2023-2024学年江苏省南京市各名校月考七下数学易错题强化训练（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市各名校月考七下数学易错题强化训练（含答案），共22页。试卷主要包含了，连接PB、PC等内容，欢迎下载使用。

1．（2023春•玄武区期末）从A地到B地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为4km/h，平路速度为5km/h，下坡速度为6km/h．已知他从A地到B地需用35min，从B地返回A地需用24min．问从A地到B地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数x，y，且列出一个方程为，则另一个方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春•玄武区期末）如图，△ABC，点P为△ABC外一点（点P不在直线AB、BC、AC上），连接PB、PC．若∠PBA＝α，∠PCA＝β，∠BAC＝γ，对于
①α+γ﹣β；
②α﹣β﹣γ；
③β﹣α﹣γ；
④360°﹣α﹣β﹣γ，
则∠BPC的度数可能是（ ）
A．①④B．②③④C．①②③D．①②③④
二．填空题（共10小题）
3．（2023春•建邺区期末）根据乘方的定义，补全计算过程：（a2）3＝ ＝a2+2+2＝a6．
4．（2023春•建邺区期末）若（x+a）（x﹣3）＝x2+2x﹣b，则a﹣b＝ ．
5．（2023春•建邺区期末）将一副直角三角板如图放置，已知∠C＝60°，∠F＝45°，当DF⊥BC时，∠EGB＝ ．
6．（2023春•建邺区期末）如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝ ．
7．（2023春•建邺区期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E、F分别是边AC上的三等分点，连接BE、BF分别交CD于G、H点，若△ABC的面积为90，则四边形EFHG的面积为 ．
8．（2023春•玄武区期末）如图，直线c与a、b相交，∠1＝45°，∠2＝70°，要使直线a与b平行，则直线a绕点O顺时针旋转的角度至少是 ．
9．（2023春•玄武区期末）若3x＝2，9y＝5，则33x﹣2y＝ ．
10．（2022•郧西县模拟）一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形内角和为 度．
11．（2023春•玄武区期末）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，若△ABC的面积是5cm2，平移的距离是BC的2倍，则四边形ACED的面积为 cm2．
12．（2023春•玄武区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，BD＝3AD，EC＝2BE，AE、CD相交于点O．若△ABC的面积为S，则四边形BEOD的面积是 ．（用含S的代数式表示）
三．解答题（共9小题）
13．（2023春•建邺区期末）分解因式：
（1）18a2﹣32；
（2）y﹣6xy+9x2y．
14．（2023春•建邺区期末）已知：如图，AD是△ABC的高，E是AC上一点，EF⊥BC，垂足为F，连接DE，∠1＝∠2．
（1）求证：DE∥AB．
（2）过D作DG∥AC交AB于G，当∠B+∠C＝100°时，∠EDG＝ ．
15．（2023春•建邺区期末）是否存在正整数x和y，使得x2＝y2+2023，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由．
16．（2023春•建邺区期末）2023年9月23日至10月8日第十九届亚运会将在杭州举办．某商场用25000元购进亚运吉祥物的摆件和挂件，售完后共获利11700元．其中摆件每件进价40元，售价58元；挂件每件进价30元，售价45元．
（1）请分别求出该商场购进摆件和挂件的数量．（用二元一次方程组解决问题）
（2）618促销期间，商场第二次以原进价购进摆件和挂件，购进摆件的件数不变，而购进挂件的件数是第一次的2倍，摆件按原售价出售，而挂件打折销售．若摆件和挂件销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于10800元，则挂件最低可以打几折？（用一元一次不等式解决问题）
