，∴，∴
如图2所示，四边形ABCD为圆O内的内接四边形，现在证明，在BD上取一点P使得，∵，，
∴，∴，即①
∵，∴，
又∵，∴，∴即②，
∴①+②得；

∴如图1所示，，
∵I是内心，∴，∠ABI=∠CBI，∴，
∴，∴，即AF=2BF，
∵∠BIF=∠BAF+∠ABI，∠FBI=∠CBI+∠CBF=∠CBI+∠CAF=∠CBI+∠BAF，
∴∠BIF=∠FBI，∴FB=FI，∴AF=2FI，又∵OA=OF，∴OI⊥AI．
【点睛】本题主要考查了三角函数，勾股定理，三线合一定理，圆的综合，重心，内心，外心的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．（2022·福建福州·校考模拟预测）小明在学习直角三角形的三角函数时发现：
如图1，在中，所对的边分别是a、b、c，
∵， （）
∴．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．

(1)如图2，在锐角三角形中，所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函数的有关知识验证；
(2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离．
【答案】(1)见解析(2)货轮距灯塔A的距离为海里
【分析】（1）过点A作于点D，过点B作于点H，在中表示出，在中表示出，即可求证；
（2）由（1）中所得结论可推出：，据此即可求解．
【详解】（1）解：过点A作于点D，过点B作于点H

在中，∵，∴，
同理，∴，∴
同理可得∴
（2）解：由题意可得∴，
∵，∴∴海里．
此时货轮距灯塔A的距离为海里．
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．构造直角三角形是解题关键．
9．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）古希腊数学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了计算三角形面积的公式：，（其中，，，分别为三角形的三边长，为三角形的面积）．我国宋代数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，也曾提出由三角形三边求三角形面积的方法，它们实质上是相同的．请根据上面的公式解决问题：
已知三角形的三边长分别为，，，若，，是方程的两个实数根，请利用上面的公式求该三角形的面积．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再求出，进而可求出面积．
【详解】解：∵，，是方程的两个实数根，∴，，
又∵∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，读懂题意是解题的关键．
10．（2023·福建泉州·九年级统考期中）请先阅读这段内容.再解答问题
三角函数中常用公式.求的值，
即.
试用公式，求出的值.
【答案】.
【分析】将75°化为30°和45°两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来解答．
【详解】，
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答．
11．（2023·山东淄博·九年级统考期中）计算
(1)；(2)；
(3)已知三角函数有如下的公式：，利用该公式求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，再进行乘方，乘法运算，最后算加减；
（2）先算特殊角的三角函数值，再进行负整数指数幂，去括号，开方运算，然后进行乘法运算，最后算加减；（3）将转化为：，代入公式进行计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，以及负整数指数幂．熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．
12．（2023·山西·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcsβ±csαsinβ；tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan75°=tan（45°+30°）===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：
（1）计算：sin15°；
（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）把15°化为45°﹣30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcsβ±csasinβ计算，即可求出sin15°的值；
（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．
试题解析：（1）sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cs30°﹣cs45°sin30°==；
（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°．
∵tan75°=，∴BE=7（）=，∴AB=AE+BE==（米）．
答：纪念碑的高度为（）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；阅读型．
13．（2023春·山西·九年级专题练习）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
理解应用：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距海里．
(1)求：的面积；
(2)求：乙船航行的速度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)（海里/每小时）
【分析】（1）结合题中条件可求出的长，再根据材料中的结论1：三角形的面积等于两边及其夹角正弦值的一半，即可求出答案．
（2）根据第一问可知是等边三角形，结合题中条件求出和的大小，根据材料中的结论2：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，可求出的长，从而可求出答案．
【详解】（1）解：由题意知：，，，
由结论①知，
，
所以的面积为．
（2）解：由（1）知，，
∴是等边三角形，
∴，，
又，
∴，
由题意知，，
∴，
在中，由材料中结论②得，
∴，
∴乙船航行的速度为：（海里/小时）．
【点睛】本题考查的是方向角问题、等边三角形的判定，掌握方向角的概念、正确使用材料中的结论是解题的关键．
14．（2023秋·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为，，，记，即为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式．
(1)现有一块三角形空地A，它的三边长分别为，，，求这块地的面积；
(2)有一块空地的面积为，则空地A的面积是空地面积的几倍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由海伦公式计算即可；（2）用空地A的面积除以空地面积求解即可．
【详解】（1）解：，
∴三角形空地A的面积为；
（2）解：．∴空地A的面积是空地面积的倍．
【点睛】本题属于二次根式应用类型的题，解题关键是掌握二次根式的性质和正确的代入公式并进行计算．
15．（2022秋·湖南长沙·八年级校考期末）已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．(1)当时，的周长__________（请直接写出答案）．
(2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则．
若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
【答案】(1)(2)（），
【分析】（1）利用分别计算三条边的长度，然后求和即可获得答案；
（2）依据二次根式有意义的条件可得的取值范围，进而化简得到的周长；由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积．
【详解】（1）解：当时，，，，
∴．故答案为：；
（2）根据题意，可得，解得，∴
∴；
∵为整数，且有最大值，∴或3或2或1或0或，
当时，三角形三边长分别为，，，
∵，∴此时不满足三角形三边关系，故，
当时，三角形三边长分别为，，，
满足三角形三边关系，可设，，，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三角形三边关系求解．
16．（2022·山东济宁·统考二模）在中，，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如，等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设，是锐角，定义：当时，两角和的余弦公式：．
例：计算的值．
，
两角差的余弦公式：．利用类比的方法运用公式求解．
(1)计算_______．(2)计算的值；
(3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）将变形为，利用两角差的余弦公式直接求解；
（2）利用两角差的余弦公式，可知，即可求解；
（3）利用三角函数先求出AD， AB的长，再利用（1）的结论求出AF的长，即可求出．
【详解】（1）解：当时，两角差的余弦，
，故答案为：；
（2）解：利用两角差的余弦公式可知，；
（3）解：由题意可知，，，
，，
，由（1）知，
，．
【点睛】本题考查锐角三角函数和矩形的性质，理解新定义、新公式，根据新定义求解是解题的关键．
在中，，，的对边分别为a、b、c，的面积为，过点A作，垂足为D，则在中，
∵
∴
∴
同理可得，，
即……………①
由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又∵
∴将等式两边同除以，得，
∴…………………②
由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．