九年级数学下册专题04相似三角形重要模型之一线三等角模型(原卷版+解析)

这是一份九年级数学下册专题04相似三角形重要模型之一线三等角模型(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了一线三等角模型等内容，欢迎下载使用。
模型1.一线三等角模型（相似模型）
【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）

（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
例3．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，是等腰直角三角形，，直线过点，，，垂足分别为，．求证：；
[尝试应用]（2）如图2，，，，，三点共线，，，，．求的长；[拓展创新]（3）如图3，在中，，点，分别在，上，，，若，直接写出的值为 ．
例4．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且，与相似吗？请说明理由.
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且.①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比.
例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：．
（1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由．
（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长．

例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于．
①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；
（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．

例7．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.

(1)设，的余切值为，求关于的函数解析式；
(2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积；
(3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？
课后专项训练
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（ ）

A．12B．13C．14D．15
2．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则
3．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，，则下列结论中正确的结论有（ ）
①；②；③；④图中有3对相似三角形．

A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点，情形（如图）．如果，，则的长应为（ ）

A．1或9B．2或8C．3或7D．4或6
5．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
6．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．

7．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，在矩形 中，，点 E、F 分别是边上的动点，且， 当为 时，最大．
8．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等边中，，，E，F分别为边，上的点，将沿所在直线翻折，点A落在边上的G点，得到三角形，则的面积为 ．

9．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，，，，，则CD的长为______．
10．（2023·安徽·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________
11．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．

12．（2023秋·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点、分别是、边上的点，且．(1)求证：；(2)若，，当时，求的长．

13．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．
(1)求证：；(2)若，求的长．

14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．(1)求证：∽．(2)计算点到直线的距离为______ ．

15．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形中，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），联结，过点E作交射线于点F，联结．设．(1)求的长；(2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长．

16．（2023秋·四川达州·九年级校考阶段练习）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
17．（2023·四川成都·校考三模）在矩形中，，．点为边上一动点，连接，在右侧作，，．

(1)如图1，若点恰好落在边上，求的长；
(2)如图2，延长交边于点，当时，求的值；
(3)连接，当为等腰三角形时，求的长．
18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．
(1)【类比探究】如图2，在中，，且，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在中，，且，猜想线段、、之间有什么数量关系？并证明你的猜想．②若图1的中，，，并将直线绕点旋转一定角度后与斜边相交，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点，请在备用图上画出图形，并直接写出线段、、之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）
【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）

（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可
【详解】解：∵是等边三角形，∴ ＝＝＝60°，
∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上，∴ ，
∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m，设＝x，＝DF＝，
∵BE=2，BC＝，∴ CE＝，∵ ＝，＝60°，
∴ ＝120°，＝120°，∴ ＝，
∵ ＝，∴ ，∴ ，即，
解得：，使等式有意义，
∴ ＝，故选择：A．
【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
例2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】如图1中，证明，，可得，可得，，可得①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，证明，可得，即，可得，可得③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，可得④错误，如图1中，于H，，同理可得：，可得，结合，可得⑤正确．
【详解】解：如图1中，

∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，
由翻折可知：，，，
∵，，，
∴，∴，
∵，∴，故①②正确，
如图2中，当M与C重合时，设．则，

∵，∴，
∴，∴，∴，即，可得，
∴，∴，故③正确，
如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
如图1中，∵于H，，同理可得：，
∴，∴，∵，∴．故⑤正确，故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例3．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，是等腰直角三角形，，直线过点，，，垂足分别为，．求证：；
[尝试应用]（2）如图2，，，，，三点共线，，，，．求的长；[拓展创新]（3）如图3，在中，，点，分别在，上，，，若，直接写出的值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）5
【分析】（1）由“”可证；
（2）延长，交于点，过点作于，由（1）可知：，可得，，由直角三角形的性质可求解；
（3）通过证明，可求，通过证明，可求，即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴；
（2）如图2，延长，交于点，过点作于，