17．（2023春•建邺区期末）在△ABC和△ACD（共AC边且不重合）中，∠B＝∠BAC，∠D＝∠DAC．
（1）如图1，当△ABC和△ACD均为钝角三角形，B、D在直线AC两侧时，∠BCD和∠BAD之间的数量关系为 ．
（2）如图2，当△ABC和△ACD均为锐角三角形，且B、D在直线AC两侧时，∠BCD和∠BAD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，当△ABC为钝角三角形，△ACD为锐角三角形，且B、D在直线AC同侧时，求证：∠BCD＝2∠BAD．
（4）分别作∠B和∠D的角平分线，两条角平分线所在直线交于P点（点P不与点B或者点D重合），当∠BCD＝100°时，直接写出∠BPD的度数．
18．（2023春•玄武区期末）因式分解：
（1）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）；
（2）x4﹣8x2+16．
19．（2023春•玄武区期末）3台大收割机和1台小收割机同时工作4小时共收割小麦7.2公顷，2台大收割机和3台小收割机同时工作3小时共收割小麦5.7公顷，1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
20．（2023春•玄武区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，D是线段BA延长线上的动点，在线段BD上取一点E，使∠DEC＝∠DCE．
（1）当点E在线段AB上时，且∠DCA＝32°，求∠BCE的度数；
（2）若∠BAC＝120°，且△ACD是直角三角形，则∠BCE＝ °．
21．（2023春•玄武区期末）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）第一次和第二次购进的水果全部售完后，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元；
①求购进的甲种水果至少为多少千克？
②第三次购进的甲、乙两种水果的售价分别为22元/千克、35元/千克．由于失水和腐烂，甲种水果减少了a千克，乙种水果减少了1.2a千克．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润为1134元，则常数a的值为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．【解答】解：设坡路长为x km/h，平路长为y km/h，
根据题意得．
故选：D．
2．【解答】解：如图一，∠P+∠PDB+α＝∠ADC+β+γ，
∵∠PDB＝∠ADC，
∴∠P+α＝β+γ，
∴∠P＝β+γ﹣α；
如图二，在四边形ABPC中，α+β+γ+∠P＝360°，
∴∠P＝360°﹣α﹣β﹣γ；
如图三，α+γ+∠ADB＝∠P+β+∠PDC，
∵∠ADB＝∠PDC，
∴α+γ＝∠P+β，
∴∠P＝α+γ﹣β；
如图四，延长CA交PB于点D，
∵∠BDA是△PCD的外角，
∴∠BDA＝∠P+β，
∵∠BAC是△ABD的外角，
∴γ＝α+∠BDA＝α+β+∠P，
∴∠P＝γ﹣α﹣β；
如图五，延长CB，
∵∠1是△BCP的外角，
∴∠1＝∠4+∠BPC，
同理，∠2＝∠3+∠BAC，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠BPC+∠BAC，
又∵∠1+∠2＝α，∠3+∠4＝β，∠BAC＝γ，
∴α＝β+γ+∠BPC，
∴∠BPC＝α﹣β﹣γ；
如图6，延长BC，
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠3＝∠1+∠BAC，
同理，∠4＝∠2+∠BPC，
∴∠3+∠4＝∠1+∠2+∠BAC+∠BPC，
∵∠1+∠2＝α，∠3+∠4＝β，∠BAC＝γ，
∴β＝α+γ+∠BPC，
∴∠BPC＝β﹣α﹣γ．
综上判断①、②、③、④都正确，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
3．【解答】解：（a2）3
＝a2•a2•a2
＝a2+2+2
＝a6．
故答案为：a2•a2•a2．
4．【解答】解：（x+a）（x﹣3）＝x2+（a﹣3）x﹣3a，
∵（x+a）（x﹣3）＝x2+2x﹣b，
∴x2+2x﹣b＝x2+（a﹣3）x﹣3a．
∴a﹣3＝2，b＝3a．
∴a＝5，b＝15．
∴a﹣b＝5﹣15＝﹣10．
故答案为：﹣10．
5．【解答】解：设BC与DF交于点M，如图所示.
在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
∵DF⊥BC，
∴∠DMB＝90°，
∴∠BDM＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．
在△DFG中，∠FDG＝60°，∠F＝45°，
∴∠DGF＝180°﹣∠FDG﹣∠F＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠EGB＝∠DGF＝75°．
故答案为：75°．
6．【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝228°，∠1＝∠A′+∠A′NM，∠2＝A′+∠A′MN，
∴2∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝228°，
∵∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝180°，
∴∠A′＝228°﹣180°＝48°，
∴∠A＝∠A′＝48°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣48°＝132°，
∴∠AEF+∠ADG＝2（∠AED+∠ADE）＝2×132°＝264°，
∴∠3+∠4＝360°﹣264°＝96°．
故答案为：96°．
7．【解答】解：连接AH，如图所示：

设S△HCF＝a，S△HAD＝b，
∵点D为AB的中点，△ABC的面积为90，
∴△BCD和△ACD等底同高，△AHD和△BHD同高，
∴S△BCD＝S△ACD＝S△ABC＝45，S△AHD＝S△BHD＝b，
∴S△AHB＝S△AHD+S△BHD＝2b，
∵点E，F为AC的三等分点，
∴AF＝2CF，
∵△HCF和△HAF同高，
∴S△HCF：S△HAF＝CF：AF＝1：2，
∴S△HAF＝2S△HCF＝2a，
∴S△HAC＝S△HAF+S△HCF＝2a+a＝3a，
∴S△ACD＝S△HAC+S△HAD＝3a+b，
∴3a+b＝45，
∵点E，F为AC的三等分点，
∴AF：AC＝2：3，
∵△ABF和△ABC同高，
∴S△ABF：S△ABC＝AF：AC＝2：3，
∴S△ABF＝S△ABC＝60，
∵S△ABF＝S△AHB+S△HAF＝2b+2a，
∴2b+2a＝60，
由，解得：，
∴S△HCF＝a＝7.5，
设S△AGD＝c，S△AGE＝d，
∵点D为AB的中点，
∴△AGD和△BGD同高，
∴S△AGD＝S△BGD＝c，
∴S△AGB＝S△AGD+S△BGD＝2c，
∴S△ABE＝S△AGB+S△AGE＝2c+d，
∵点E，F为AC的三等分点，
∴AE：AC＝1：3，AE：EC＝1：2，
∵△ABE和△ABC同高，
∴S△ABE：S△ABC＝AE：AC＝1：3，
∴S△ABE＝S△ABC＝30，
∴2c+d＝30，
∵△AGE和△CGE同高，
∴S△AGE：S△CGE＝AE：EC＝1：2，
∴S△CGE＝2S△AGE＝2d，
∴S△AGC＝S△CGE+S△AGE＝3d，
∴S△ACD＝S△AGD+S△AGC＝c+3d＝45，
由，解得：，
∴S△AGD＝c＝9，S△AGE＝d＝12，
∴S四边形ADGE＝S△AGD+S△AGE＝21，
∴S四边形EFHG＝S△ACD﹣S四边形ADGE﹣S△HCF＝45﹣21﹣7.5＝16.5．
故答案为：16.5．
8．【解答】解：如图：
当∠AOD＝∠2＝70°时，AB∥b，
∵∠1＝45°，
∴∠3＝∠AOD﹣∠1＝25°，
∴要使直线a与b平行，则直线a绕点O顺时针旋转的角度至少是25°，
故答案为：25°．
9．【解答】解：∵3x＝2，9y＝5，
∴32y＝5；
∴33x﹣2y＝33x÷32y＝（3x）3÷32y＝23÷5＝．
故答案为：．
10．【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°＝8，
多边形的内角和是：（8﹣2）•180°＝1080°．
故答案为：1080．
11．【解答】解：过点A作AG⊥BE，垂足为G，
由平移得：AD＝BE＝2BC，AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵△ABC的面积是5cm2，
∴BC•AG＝5，
∴BC•AG＝10，
∴▱ABED的面积＝BE•AG
＝2BC•AG
＝20（cm2），
∴四边形ACED的面积＝▱ABED的面积﹣△ABC的面积＝20﹣5＝15（cm2），
故答案为：15．
12．【解答】解：连接OB，
∵BD＝3AD，
∴AD：BD＝1：3，
∵△AOD和△BOD同高，△ACD和△BCD同高，
∴S△AOD：S△BOD＝AD：BD＝1：3，S△ACD：S△BCD＝AD：BD＝1：3，
∴S△BOD＝3S△AOD，S△BCD＝3S△ACD，
∵EC＝2BE，
∴BE：EC＝1：2，
∵△OBE和△OCE同高，△ABE和△ACE同高，
∴S△OBE：S△OCE＝BE：EC＝1：2，S△ABE：S△ACE＝BE：EC＝1：2，
∴S△OCE＝2S△OBE，S△ACE＝2S△ABE，
设S△AOD＝a，S△OBE＝b，S△AOC＝c，
由S△BOD＝3S△AOD，得：S△BOD＝3a，
由S△OCE＝2S△OBE，得：S△OCE＝2b，
由S△BCD＝3S△ACD，得：S△BOD+S△OBE+S△OCE＝3（S△AOD+S△AOC），
即：3a+b+2b＝3（a+c），整理得：b＝c，
由S△ACE＝2S△ABE，得：S△AOC+S△OCE＝2（S△AOD+S△BOD+S△OBE），
即：c+2b＝2（a+3a+b），整理得：c＝8a，
∴b＝c＝8a，
∵S△ABC＝S△AOD+S△BOD+S△OBE+S△OCE+S△AOC＝S，
∴a+3a+b+2b+c＝S，整理得：4a+3b+c＝S，
∴S＝4a+3×8a+8a＝36a，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
13．【解答】解：（1）原式＝2（9a2﹣16）
＝2（3a+4）（3a﹣4）；
（2）原式＝y（1﹣6x+9x2）
＝y（1﹣3x）2．
14．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的高，E是AC上一点，EF⊥BC，
∴∠ADC＝∠EFC＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠2＝∠ADE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ADE，
∴DE∥AB；
（2）解：∵DG∥AC，DE∥AB，
∴∠BDG＝∠C，∠CDE＝∠B，
∵∠B+∠C＝100°，
∴∠BDG+∠CDE＝100°，
∵∠BDG+∠EDG+∠CDE＝180°，
∴∠EDG＝80°，
故答案为：80°．
15．【解答】解：由x2＝y2+2023，得x2﹣y2＝2023，
∴（x+y）（x﹣y）＝2023，
∵x、y是正整数，
∴（x+y）（x﹣y）＝1×2023或（x+y）（x﹣y）＝7×289或（x+y）（x﹣y）＝17×119，
∴或或，
解得或或．
∴存在正整数x和y，使得x2＝y2+2023，分别为或或．
16．【解答】解：（1）设该商场购进摆件x件、挂件y件．
根据题意，列方程组，解得．
∴该商场购进摆件400件、挂件300件．
（2）第二次购进摆件为400件，购进挂件300×2＝600件．
设挂件售价为m元，则获利为400×（58﹣40）+600（m﹣30）＝600m﹣10800．
当600m﹣10800≥10800时，解得m≥36．
36÷45＝0.8．
∴挂件最低可以打8折．
17．【解答】（1）解：如图所示，延长AC至E，
在△ABC，△ADC 中，∠1＝∠B+∠BAC，∠2＝∠D+∠DAC，
∵∠B＝∠BAC，∠D＝∠DAC，
∴∠1+∠2＝（∠B+∠BAC）+（∠D+∠BCD）＝2∠BAC+2∠DAC＝2（∠BAC+∠DAC），
∴∠BCD＝2∠BAD，
故答案为：∠BCD＝2∠BAD；
（2）解：根据四边形的内角和可知，∠B+∠BAC+∠DAC+∠D+∠DCA+∠ACB＝360°，
∵∠B＝∠BAC，∠D＝∠DAC，
∴2∠BAC+2∠DAC+∠DCA+∠ACB＝360°，
∴2（∠BAC+∠DAC）+（∠DCA+∠ACB）＝360°，
∴2∠BAD+∠BCD＝360°，
故答案为：2∠BAD+∠BCD＝360°．
（3）证明：如图所示，设AB，CD交于点E，
在△BCE 中，∠BED＝∠B+∠BCD，
在△ADE中，∠BED＝∠BAD+∠D，
∴∠B+∠BCD＝∠BAD+∠D，
又∵∠B＝∠BAC，∠D＝∠DAC，
∴∠BCD＝∠BAD+∠D﹣∠B＝∠BAD+（∠DAC﹣∠BAC），
∵∠DAC﹣∠BAC＝∠BAD，
∴∠BCD＝∠BAD+∠BAD，
∴∠BCD＝2∠BAD．
（4）解：①如图所示，BP，DP分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∠BCD＝100°，
∴，，
∵，∠DPC＝∠DAP+∠PDA＝，
∴，
∴，
由（1）可知，∠BCD＝2∠BAD，
∴，
∴；
②如图所示，BP，DP分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∠BCD＝100°，且∠CBA＝∠BAC，∠ADC＝∠DAC，
∴，，
∴，
由（2）可知，∠BCD+2∠BAD＝360°，
∴，
在四边形ABPD中，根据四边形内角和可得，
；
③如图所示，BP，DP分别是∠ABC，∠ADC 的平分线，∠BCD＝100°，设AB，DP交于点F，
在△ADF 中，，在△BPF 中，，
∴，
∴，，
∵∠CBA＝∠BAC，∠ADC＝∠DAC，
∴，
∴，
由（3）可知，∠BCD＝2∠BAD，
∴，
∴，
④如图所示，BP，DP分别是∠ABC，∠ADC 的平分线，∠BCD＝100°，设直线BP交AC于M，直线DP交AC于N，
∵∠BCD＝100°，
∴∠CBA+∠CAB+∠CDA+∠CAD＝360°﹣100°＝260°，
∵∠CBA＝∠CAB，∠CDA＝∠CAD，
∴∠CBA+∠CDA＝×260°＝130°，
∵∠PMN＝∠CBM+∠BCM，∠PNM＝∠NCD+∠NDC，
∴∠PMN+∠PNM＝∠CBA+∠BCM+∠NCD+∠CDA＝（∠CBA+∠CDA）+∠BCD＝×130°+100°＝165°，
∴∠BPD＝180°﹣165°＝15°；
综上所示，∠BPD的度数为 75°，165°，15°
18．【解答】解：（1）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）
＝m2（a﹣b）﹣n2（a﹣b）
＝（a﹣b）（m2﹣n2）
＝（a﹣b）（m+n）（m﹣n）；
（2）x4﹣8x2+16
＝（x2﹣4）2
＝（x+2）2（x﹣2）2．
19．【解答】解：设1台大收割机每小时收割小麦x公顷，1台小收割机每小时收割y公顷．
由题意得：．
解得：．
答：1台大收割机每小时收割小麦0.5公顷，1台小收割机每小时收割0.3公顷．
20．【解答】解：（1）在△ABC中，∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
又∵∠B＝∠ACB，
∴，
同理 ，
∵∠BAC是△ACD的外角，∠DCA＝32°，
∴∠BAC＝∠D+∠DCA＝∠D+32°，
∴，
∵∠DEC是△BEC的外角，
∴∠DEC＝∠B+∠BCE，
∴；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
当△ACD是直角三角形时，则∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，
当∠ADC＝90°时，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∠DCB＝60°，
∴∠BCE＝60°﹣45°＝15°，
当∠ACD＝90°时，
∵∠DAC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∴∠DEC＝∠DCE＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠B＝∠D＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝45°，
综上所述，∠BCE＝15°或45°．
故答案为：15或45．
21．【解答】解：（1）设甲种水果的进价是每千克x元，乙种水果的进价是每千克y元．
由题意得：，
解得：，
答：甲种水果的进价是15元，乙种水果的进价是26元．
（2）①设购进的甲种水果为mkg，则有：
15m+26（150﹣m）≤3240，
解得m≥60，
答：购进的甲种水果至少为60kg．
②设利润为w元，
w＝（22﹣15）（m﹣a）+（35﹣26）（150﹣m﹣1.2a），
整理得：w＝﹣2m﹣17.8a+1350，
所以，当m＝60时，w最大为1134；
即：﹣2×60﹣17.8a+1350＝1134，
解得：a＝，
所以a的值为．
进货批次
甲种水果（单位：千克）
乙种水果（单位：千克）
总费用（单位：元）
第一次
80
50
2500
第二次
40
70
2420