2023-2024学年江苏省镇江市各名校九下数学第十三周周末强化训练（含答案）

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1．（2023•青山区模拟）化简的结果是（）
A．a﹣bB．a+bC． D．
2．（2023•宿城区一模）如图，在 Rt△ABC 中，1＜AC＜5，tan∠ABC＝2．分别以点 C，A 为圆心，以 2
和 3 为半径作弧，两弧交于点 D（点 D 在 AC 的左侧），连接 BD，则 BD 的最大值为（）
A．B．C． D．
3．（2023•镇江一模）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是正方形对角线 BD 所在直线上的一个动点，连接 AE，以 AE 为斜边作等腰 Rt△AEF（点 A，E，F 按逆时针排序），则 CF 长的最小值为（）
A．B．1C． D．2
二．填空题（共 14 小题）
4．（2023•丹徒区模拟）如图，四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，连接 AC、BD．M
是 AC 的中点，连接 BM、DM．若 AC＝12，则△BMD 的面积为 ．
5 ．（ 2023 • 丹徒区模拟） 关于 x 的分式方程有正数解， 则符合条件的负整数 m 的和是 ．
6 ．（ 2023 • 丹徒区模拟） 函数 y ＝ ﹣ x3+x 的部分图象如图所示， 当 y ＜ 0 时， x 的取值范围是 ．
7．（2023•京口区校级一模）设 a1、a2、a3，…，a2021 是从﹣1，0，2 这三个数中取值的一列数，若 a1+a2+a3+…
+a2021＝9， + + +…+ ＝51，则 + + +…+ ＝ ．
8．（2023•京口区校级一模）如图，由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D 为格点（即小正方形的顶点），AB 与 CD 相交于点 O，则 AO 的长为 ．
9．（2022•如皋市二模）如图，正方形 ABCD 的边长为 5，E 为 AD 的中点，P 为 CE 上一动点，则 AP+BP
的最小值为 ．
10．圆锥的底面直径是 8，母线长是 5，则这个圆锥的侧面积是 ．
11．（2023•镇江模拟）如图，点 D 在△ABC 的 AB 边上，且 AD：AB＝2：5，过点 D 作 DE∥BC，交 AC
于点 E，连接 BE，则△ABE 与△BEC 的面积之比为 ．
12．（2023•镇江模拟）已知点 P（m，n）在双曲线上，则 m2﹣3mn+n2 的最小值为 ．
13．（2023•镇江模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，△BEF 的顶点 E 在对角线 AC 上运动，且∠BFE＝90°，∠EBF＝∠BAC，连接 AF，则 AF 的最小值为 ．
14．（2023•丹徒区模拟）镇江市一座底蕴深厚、人文荟萃的历史文化古城，如图是镇江的一个古建筑的装饰物（里面是一个个小等边三角形），该图形绕旋转中心（点 O）至少旋转 度后可以和自身完全重合．
15．（2023•丹徒区模拟）如图，△ABC 内接于⊙O，∠ABC＝70°，过点 A 的切线与 CO 的延长线交于点
D，则∠D＝ ．
16．（2023•丹徒区模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°，得到△ADE，连接 CD，则 CD 的长为 ．
17．（2023•丹徒区模拟）如图，点 A（2，12）在反比例函数 y＝（k≠0）的图象上，AB，AC 分别垂直于 x 轴、y 轴，点 D 在位于 AB 右侧的反比例函数的图象上，DE，DF 分别垂直于 x 轴、AB．若四边形
DEBF 为正方形，则这个正方形的面积等于 ．
三．解答题（共 6 小题）
18．（2021•牡丹区三模）如图，一扇窗户打开后可以用窗钩 AB 将其固定，窗钩的一个端点 A 固定在窗户底边 OE 上，且与转轴底端 O 之间的距离为 20cm，窗钩的另一个端点 B 在窗框边上的滑槽 OF 上移动， 滑槽 OF 的长度为 17cm，AB、BO、AO 构成一个三角形．当窗钩端点 B 与点 O 之间的距离是 7cm 的位置时（如图 2），窗户打开的角∠AOB 的度数为 37°．求窗钩 AB 的长度（精确到 1cm）．（参考数据： sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
19．（2024•四平一模）如图，点 A 在反比例函数（x＞0）的图象上，AB⊥x 轴，垂足为 B，tan∠AOB
＝ ，AB＝2．
求 k 的值；
点 C 在这个反比例函数图象上，且∠BAC＝135°，求 OC 的长．
20．（2023•秦淮区模拟）如图，△ABC 内接于⊙O，CD 平分∠ACB 交⊙O 于 D，过点 D 作 PQ∥AB 分别交 CA、CB 延长线于 P、Q，连接 BD．
求证：PQ 是⊙O 的切线；
求证：BD2＝AC•BQ；
若 AC、BQ 的长是关于 x 的方程 x2﹣mx+4＝0 的两实根，且，求⊙O 的半径．
21．（2023•京口区校级一模）【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：
如图 1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形 ABCD 和一个△CDE 组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为△FMN（阴影部分均不通风），点 F 为 AB 的中点，MN 是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆．
设窗子的边框 AB、AD 分别为 a m，b m，窗子的高度（窗子的最高点到边框 AB 的距离）为 c m．
【初步探究】
若 a＝3，b＝2，c＝4（即点 E 到 AB 的距离为 4）．
①MN 与 AB 之间的距离为 1m，求此时△FMN 的面积；
②MN 与 AB 之间的距离为 x m，试将通风口的面积 y m2 表示成关于 x 的函数；
③伸缩杆 MN 移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
若金属杆 MN 移动到高于 CD 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c 需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 m2（用含 a、b、c 的代数式表示）
②用直尺和圆规在图 3 中作出通风口面积最大金属杆 MN 所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）
22．（2023•镇江模拟）如图，∠BAD 的 AB 边上有一点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作圆，⊙O 与 AD
边的另一交点为点 P，过点 P 作⊙O 的切线 PN，点 C 在射线 PN 上．
仅用圆规，在 AD 边上求作一点 Q（不与 A、P 重合），使 C、Q 所在直线与 AB 互相垂直（保留作图痕迹）；
连接 CQ 交 AB 于点 H，AH＝5，QH＝1．①若⊙O 的半径为 2，求 PC 长；②当⊙O 的半径为多少时，OA•（PC+4OA）取最大值？
23．（2023•镇江一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A（1，6）在反比例函数 y＝（k≠0）的图象上，
点 O 为坐标原点，直线 OA 交反比例函数图象于另一点 B，点 C 是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，与点 A 不重合，过点 A 作 AD∥x 轴，过点 C 作 CD⊥x 轴，点 E 为垂足，AD，CD 相交于点D，连接 OD，AC，BC．
（1）k＝ ；
求证：OD∥BC：
当∠AOD＝2∠DOE 时，求 AC 的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 3 小题）
【解答】解：
＝
＝
＝
＝ ．
故选：D．
【解答】解：tan∠ABC＝2，则 ，设 BC＝a，AC＝2a，
由 AB2＝BC2+AC2，可得，则 ， 作∠ADE＝90°，且 ，
连接 AE，BE，DE，
由 可知，，
∵tan∠ABC＝2，即 ，
∴ ，
∴tan∠BAC＝tan∠DAE， 即 ∠BAC＝∠DAE， 则：∠BAC﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴，即：，
∴ ，
∴△ADC∽△AEB，
∴，
∵DC＝2，
∴ ，
由题意可知， ，当 B、E、D 在同一直线上时取等号， 即：BD 的最大值为：，
故选：C．
【解答】解：连接 AC 交 BD 于点 G，连接并延长 GF 交 BC 于点 H，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，AD＝CD＝2，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝45°，
∵AF＝EF，∠AFE＝90°，
∴∠FAE＝∠FEA＝45°，
∵BD⊥AC 于点 G，
∴∠AGB＝90°，AG＝CG，
∵∠AGL＝∠EFL，∠ALG＝∠ELF，
∴△ALG∽△ELF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠GLF＝∠ALE，
∴△GLF∽△ALE，
∴∠LGF＝∠FAE＝45°，
∴∠LGF＝∠FAE＝45°，
∴∠LGF＝∠ABD，
∴GF∥AB，
∴∠GHC＝∠ABC＝90°， ＝ ＝1，
∴GH⊥BC，BH＝CH＝ BC＝1，
∴点 F 在 BC 的垂直平分线上运动，
∵CH⊥GH，
∴当点 F 与点 H 重合时，CF 的值最小，此时 CF＝CH＝1，
∴CG 长的最小值为 1， 故选：B．
二．填空题（共 14 小题）
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M 是 AC 的中点，
∴BM＝DM＝ AC＝AM＝6，
∴∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，
由三角形的外角性质得，∠BMC＝∠ABM+∠CAB＝2∠BAC，
∠CMD＝∠ADM+∠DAC＝2∠DAC，
∴∠BMD＝∠BMC+∠CMD＝2（∠BAC+∠DAC）＝2∠BAD， 四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BMD＝2∠BAD＝90°，
∴S△BMD＝ BM•DM＝ ×6×6＝18． 故答案为：18．
5．【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，，
∵关于 x 的分式方程有正数解，
∴ ，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1 是增根，当 x＝1 时，，即 m＝﹣3，
∴m≠﹣3，
∴m＞﹣5 且 m≠﹣3，
∴符合条件的负整数 m 有﹣4，﹣2，﹣1，其和为﹣4﹣2﹣1＝﹣7， 故答案为：﹣7．
【解答】解：令 y＝0 得：﹣x3+x＝0，
∴﹣x（x2﹣1）＝0，
∴﹣x（x+1）（x﹣1）＝0，
∴﹣x＝0 或 x+1＝0 或 x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1，
∴函数与 x 轴的交点坐标为：（﹣1，0），（0，0），（1，0）， 结合图象，当 y＜0 时，x 的取值范围是：﹣1＜x＜0 或 x＞1． 故答案为：﹣1＜x＜0 或 x＞1．
【解答】解：设这一列数中有 x 个﹣1，y 个 2，
∵a1+a2+a3+…+a2021＝9， ，
∴﹣x+2y＝9，（﹣1）2⋅ x+22⋅ y＝51，
∴，解得：，
∴ ．
故答案为：69．
【解答】解：如图所示：
在△BDF 和△ECF 中，
，
∴△BDF≌△ECF（AAS），
∴BF＝EF＝ ， 又∵BF∥DA，
∴△BFO∽△ADO，
∴ ，
又∵AD＝4，
∴ ，
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得，
，
又∵AB＝AO+BO，
∴AO＝ ，
故答案为 ．
【解答】解：作 B 点关于 EC 的对称点 F，连接 AF 交 EC 于点 P，连接 BP，过 F 点作 FG⊥BC 交 BC
的延长线于点 G， BF 交 EC 于点 H，
∴BP＝FP，
∴AP+BP＝AP+PF≥AF，
当 A、F、P 三点共线时，AP+BP 有最小值，最小值为 AF，
∵E 点是 AD 的中点，
∴ED＝ AD，
∵正方形 ABCD 的边长为 5，
∴ED＝ ，
∴tan∠ECD＝ ，
∵BH⊥EC，
∴∠BHC＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠HBC＝∠ECD，
∴tan∠HBC＝ ，
∴2HC＝BH，
在 Rt△BCH 中，BC＝5，
∴BH＝2 ，
∴BF＝2BH＝4 ，
在 Rt△BGF 中，BG＝2FG，
∴GF＝4，BG＝8，
过点 F 作 FM⊥AB 交于 M，
∴MF＝8，AM＝1，
在 Rt△AFM 中，AF＝，
∴AP+BP 的最小值为， 故答案为： ．
【解答】解：∵圆锥的底面直径是 8，
∴底面周长＝8π，
∴这个圆锥的侧面积＝ ×8π×5＝20π． 故答案为：20π．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB＝2：5，
∴ ，则 ，
∴S△ABE：S△BEC＝2：3， 故答案为：2：3．
【解答】解：将点 P（m，n）代入双曲线，
得： ，
∴mn＝﹣1，
∵（m+n）2＝m2+2mn+n2≥0，
∴m2+n2≥﹣2mn，
∴m2﹣3mn+n2≥﹣2mn﹣3mn＝﹣5mn＝5，
∴m2﹣3mn+n2 的最小值为 5， 故答案为：5．
【解答】解：过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，连接 FH，如图，
∵∠BFE＝∠BHE＝90°，
∴E，B，F，H 四点共圆，
∴∠FHB＝∠FEB，
∵∠AHF+∠FHB＝90°，∠FBE+FEB＝90°
∴∠AHF＝∠EBF，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵∠EBF＝∠BAC，
∴∠EBF＝∠ACD，
∴∠AHF＝∠ACD＝定值，
∴点 F 在射线 HF 上运动，当 AF⊥FH 时，AF 的值最小，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠D＝90°．
∴ ，
∴ ，
∵S△ACB＝ •AB•CB＝ •AC•BH，
∴ ，
∴ ，
∴AF 的最小值＝．
故答案为： ．
【解答】解：由题意可知该六边形是正六边形，则可知正六边形每条边所对的圆心角为 60°，
所以该六边形绕点 O 至少旋转 60°后能与原来的图形重合． 故答案为：60．
【解答】解：连接 OA，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
∵AD 是⊙O 的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠D＝∠AOC﹣∠OAD＝140°﹣90°＝50°， 故答案为：50°．
【解答】解：连接 BD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，
∴AB＝ AC＝4，∠CAB＝45°，
由旋转的性质得到：∠BAD＝60°，AD＝AB＝4，
∴△BAD 是等边三角形，
∴BD＝DA，
∵BC＝AC，
∴CD⊥AB，
∴FD＝ AD＝2，
∵∠AFC＝90°，∠BAC＝45°，
∴△AFC 是等腰直角三角形，
∴CF＝ AC＝2，
∴CD＝CF+FD＝2+2 ．
故答案为：2+2 ．
【解答】解：设正方形的边长为 m，
∵点 A（2，12），
∴D（2+m，m），
∵点 A、D 在反比例函数 y＝（k≠0）的图象上，
∴m（2+m）＝2×12，
解得 m＝4 或 m＝﹣6（舍去），
∴这个正方形的面积＝4×4＝16， 故答案为：16．
三．解答题（共 6 小题）
【解答】解：根据题意，可知∠AOB＝37°，OA＝20cm，OB＝7cm．过点 A 作 AH⊥OF，垂足为点H．
在 Rt△OAD 中，∵sin∠AOD＝，
∴AD＝AO⋅ sin∠AOD＝20×sin37°≈12（cm）．同理可得 OD＝16（cm）．
由 OB＝7，得 BD＝9（cm）．
在 Rt△ABD 中，．
答：窗钩 AB 的长度约等于 15cm． 19．【解答】解：（1）∵AB⊥x 轴，
∴∠OBA＝90°，
在 Rt△OBA 中，AB＝2，tan∠AOB＝＝ ，
∴OB＝4，
∴A（4，2），
∵点 A 在反比例函数 y＝的图象上，
∴k＝4×2＝8；
（2）如图，延长 CA 交 x 轴于 D，
∵∠BAC＝135°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝45°，
∵AB⊥x 轴，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝45°，
∴BD＝AB＝2，
∴OD＝6，
∴D（6，0），
设直线 AC 的解析式为 y＝ax+b，
∵点 A（4，2），D（6，0）在直线 AC 上，
，
∴，
∴
∴直线 AC 的解析式为 y＝﹣x+6①， 由（1）知，k＝8，
∴反比例函数的解析式为 y＝ ②，
联立①②解得， 或，
∴C（2，4），
∴OC＝ ＝2 ， 即 OC 的长为 2．
20．【解答】（1）证明：∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，
∵∠ACD＝∠ABD
∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDQ，
如图，连接 OB，OD，交 AB 于 E，
，
则∠O＝2∠DCB＝2∠BDQ，∠OBD＝∠ODB， 在△OBD 中，∠OBD+∠ODB+∠BOD＝180°，
∴2∠ODB+2∠BDQ＝180°，
∴∠ODB+∠BDQ＝90°，
∴OD⊥DQ，
∵OD 是半径，
∴PQ 是⊙O 的切线；
如图，连接 AD，
由（1）知 PQ 是⊙O 的切线，
∴∠BDQ＝∠DCB＝∠ACD＝∠BCD＝∠BAD，
∴AD＝BD，
∵∠BDQ＝∠ACD，
∴△BDQ∽△ACD，
∴ ，
∴BD2＝AC•BQ；
∵AC、BQ 的长是关于 x 的方程 x2﹣mx+4＝0 的两实根，
∴AC•BQ＝4，
由（2）得 BD2＝AC•BQ，
∴BD2＝4，
∴BD＝2，
由（1）知 PQ 是⊙O 的切线，
∴OD⊥PQ，
∵PQ∥AB，
∴OD⊥AB，
由（1）得∠PCD＝∠ABD，
∵ ，
∴ ，
∴BE＝3DE，
∴DE2+（3DE）2＝BD2＝4，
∴
，
∴
，
设 OB＝OD＝R，
∴ ，
∵OB2＝OE2+BE2，
∴ ，
解得：，
∴⊙O 的半径．
21．【解答】解：（1）①当 0≤x≤2 时，y＝1.5x，当 x＝1 时，y＝1.5×1＝1.5；
∴MN 与 AB 之间的距离为 1m 时△FMN 的面积为 1.5m2；
②如图 1，过 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，EF 分别与 CD、MN 相交于点 G、H， 当 2≤x≤4 时，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB＝CD＝2m，∠A＝∠ADC＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∴四边形 ADGF 是矩形，
∴AD＝GF＝1m，∠DGF＝90°，
∵四边形 PQNM 是矩形，
∴MN∥PQ，
∴∠EFA＝∠EHM＝90°，
由题意可知，EF＝2m，HF＝x m，
∴EG＝1m，EH＝（4﹣x） m，
∵MN∥PQ∥CD，
∴△EMN∽△EDC，
又 EH、EG 分别是△EMN、△EDC 的对应高，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
化简，得：MN＝（6﹣1.5x）m．
∴y＝ x（6﹣1.5x）＝﹣ x2+3x；
综上可知，当 0≤x≤2 时，y＝1.5x；当 2≤x≤4 时，y＝﹣x2+3x；
③当 0≤x≤2 时，y＝1.5x，
因此，当 x＝2 时，y 最大，最大值是 3．
当 2≤x≤4 时，y＝﹣x2+3x＝﹣ （x﹣2）2+3， 因此，当 x＝2 时，y 最大，最大值是 3．
综上所述，当 x＝2 时，y 最大，最大值是 3．
因此，金属杆 MN 移动到 CD 所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是 3m2．
（2）①如图 2，已知在△ABC 中有内接矩形，其中 M、N 在 AB、AC 边上，P、Q 在 BC 边上， 易证当 MN 为中位线时，矩形 PQNM 的面积最大，且最大面积为△ABC 面积的一半，
即： •底•高，
在图 3 中，延长 ED、EC 交直线 AB 于 F、G，
则 MN 为△EFG 的中位线时，矩形 PQNM 的面积最大，
所以要想金属杆 MN 移动到高于 CD 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值， 只需△EFG 与 FG 边平行的中位线在 CD 上方即可，
即 c＞2b，此时的最大，面积为△EFG 的面积的一半． 作 ES⊥FG 于 S 交 CD 于 J，
∵CD∥FG，
∴△EDC∽△EFG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴FG＝（m），
∴通风口的面积＝ 矩形 PQNM 面积的最大值＝△EFG 面积的一半＝FG•ES＝（m2）．故答案为：c＞2b；．
②如图 4，过点 E 作 AB 的垂线交 AB 于点 F，作 EF 的垂直平分线交 DE、CE 于点 M、N，线段 MN
即为所求．
【解答】解：（1）作图痕迹如图所示；
（2）解：①连接 OP、OC，
设 PC＝x，由（1）知 CQ＝PC＝x，则 CH＝x﹣1，
∵r＝2，AH＝5，
∴OH＝3，
∵PN 是切线，
∴OP⊥PN， 又∵CQ⊥AB，
∴OC2＝OP2+PC2＝CH2+OH2，
∴22+x2＝（x﹣1）2+32， 解得：x＝3，
∴PC 的长为 3；
②设 PC＝x，半径为 r，
同①理得：r2+x2＝（x﹣1）2+（5﹣r）2； 化简得：x＝13﹣5r；
∴OA•（PC+4OA）
＝r（13﹣5r+4r）
＝﹣r2+13r
＝ ，
∴当⊙O 的半径为时，OA•（PC+4OA）取最大值．
【解答】（1）解：∵点 A（1，6）在反比例函数 y＝（k≠0）的图象上，
∴ ，
解得：k＝6； 故答案为：6；
证明：∵A（1，6），点 A 与点 B 关于原点 O 对称，
∴B（﹣1，﹣6），
∵点 C 是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，
∴设 C（a，），
∵AD∥x 轴，CD⊥x 轴，
∴D（a，6），
设直线 OD 的解析式为 y＝k1x（k1≠0），将点 D（a，6）代入得，ak1＝6，
解得：，
∴直线 OD 的解析式为 y＝，
设直线 BC 的解析式为 y＝k2x+b（k2≠0），
将 B（﹣1，﹣6），C（a，）代入得，，
解得：，
∴直线 BC 的解析式为，
∵ ，
∴OD∥BC；
解：如图，设 AC 与 OD 交于点 F，
由对称性可知，OA＝OB， 由（2）知，OD∥BC，
∴ ，
∴AF＝CF，即点 F 为 AC 的中点，
∵AD∥x 轴，CD⊥x 轴，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴AF＝CF＝DF，
∴∠DAF＝∠ADF，
∵AD∥x 轴，
∴∠ADF＝∠DOE，
∵∠AFO＝∠DAF+∠ADF＝2∠ADF＝2∠DOE，
∵∠AOD＝2∠DOE，
∴∠AFO＝∠AOD，
∴AO＝AF，
∴AC＝2AF＝2AO，
∵OA＝＝ ，
∴AC＝2AO＝ ．