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九年级数学下册专题02相似三角形重要模型-母子型(共边共角模型)(原卷版+解析)
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这是一份九年级数学下册专题02相似三角形重要模型-母子型(共边共角模型)(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了“母子”模型，CD2＝AC•BD．等内容，欢迎下载使用。
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
4）共边模型
条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；
例1．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ．
例2．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．
例4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于．
（1）求证：；（2）若，，求．
例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长．
例7．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；
【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．
课后专项训练
1．（2023秋·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）如图，已知，其中，，则（ ）
A．2B．C．D．4
3．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，过点C作于点D，点M为线段的中点，连接，过点D作于点E．设，，则图中可以表示为的线段是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，D是的边上一点，连接，若，则的长 ．
5．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）已知：如图，中，，，D为边上一点，． (1)求证： ．(2)若的周长为11，请求出的长．
6．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D在的边上，连接． (1)如图1，若．求证：；(2)如图2，若，，，．求线段的长；(3)如图3，M、N分别是上的两点，连接交于点P，当，时，若，直接写出的值______．
7．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．
(1)求证：；(2)求证：．
8．（2023秋·安徽亳州·九年级统考阶段练习）如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)直接写出的形状______；(2)若垂足为D，证明：；
(3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果）
9．（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，是的直径，点D是上一点，且，与交于点F．(1)求证：是的切线；(2)若平分，求证：．
10．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．①求证：直线与相切；②若的直径为，求线段的长；
(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
11．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，在中，是边上一点．
(1)当时，①求证：；②若，，求的长；
(2)已知，若，求的长．
12．（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点在同一直线上，满足，，且．求证：．
13．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，中，，D为上一点，．
(1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值；
(3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则 的值为_．
14．（2023·吉林·九年级阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
15．（2023·福建九年级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
16．（2022秋·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
17．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长.
18．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）（1）[问题背景]如图1，在四边形中，对角线平分，且满足，求证：
（2）[尝试应用]在中，的角平分线交于点F
①如图2，，边上一点G满足，，，求的值．
[拓展创新]②如图3，，，，，直接写出的值（用含有m、n、a三个字母的代数式表示）为__________．
专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
4）共边模型
条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；
例1．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ．
【答案】
【分析】先证明△BCD∽△CAD，然后根据相似三角形的性质直接解答即可．
【详解】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，∴△BCD∽△CAD，
∴，∴CD2＝AD•BD＝6×2＝12，∴CD＝．故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解此题的关键是要知道直角三角形斜边上的高把这个三角形分得的两个小三角形，与原三角形相似．
例2．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，∴
∵，，∴，
∴，∴，即，
解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．
证明：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，
∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB；
（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，
∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，
∴，∴CD2＝AC•BD．
例4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于．
（1）求证：；（2）若，，求．
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】(1)根据已知条件得到，，所以，根据余角的性质得到，得到∽，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论;
(2)根据得到,根据勾股定理得到,根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结果.
【详解】（1）∵，∴．
又∵，，∴．
而，，∴，∴，∴．
又，，∴∽，
∴，∴，∴．
（2）由（1）可知，而，，
∴，∴，∴在中根据勾股定理可知．
∵∽，∴，．
【点睛】本题是考查相似三角形判定定理和性质，能够熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键
例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3，ABC∽ACD，ABC∽CBD，ACD∽CBD；（2）；（3）存在，(，)，(，)
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到AB•CD＝AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．
