高中SJ数学选择性必修第一册 专题 数学建模与数学探究 PPT课件

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专题 数学建模与数学探究苏教数学选择性必修第一册在学习数学的过程中，形成良好的数学应用意识是非常重要的. 应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识地利用数学的概念、理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决，开展数学建模活动是增强数学应用意识的有效途径.案例分析1. 某报的理财专栏声称：“等额本金”还款法要比“等额本息”还款法合算，理由是等额本金还贷所支付的利息少，该文举例说，如果某人商业贷款 25 万元购房，20 年还清(年利率5.04%)，那么等额本金还款法要比等额本息还款法少还利息 20775.45 元. 你认为上述观点是否正确? 给出你的理由. 了解自己的父母或亲友在贷款买房或购车时是否遇到过类似的问题.◆ 理解问题向银行存款或贷款是最常见的金融活动，有关问题可以运用数列知识来解决，同时，我们应该了解银行的有关专用术语和基本知识，以便更好地分析和解决有关金融问题.“等额本息”还款法是指贷款人每月按相等的金额偿还贷款本息. 第4章“数列”4.3.3节“等比数列的前”项和”中的例5即是等额本息还款法的例子.“等额本金”还款法是指贷款人将本金平均分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息.银行是按复利计算贷款利息的，且结算周期是月，月利率＝年利率/12.在分析与计算时要注意货币的时间价值，不同时间点的货币不能直接相加(参阅第4章“数列”链接“现值与终值”).◆ 简化与假设假设银行在贷款期 n 个月内的贷款利率不变，月利率为 r (年利率/12)，贷款额为 Q 元，贷款人在月初贷款后的每个月末还款.◆ 建立模型  可用 Excel 中“PMT (5.04%/12， 240，250 000)”直接计算 A. ◆ 比较及分析不论是用“等额本金”还款法还是用“等额本息”还款法，每个月末还款额的时间点均不同，如果简单地将其相加，那么就会得出“等额本金还款法比等额本息还款法所付的利息少”这样的错误：按等额本息还款，若将每个月末的还款额相加，则有S1＝1 655.418 56×240＝397 300.454 4 (元)，所付利息总额为I1＝397 300.454 4－250 000＝147 300.454 4(元). 在 B1 内键入“＝250 000/240＋ (250 000－250 000/240*(A1－1))* 5.04% / 12”.按等额本金还款，对图1中240个月的还款额求和，得S2＝376 525(元).所付利息总额为I2＝3765 25－250 000＝126 525(元).于是，I1－I2＝147 300.454 4－126 525≈20 775.45(元). 从而得出“等额本金还款法要比等额本息还款法少还利息20775.45 元”的错误结论.事实上，两种还款法所付利息总额均为250 000(1＋5.04%/12)240－250 000≈433 584.33 (元)一般地，对于等额本息还款法，有A(1＋r)n－1＋A(1＋r)n－2＋···＋A(1＋r)＋A＝Q(1＋r)n；对于等额本金还款法，有也就是说，两种还款方式逐月还款额的终值之和(称为年金终值)是一样的，贷款人所付出的利息相同，均为 [Q(1＋r)n－Q].◆ 评价与思考尽管等额本金和等额本息还款方式对于贷款人所付出的利息来说都是一样的，但这两种还款方式有各自的特点.等额本息还款法的特点是还款额每月相同，适宜家庭的开支计划，特别是年轻人，可以采用等额本息法.等额本金还款法的特点是在贷款期的前段时间还款额较高，适合在前段时间还款能力强的贷款人，年龄大的可采用等额本金还款法，因为随着年龄增大或退休，收入可能会减少.思考：利用互联网搜集有关两种贷款方式的讨论或争议. 