由（1）可知：，∴，，
∵，，∴，∴，，
∴，∴，，∴，∴；
（3）如图3，过点作，交的延长线于，延长交于，过点作于，过点作于，∵，∴设，，
∴，由（1）可知：，∴，，
∵，，，∴，
∴，，
∴，，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∵，，∴，
又∵，∴，
∴，∴，∴，∴，故答案为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．
例4．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且，与相似吗？请说明理由.
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且.①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比.
【答案】（1），见解析；（2）①；②与的周长之比为.
【分析】（1）根据三角形的内角和得到，即可证明；
（2）①设，，根据等边三角形的性质与折叠可知，，，根据三角形的内角和定理得，即可证明，故，再根据比例关系求出的值；②同理可证，得，得，再得到，再根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】解（1），
理由：，在中，，
，，
，，，；
（2）①设，，是等边三角形，，，
由折叠知，，，，
在中，，，
，，
，，
，，，
，，
，，，；
②设，，是等边三角形， ，，
由折叠知，，，，
在中，，，
，，，
，，，
，，，
，，.
.与的周长之比为.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.
例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：．
（1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由．
（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长．

【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）长为3或．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；
（2）过点作交直线于点，分别过、作轴，轴，由（1）得，从而得到，然后结合相似三角形的性质和锐角三角函数求出，，从而确定N点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；
（3）分两种情形讨论：①如图1中，当∠PDC=90°时．②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x．分别求解即可．
【详解】解：（1）∵，∴
又∵∴∴
∵．∴
（2）如图，过点作交直线于点，分别过、作轴，轴
由（1）得 ∴∵坐标 ∴，
∵ ∴解得：， ∴
设直线表达式为，代入，
得，解得， ∴直线表达式为
（3）解：①如图1中，当∠PDC=90°时，

∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共线，
∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°，∵∠B=90°∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB=3．
②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x，
∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠PEF，
在△ABE和△EFP中，∴△ABE≌△EFP，
∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，∴CF=3-（5-x）=x-2，
∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，
∴△PHD∽△CHP，∴PH2=DH•CH，∴（x-2）2=x（3-x），
∴x=或（舍弃），∴BE=，
综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或．
【点睛】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于．
①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；

（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．
【答案】（1）①见解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的判定定理证明即可；②根据等腰三角形的性质，分，和三种情况讨论，再根据相似三角形的性质求解；（2）先证得，再根据相似三角形的性质计算即可；
（3）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质定理，进行判断即可．
【详解】（1）①证明：∵，，∴．∴．
又∵，∴．∴；
②解：分三种情况：
（i）当，时，得到，点分别与重合，∴．
（ii）当时，
在△ABD和△DCE中，，∴，∴，
∵BC=，∴，∴；
（iii）当时，有，
∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．
综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1．
（2）解：存在．∵，∴．
∵，∴．
∴，∴，∴，
当，．
（3）解：不存在．理由如下：如图，
∵和不重合，∴，又，，∴≠．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，分情况讨论是解答本题的关键．
例7．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.

(1)设，的余切值为，求关于的函数解析式；
(2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积；
(3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？
【答案】(1)(2)(3)或或1
【分析】（1）根据已知条件矩形和，得出，，从而求出，再根据求出结果；
（2）假设存在，由题意、与四边形的面积比是，可得，设，证，根据三角形的相似比，从而求解；
（3）过点作，垂足为点，判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据三角形相似进行求解．
【详解】（1）解：，，
，，
∵在矩形中，，∴，
则，；
（2）：四边形的面积比是，
，，设，则，
∵，，，且，
，，解得，，∴；
（3）①时，过点作，垂足为点，
则，，延长交于点，

，，当时，是等腰三角形；
②时，则，
，，，则，当时，是等腰三角形；
③时，则点在的垂直平分线上，故为中点．
，，，∴，
，，即，
∴，解得，当时，是等腰三角形，
综上：的长度为或或1．
【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法．
课后专项训练
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（ ）

A．12B．13C．14D．15
【答案】A
【分析】证明，根据对应边成比例即可求得．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，
，，，
，，故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，证明相似三角形是本题的关键．
2．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则
【答案】D
【分析】由，可确定A项正确；由可得，进而由确定点F为的三等分点，可确定B项正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到，得到为圆的直径，因为，根据垂径定理得到，故C项正确；因为D为的三等分点，即，可得，由此确定D项错误．
【详解】解：依题意可得，∴，∴，
又，∴．故A项正确；如图，
∵，，∴．
在与中，，
∴，∴，又∵，∴；
∵为等腰直角三角形，∴；∴；
∵，∴，∴，∴．故B项正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得，
∴是B、C、F、D四点所在圆的直径，
∵，∴，∴，故C项正确；
∵，，，∴，
∴，，∴，∴；
∴．故D项错误．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
3．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，，则下列结论中正确的结论有（ ）
①；②；③；④图中有3对相似三角形．

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由题中条件可得，进而得出对应线段成比例，进而又可得出，即可得出题中结论．
【详解】解：四边形 是正方形，，
，，
，，，
是的中点，，，故①正确；
由可得，的正切值相同，，
，，，，
，，故②正确；
，，，与不全等，故③错误；
由以上证得，，，故④正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，其中又涉及正方形的一些性质问题，能够熟练掌握这些定理是解题的关键．
4．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点，情形（如图）．如果，，则的长应为（ ）

A．1或9B．2或8C．3或7D．4或6
【答案】B
【分析】根据得出，再根据长方形的性质证得，，从而得到，最后根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：由题意知，，
四边形为长方形，，，，
，，，，
设，则，，
整理得，，解得，，，即的长应为2或8，故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
5．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据题意证明，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，，，
，，，
，，，，
又，，，
，，，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．
6．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．

【答案】或
【分析】根据是等边三角形，得到，，推出，得到，得到，然后代入数值求得结果．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，，
∵，，
∴，∴，
∴，即，解得：或，
经检验：或是原方程的解，故答案为：或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．
7．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，在矩形 中，，点 E、F 分别是边上的动点，且， 当为 时，最大．
【答案】/
【分析】在中，，则，当增加时，也增加，因为，要使取最大值，所以取最小值，然后证明，利用二次函数求得的最小值即可．
【详解】设，∵矩形中，，
∴，
∴,
∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴，即，整理得：，
∵，∴当时，y取最小值，
∵中，，∴，
∴要使取最大值，即最大时，y应取最小值，
∴，即，故答案为：．
【点睛】本题考查二次函的最值、三角形相似的判定和性质、正切函数的性质，也体现了数学中转化的思想，灵活运用是关键．
8．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等边中，，，E，F分别为边，上的点，将沿所在直线翻折，点A落在边上的G点，得到三角形，则的面积为 ．

【答案】
【分析】过点G作于点M，过点F作于点N，由已知条件及翻折的性质可知，可得，，，，，设，则，在中，由勾股定理可求出x值，即可得，，证明，则，可得和，在中，可得，利用三角形面积公式直接求的面积即为的面积．
【详解】解：过点G作于点M，过点F作于点N．

∵为等边三角形，，，∴，，，
由翻折可知，，，在中，，，
∴，，设，则，
在中，由勾股定理可得，，
解得，∴，，
∵，∴，
又∵，∴，∴，即，解得，∴，
在中，，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
9．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，，，，，则CD的长为______．
【答案】5
【分析】在CD上取点F，使，证明，求解 再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案.
【详解】解：在CD上取点F，使，
，，由，，
，，且，
，，∽，
， ，，
又， ，
∽，，
又，，或舍去，
经检验：符合题意，．故答案为：5．
本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.
10．（2023·安徽·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________
【答案】
【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式
【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
即故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

(1)证明：．(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）∵，∴，
∵，∴，解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（2023秋·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点、分别是、边上的点，且．(1)求证：；(2)若，，当时，求的长．

【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求证；（2）根据，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，∴，∵，
∴且，∴，
∵，∴；
（2）解：∵，∴，即，
∵，∴，
∴，即，∴，
∵，，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
13．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．
(1)求证：；(2)若，求的长．

【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据已知条件得出，，根据三角形的外角的性质，可得，证明，则，根据相似三角形的性质，即可得证；
（2）根据（1）的结论得出比例式，代入数据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵梯形中，，
∴，
又∵∴
∴，∴∴
∴即；
（2）解：∵∴
∵∴，∴
则
∵∴，∴
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．(1)求证：∽．(2)计算点到直线的距离为______ ．

【答案】(1)详见解析(2)
【分析】（1）证明两个角对应相等；
（2）点到直线的距离就是线段的长度，由相似三角形对应边成比例求解即可；
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，，∴
，，
∴，
∴，∽，
（2）解：∵∽，∴，
即。∴故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得∽是解题的关键
15．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形中，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），联结，过点E作交射线于点F，联结．设．(1)求的长；(2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长．

【答案】(1)6(2)(3)或
【分析】（1）过点作，可得四边形为矩形，利用勾股定理求出的长即可；
（2）证明，列出比例式进行求解即可；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：过点作与点，

∵，，∴，∴四边形为平行四边形，
∵，∴四边形为矩形，∴，，∴，
在中，，∴
（2）∵，∴，，
∵，，，∴，
∴，∴，
∴，即：，整理，得：，
∵点E在线段上，∴，∴；
（3）当点在线段上时，
①当时，如图，过点作与点，则：，

由（1）知，，∴，由（2）知：，
当时：或，即：或；
②当时，∵，∴此种情况不存在；
当点在线段的延长线上时：如图，

则：，同法（2）可得：，即：，
整理，得：，
∵是以为腰的等腰三角形，则：，
在中：，
在中：，
在中：，
整理，得：，
∵，∴，
整理，得：，解得：（负值已舍掉）；∴，
综上：或．
【点睛】本题考查矩形得判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形，勾股定理．解题的关键是读懂题意，正确的作图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
16．（2023秋·四川达州·九年级校考阶段练习）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论．
（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．
（3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出．
【详解】（1）延长过点F作，
∵，，∴，
在和中∴，∴，，
∴，∴，∴．故答案为：．

（2）解：在上截取，使，连接．
，
，．
，．．
，．
．

（3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，
．在中，
，．，由（2）知，．
．，，，
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，∴，
∵，∴，．
∵，∴，
∵，∴．．

【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．
17．（2023·四川成都·校考三模）在矩形中，，．点为边上一动点，连接，在右侧作，，．

(1)如图1，若点恰好落在边上，求的长；
(2)如图2，延长交边于点，当时，求的值；
(3)连接，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）可证，可得，从而可求，即可求解；
（2）过点作交于，可证，可得，设，则有，，可得，即可求解；（3）①当在边上，时，可证，从而可证，即可求解；②当在矩形内部时，（ⅰ）当时，由（2）得： ，即可求解；（ⅱ）当时，由（2）得同理可求： ，
，，由，即可求解；③如图，当在矩形外部时，由判断，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，，，
，，，，
，，，
，解得：，，，解得：．
（2）解：如图，过点作交于，

，，，
由（1）得同理可证：，
，，，解得：，
，，，
设，则有，， ，
整理得：，解得：，，经检验：，是此方程的根，
， (不合题意，舍去)，，在中，．
（3）解：①如图，当在边上，时，

，由（1）得：，
，，，
，，故此种情况不存在．
②当在矩形内部时，（ⅰ）如图，当时，

由（2）得： ，，；
（ⅱ）如图，当时，

由（2）得同理可求：，，
，，在中，
，整理得：，
解得：，（舍去），；
③如图，当在矩形外部时，

，始终不是等腰三角形．
综上所述：的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定及性质，勾股定理，一般角的三角函数值等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．

(1)【类比探究】如图2，在中，，且，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在中，，且，猜想线段、、之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
②若图1的中，，，并将直线绕点旋转一定角度后与斜边相交，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点，请在备用图上画出图形，并直接写出线段、、之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．
【答案】(1)成立，见解析 (2)①，见解析；②或
【分析】（1）易证，则有，，从而可得；
（2）①易证，则有，从而可得，，即可得到；②同①可得，．由于直线在绕着点旋转过程中，点到直线的距离与点到直线的距离大小关系会发生变化，因此需分情况讨论（如图4、图，然后只需结合图形就可解决问题．
【详解】（1）猜想．理由：如图2，

，．
，，．
在和中，，，
，，；
（2）①猜想：．理由：如图3，

，．
，，．
，，，
，，；
②或．同①可得：，．
如图4，；

如图5，．
【点睛】本题是一道探究题，用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平角的定义等知识，考查了探究能力，渗透分类讨论的思想以及特殊到一般的思想，是一道好题．