【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB
同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3．
∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝．
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝，∴OB＝．
分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴＝，∴，解得t＝，即，∴．
在△BPQ中，由勾股定理，得，∴点P的坐标为；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴，∴，
解得t＝，即，
过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴，即，∴PE＝．
在△BPE中，，
∴，∴点P的坐标为，
综上可得，点P的坐标为(，)；(，)．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．
【分析】（1）由题意可得∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，从而可得∠DCE=∠DCF = 135°，于是可证得，则有DE= DF；（2）结合（1）可求得∠CDF +∠F= 45°从而可得∠F =∠CDE，则，利用相似三角形的性质即可求解；（3）由DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，结合（2）可求得CE = 2，从而可求得CG= DG=，可证得，从而可求得GN =，再利用勾股定理即可求得DN．
（1）证明∶∵∠ACB=90°，AC= BC，CD是中线，
∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，∴∠DCE=∠DCF= 135°
∵在△DCE与△DCF中， ，∴，∴DE= DF；
（2）证明∶∵∠DCE= ∠DCF= 135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，
∵∠CDF +∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，
∴ ，∴，即；
（3）解：如图，
∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，
∴∠DGN=∠ECN=90°， ∠GCD=∠CDG=45°，∴CG= DG
当CD=2，CF=时，由可得，CE=2，
在Rt△DCG中，
∵∠ECN =∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键．
例7．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；
【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据角平分线的定义及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（2）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（3）根据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，∴，，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，解得：，∴；
（3）过点作交的延长线于点，
∵，，
∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023秋·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若，则，故选项A不合题意；
若，则，故选项B不合题意；
若，则，故选项C不合题意；
若，不能证明，故选项D符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）如图，已知，其中，，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据求解即可．
【详解】解：∵，∴，即，
∴，∴（负值已舍去），故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
3．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，过点C作于点D，点M为线段的中点，连接，过点D作于点E．设，，则图中可以表示为的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，根据相似三角形的性质得，则，再证明，可得出，则，由点M为线段的中点，得，即可得出．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
同理得，∴，∴，
∵点M为线段的中点，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直角三角形性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
4．（2023秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，D是的边上一点，连接，若，则的长 ．
【答案】
【分析】可证明，则，即得出，从而得出的长．
【详解】解： ∵，∴，∴．
即，∴．故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，两个角相等，两个三角形相似．
5．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）已知：如图，中，，，D为边上一点，． (1)求证： ．(2)若的周长为11，请求出的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）在 与 中，有 ，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可．（2）根据相似三角形的性质，得即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，且，∴；
（2）解：∵△ABC的周长为11，，，∴，
∵，∴，即，∴，故的长为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质；熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
6．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D在的边上，连接． (1)如图1，若．求证：；(2)如图2，若，，，．求线段的长；(3)如图3，M、N分别是上的两点，连接交于点P，当，时，若，直接写出的值______．
【答案】(1)证明见解析；(2)(3)
【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质，即可证明结论；
（2）延长至点，使得，连接，根据三角函数值，设，，进而得到，，，证明，得出，从而得到关于的一元二次方程，解方程即可得到线段的长；（3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，过点作于点，设，，，利用勾股定理，得到，，证明，得出，进而得到，，再证明，，得到，，进而得出，最后证明，，得出，即可求出的值．
【详解】（1）证明：，，
，，；
（2）解：如图，延长至点，使得，连接，
，，，设，，，，
，，，
，，，，
，，解得：，（舍），；
（3）解：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，过点作于点，
，，，
，设，，，
，，，
在中，，在中，，
，，，，
是的外角，，，，
又，，，，
，，，
，，，
，，，，
，，，，即，
，，，
，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形三线合一的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
7．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．
(1)求证：；(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）由平行线可知，，结合点E是边中点，即得出，从而可根据直角三角形斜边中线的性质求出，得出．根据三角形外角性质，结合题意可求出，即得出，进而可证；
（2）由等腰三角形三线合一的性质可知，，即得出．由（1）可得，即得出，从而可求出，进而得出，即．再由平行线的性质得出，即证明，得出，即．
【详解】（1）∵，∴．
∵E为中点，∴．∵，∴，∴．
∵，∴，∴．
∵，，∴，∴，
又∵，∴；
（2）∵，E为中点，∴，，∴，∴．
又由（1）可得，∴，∴．
∵，∴，∴．
又∵，∴，∴，
∴，∴，即．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的两组边对应成比例且夹角相等，②两个三角形有两组角对应相等，③两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似．
8．（2023秋·安徽亳州·九年级统考阶段练习）如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)直接写出的形状______；(2)若垂足为D，证明：；
(3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果）
【答案】(1)直角三角形(2)见解析(3)
【分析】（1）利用勾股定理求得，的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解；
（2）证明，即可证明；（3）利用（2）的结论即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴是直角三角形，故答案为：直角三角形；
（2）证明：由（1）知是直角三角形，且，
∵，∴，
∴，∴，∴；
（3）解：由题意得，，米，米，
由（2）得，∴，∴米，∴树的高度为米．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，是的直径，点D是上一点，且，与交于点F．(1)求证：是的切线；(2)若平分，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理即可得出，再由已知得出，则，从而证得是的切线；（2）通过证得，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
【详解】（1）证明：是的直径，，，
，，，，
是的直径，是的切线；
（2）证明：平分，， ，，
，，∴，．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
10．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．①求证：直线与相切；②若的直径为，求线段的长；
(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，
∵为的中线，∴，即，
∵，∴，
又∵，，∴，
又∵，∴；∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，
由题意可知，∴，又∵为的直径，∴，
又∵，∴，∴，∴，
又∵为的半径，∴为的切线；
②∵由题意可知，，∴，，∴，
∵的直径为，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵在中，，∴，解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，∴，即，∴，
∵，，∴，∴；
当时，过A点作于点，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，∴，，
∴，即，∴，
根据还有：，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，且，∴，
∴，∴，∴；
综上：的面积为或或．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解一元二次方程等知识，理解“华益美三角”的含义，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
11．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，在中，是边上一点．
(1)当时，①求证：；②若，，求的长；
(2)已知，若，求的长．
【答案】(1)①见解析；②(2)
【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即可；（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明，由，，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，∴；
②解：∵，∴，即，∴；
（2）解：∵，∴.
∵，∴，∴.，，∴
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
12．（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点在同一直线上，满足，，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据同角的余角相等，得，再根据“等边对等角”可得，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案.
【详解】证明：∵，，
∴，即.
∵，∴， ∴..
又∵，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．即两角相等的两个三角形相似.
13．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，中，，D为上一点，．
(1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值；
(3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则 的值为___________．
【答案】(1)见详解(2)(3)
【分析】（1）证，得出，即可得证结论；（2）根据角的关系得出△AEB为等腰三角形，根据（1）得出，过点E作交于点F，可得出，根据相似三角形的性质即可求解；（3）过点B作于点P，则，先证明，即有，，设，即，，再设，则，根据，可得，解得或（舍去），即有，则，，问题得解．
【详解】（1）∵，，
∴，∴， ∴；
（2）过点E作交于点F，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴为等腰三角形，∴，，
∵， ，∴，
设，则,，在中，，
∴，，∴，a，
∵，∴，即，∴,
又∵，，
∴，∴，∴，
∴∴，
（3）过点B作于点P，则，
又∵，∴，
∴，∴，，
设，即，，再设，则，
∵，∴，解得或（舍去），
∴，则，，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023·吉林·九年级阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD=．
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．
【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，
∴，∴AC2=AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，
∴，∴BF2=BE•BC，∴BC===，∴AD=．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
15．（2023·福建九年级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．
【详解】（1）证明：，，，，
，，，．
（2）解：，，，，
AD是△ABC的中线，，
，即：，∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．
16．（2022秋·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
【答案】（1）详见解析；（2）6．
【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴，
∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．
∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6．
【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键.
17．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据勾股定理求得的值，即可根据（1）中结论求解．
【详解】（1）证明：∵平分，∴，
又∵，∴，∴，即．
（2）解：在中，，，则，
又∵，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）（1）[问题背景]如图1，在四边形中，对角线平分，且满足，求证：
（2）[尝试应用]在中，的角平分线交于点F
①如图2，，边上一点G满足，，，求的值．
[拓展创新]②如图3，，，，，直接写出的值（用含有m、n、a三个字母的代数式表示）为__________．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）证明即可；（2）先证明，再在上取一点使即为等边三角形，即可根据（1）中的模型得到得到，得到，最后代入中计算即可；（3）过交于，再在上取两点使，然后根据（1）中模型得到，，再证明，结合正切的定义求解即可．
【详解】（1）∵平分，∴,
∵，∴，∴，∴；
（2）∵的角平分线交于点F
∴，，
∴
①∵，∴，∴在上取一点使，
∵，∴为等边三角形，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，同理可证得到，
∴；
②过交于，再在上取两点使，
由①可得，，
∵∴，
∴，
∵，∴，，∴，
∴设，则，，
∵，
∴，，∴，，
，
∵，∴，∴，∴，
同理由可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正切，解题的关键是根据第一小问的模型去构造辅助线．
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
4）共边模型
条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；
例1．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ．
例2．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．
例4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于．
（1）求证：；（2）若，，求．
例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长．
例7．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；
【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．
课后专项训练
1．（2023秋·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）如图，已知，其中，，则（ ）
A．2B．C．D．4
3．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，过点C作于点D，点M为线段的中点，连接，过点D作于点E．设，，则图中可以表示为的线段是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，D是的边上一点，连接，若，则的长 ．
5．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）已知：如图，中，，，D为边上一点，． (1)求证： ．(2)若的周长为11，请求出的长．
6．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D在的边上，连接． (1)如图1，若．求证：；(2)如图2，若，，，．求线段的长；(3)如图3，M、N分别是上的两点，连接交于点P，当，时，若，直接写出的值______．
7．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．
(1)求证：；(2)求证：．
8．（2023秋·安徽亳州·九年级统考阶段练习）如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)直接写出的形状______；(2)若垂足为D，证明：；
(3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果）
9．（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，是的直径，点D是上一点，且，与交于点F．(1)求证：是的切线；(2)若平分，求证：．
10．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．①求证：直线与相切；②若的直径为，求线段的长；
(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
11．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，在中，是边上一点．
(1)当时，①求证：；②若，，求的长；
(2)已知，若，求的长．
12．（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点在同一直线上，满足，，且．求证：．
13．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，中，，D为上一点，．
(1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值；
(3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则 的值为_．
14．（2023·吉林·九年级阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
15．（2023·福建九年级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
16．（2022秋·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
17．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长.
18．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）（1）[问题背景]如图1，在四边形中，对角线平分，且满足，求证：
（2）[尝试应用]在中，的角平分线交于点F
①如图2，，边上一点G满足，，，求的值．
[拓展创新]②如图3，，，，，直接写出的值（用含有m、n、a三个字母的代数式表示）为__________．
专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
4）共边模型
条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；
例1．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ．
【答案】
【分析】先证明△BCD∽△CAD，然后根据相似三角形的性质直接解答即可．
【详解】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，∴△BCD∽△CAD，
∴，∴CD2＝AD•BD＝6×2＝12，∴CD＝．故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解此题的关键是要知道直角三角形斜边上的高把这个三角形分得的两个小三角形，与原三角形相似．
例2．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，∴
∵，，∴，
∴，∴，即，
解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．
证明：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，
∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB；
（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，
∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，
∴，∴CD2＝AC•BD．
例4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于．
（1）求证：；（2）若，，求．
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】(1)根据已知条件得到，，所以，根据余角的性质得到，得到∽，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论;
(2)根据得到,根据勾股定理得到,根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结果.
【详解】（1）∵，∴．
又∵，，∴．
而，，∴，∴，∴．
又，，∴∽，
∴，∴，∴．
（2）由（1）可知，而，，
∴，∴，∴在中根据勾股定理可知．
∵∽，∴，．
【点睛】本题是考查相似三角形判定定理和性质，能够熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键
例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3，ABC∽ACD，ABC∽CBD，ACD∽CBD；（2）；（3）存在，(，)，(，)
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到AB•CD＝AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．
【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB
同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3．
∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝．
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝，∴OB＝．
分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴＝，∴，解得t＝，即，∴．
在△BPQ中，由勾股定理，得，∴点P的坐标为；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴，∴，
解得t＝，即，
过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴，即，∴PE＝．
在△BPE中，，
∴，∴点P的坐标为，
综上可得，点P的坐标为(，)；(，)．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．
【分析】（1）由题意可得∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，从而可得∠DCE=∠DCF = 135°，于是可证得，则有DE= DF；（2）结合（1）可求得∠CDF +∠F= 45°从而可得∠F =∠CDE，则，利用相似三角形的性质即可求解；（3）由DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，结合（2）可求得CE = 2，从而可求得CG= DG=，可证得，从而可求得GN =，再利用勾股定理即可求得DN．
（1）证明∶∵∠ACB=90°，AC= BC，CD是中线，
∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，∴∠DCE=∠DCF= 135°
∵在△DCE与△DCF中， ，∴，∴DE= DF；
（2）证明∶∵∠DCE= ∠DCF= 135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，
∵∠CDF +∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，
∴ ，∴，即；
（3）解：如图，
∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，
∴∠DGN=∠ECN=90°， ∠GCD=∠CDG=45°，∴CG= DG
当CD=2，CF=时，由可得，CE=2，
在Rt△DCG中，
∵∠ECN =∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键．
例7．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；
【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据角平分线的定义及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（2）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（3）根据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，∴，，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，解得：，∴；
（3）过点作交的延长线于点，
∵，，
∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023秋·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若，则，故选项A不合题意；
若，则，故选项B不合题意；
若，则，故选项C不合题意；
若，不能证明，故选项D符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）如图，已知，其中，，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据求解即可．
【详解】解：∵，∴，即，
∴，∴（负值已舍去），故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
3．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，过点C作于点D，点M为线段的中点，连接，过点D作于点E．设，，则图中可以表示为的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，根据相似三角形的性质得，则，再证明，可得出，则，由点M为线段的中点，得，即可得出．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
同理得，∴，∴，
∵点M为线段的中点，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直角三角形性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
4．（2023秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，D是的边上一点，连接，若，则的长 ．
【答案】
【分析】可证明，则，即得出，从而得出的长．
【详解】解： ∵，∴，∴．
即，∴．故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，两个角相等，两个三角形相似．
5．（2023秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）已知：如图，中，，，D为边上一点，． (1)求证： ．(2)若的周长为11，请求出的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）在 与 中，有 ，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可．（2）根据相似三角形的性质，得即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，且，∴；
（2）解：∵△ABC的周长为11，，，∴，
∵，∴，即，∴，故的长为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质；熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
6．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D在的边上，连接． (1)如图1，若．求证：；(2)如图2，若，，，．求线段的长；(3)如图3，M、N分别是上的两点，连接交于点P，当，时，若，直接写出的值______．
【答案】(1)证明见解析；(2)(3)
【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质，即可证明结论；
（2）延长至点，使得，连接，根据三角函数值，设，，进而得到，，，证明，得出，从而得到关于的一元二次方程，解方程即可得到线段的长；（3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，过点作于点，设，，，利用勾股定理，得到，，证明，得出，进而得到，，再证明，，得到，，进而得出，最后证明，，得出，即可求出的值．
【详解】（1）证明：，，
，，；
（2）解：如图，延长至点，使得，连接，
，，，设，，，，
，，，
，，，，
，，解得：，（舍），；
（3）解：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，过点作于点，
，，，
，设，，，
，，，
在中，，在中，，
，，，，
是的外角，，，，
又，，，，
，，，
，，，
，，，，
，，，，即，
，，，
，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形三线合一的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
7．（2023秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．
(1)求证：；(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）由平行线可知，，结合点E是边中点，即得出，从而可根据直角三角形斜边中线的性质求出，得出．根据三角形外角性质，结合题意可求出，即得出，进而可证；
（2）由等腰三角形三线合一的性质可知，，即得出．由（1）可得，即得出，从而可求出，进而得出，即．再由平行线的性质得出，即证明，得出，即．
【详解】（1）∵，∴．
∵E为中点，∴．∵，∴，∴．
∵，∴，∴．
∵，，∴，∴，
又∵，∴；
（2）∵，E为中点，∴，，∴，∴．
又由（1）可得，∴，∴．
∵，∴，∴．
又∵，∴，∴，
∴，∴，即．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的两组边对应成比例且夹角相等，②两个三角形有两组角对应相等，③两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似．
8．（2023秋·安徽亳州·九年级统考阶段练习）如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)直接写出的形状______；(2)若垂足为D，证明：；
(3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果）
【答案】(1)直角三角形(2)见解析(3)
【分析】（1）利用勾股定理求得，的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解；
（2）证明，即可证明；（3）利用（2）的结论即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴是直角三角形，故答案为：直角三角形；
（2）证明：由（1）知是直角三角形，且，
∵，∴，
∴，∴，∴；
（3）解：由题意得，，米，米，
由（2）得，∴，∴米，∴树的高度为米．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，是的直径，点D是上一点，且，与交于点F．(1)求证：是的切线；(2)若平分，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理即可得出，再由已知得出，则，从而证得是的切线；（2）通过证得，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
【详解】（1）证明：是的直径，，，
，，，，
是的直径，是的切线；
（2）证明：平分，， ，，
，，∴，．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
10．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．①求证：直线与相切；②若的直径为，求线段的长；
(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，
∵为的中线，∴，即，
∵，∴，
又∵，，∴，
又∵，∴；∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，
由题意可知，∴，又∵为的直径，∴，
又∵，∴，∴，∴，
又∵为的半径，∴为的切线；
②∵由题意可知，，∴，，∴，
∵的直径为，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵在中，，∴，解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，∴，即，∴，
∵，，∴，∴；
当时，过A点作于点，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，∴，，
∴，即，∴，
根据还有：，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，且，∴，
∴，∴，∴；
综上：的面积为或或．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解一元二次方程等知识，理解“华益美三角”的含义，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
11．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，在中，是边上一点．
(1)当时，①求证：；②若，，求的长；
(2)已知，若，求的长．
【答案】(1)①见解析；②(2)
【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即可；（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明，由，，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，∴；
②解：∵，∴，即，∴；
（2）解：∵，∴.
∵，∴，∴.，，∴
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
12．（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点在同一直线上，满足，，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据同角的余角相等，得，再根据“等边对等角”可得，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案.
【详解】证明：∵，，
∴，即.
∵，∴， ∴..
又∵，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．即两角相等的两个三角形相似.
13．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，中，，D为上一点，．
(1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值；
(3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则 的值为___________．
【答案】(1)见详解(2)(3)
【分析】（1）证，得出，即可得证结论；（2）根据角的关系得出△AEB为等腰三角形，根据（1）得出，过点E作交于点F，可得出，根据相似三角形的性质即可求解；（3）过点B作于点P，则，先证明，即有，，设，即，，再设，则，根据，可得，解得或（舍去），即有，则，，问题得解．
【详解】（1）∵，，
∴，∴， ∴；
（2）过点E作交于点F，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴为等腰三角形，∴，，
∵， ，∴，
设，则,，在中，，
∴，，∴，a，
∵，∴，即，∴,
又∵，，
∴，∴，∴，
∴∴，
（3）过点B作于点P，则，
又∵，∴，
∴，∴，，
设，即，，再设，则，
∵，∴，解得或（舍去），
∴，则，，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023·吉林·九年级阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD=．
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．
【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，
∴，∴AC2=AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，
∴，∴BF2=BE•BC，∴BC===，∴AD=．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
15．（2023·福建九年级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．
【详解】（1）证明：，，，，
，，，．
（2）解：，，，，
AD是△ABC的中线，，
，即：，∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．
16．（2022秋·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
【答案】（1）详见解析；（2）6．
【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴，
∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．
∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6．
【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键.
17．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据勾股定理求得的值，即可根据（1）中结论求解．
【详解】（1）证明：∵平分，∴，
又∵，∴，∴，即．
（2）解：在中，，，则，
又∵，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）（1）[问题背景]如图1，在四边形中，对角线平分，且满足，求证：
（2）[尝试应用]在中，的角平分线交于点F
①如图2，，边上一点G满足，，，求的值．
[拓展创新]②如图3，，，，，直接写出的值（用含有m、n、a三个字母的代数式表示）为__________．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）证明即可；（2）先证明，再在上取一点使即为等边三角形，即可根据（1）中的模型得到得到，得到，最后代入中计算即可；（3）过交于，再在上取两点使，然后根据（1）中模型得到，，再证明，结合正切的定义求解即可．
【详解】（1）∵平分，∴,
∵，∴，∴，∴；
（2）∵的角平分线交于点F
∴，，
∴
①∵，∴，∴在上取一点使，
∵，∴为等边三角形，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，同理可证得到，
∴；
②过交于，再在上取两点使，
由①可得，，
∵∴，
∴，
∵，∴，，∴，
∴设，则，，
∵，
∴，，∴，，
，
∵，∴，∴，∴，
同理由可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正切，解题的关键是根据第一小问的模型去构造辅助线．
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