如果贷款人能够提前还贷，那么这两种还款方式一样吗? 如果预期未来的利率会降低或提高，那么应选择何种还款方式?案例分析2. 探究抛物线焦点弦的端点处切线的交点轨迹.在解析几何的学习中，我们经常会遇到探求动点轨迹的问题. 这类问题可以借助动态几何软件作出动态图形，从观察中发现某些现象，从现象中猜测某些性质，再对猜测的性质进行证明或反驳. 圆锥曲线的焦点弦是指经过圆锥曲线焦点的直线被圆锥曲线截得的线段.◆ 操作与演示(1) 在 GGB 的指令栏内输人“y^2＝2px”，并确认“创建滑动条：p”，作出抛物线 y＝2px；(2) 输入“F＝ (p/2，0)”，作出焦点 F，用“直线”工具作出过点 F 与抛物线上一点 A 的直线，交抛物线于另一点 B ；(3) 选择“切线”工具，分别作出过 A 和 B 的抛物线的切线，两条切线的交点为 C (图2).◆ 观察与猜想“跟踪”C，拖动点A，观察点 C 的轨迹，可以发现并猜想：(1) 点 C 在一条垂直于 x 轴的直线上，且此直线为抛物线的准线；(2) 点 C 对焦点弦的张角为直角 (即点 C 在以 AB 为直径的圆上)；(3) 点 C 与焦点弦 AB 的中点 D 的连线 CD 平行于 x 轴；(4) CF⊥AB······对于不同的 p (拖动滑动条)，可以直观地观察到上述猜想都是成立的.◆ 探究与证明利用动态几何软件演示观察得到的结论尚需通过数学运算或逻辑推理进行确认，毫无疑问，动态几何软件能够直观地呈现变化中的不变关系，有助于我们发现探究的目标，提高探究的效率.下面我们利用两个已知结论证明上述猜想.对于抛物线焦点弦的问题，第3章3.3节“抛物线”习题3.3(2)第8题给出了一个重要的结论：设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 是抛物线 y2＝2px 焦点弦的两个端点，则有 y1y2＝－p2. 将直线 AC 和 BC 的方程两边相减，得  思 考尝试给出猜想(4)的证明.◆ 反思与拓展案例2实际上涉及抛物线焦点弦的一个性质. 焦点弦的性质既可以从度量关系进行考察，如焦点弦的端点坐标之间的关系，弦长，焦点弦的端点与原点构成的三角形面积等；还可以从位置关系或点的轨迹进行研究,如以焦点弦为直径的圆与准线的位置关系，焦点弦的中点轨迹,焦点弦端点处的切线的交点轨迹等.对案例2可以做如下拓展：(1)“观察与猜想”中的结论如果成立，那么其逆命题是否也成立? (例如，“过抛物线准线上的点作抛物线的两条切线，切点弦过抛物线的焦点”正确吗?)(2)如果将焦点弦改为过抛物线对称轴上一定点的弦，结论如何?(3)如果将焦点弦改为过任一定点的弦，结论又将如何?(4)如果将抛物线改为椭圆或双曲线，还有类似的结论吗?课题推荐数学建模和数学探究活动实际上是“做数学、学数学、用数学”的过程，体现了数学的应用价值和科学价值，通过数学建模和数学探究活动，学会在数学学习或生产生活中发现新的问题、新的可能性，从新的角度审视旧的问题，需要创造性的想象力.结合本册学习内容，以下课题供同学们研究讨论. 你也可以通过相关刊物和网站查找或发现感兴趣的研究课题，参照《数学(必修第一册)》“数学建模与数学探究”专题所介绍的“选题、开题、做题和结题”环节，独立或与同伴合作开展数学建模和数学探究活动.(1)某人于2011年4月以公积金贷款的方式向银行贷款25万元，20年还清，还款方式为等额本息还款，年利率为4.5%，每月需还1581.62元，但该贷款人认为，“月利率＝年利率/12”的计算方式是错误的，因为用这种计算方式得出的年利率为4.594%，导致贷款人20年多还约3000元，你认为贷款人的说法正确吗?(2)斐波那契数列的递推关系、通项公式各是什么?怎样互相推出?斐波那契数列有哪些性质及应用?(3)自主选择中学生数学建模或数学探究获奖(或发表)的论文，介绍讲解并点评.(4)圆锥曲线焦点弦的性质及应用.(5)利用GGB或其他软件探究平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹.