2020中考数学二轮专题第03讲-因式分解-【教案】

这是一份2020中考数学二轮专题第03讲-因式分解-【教案】，共14页。教案主要包含了重点回顾，巧添项，巧换元，展开巧组合，巧用主元等内容，欢迎下载使用。

温故知新
一、重点回顾
回忆：因式分解的一般方法：
1、提公因式法
2、公式法
3、十字相乘法
课堂导入
课题扩展：因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具，学习因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外，还要熟悉一些特殊的方法和技巧。
一、巧拆项
在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或某几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
二、巧添项
在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可使问题化难为易。
三、巧换元
在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解。
四、展开巧组合
若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。
五、巧用主元
对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理。
知识要点一

因式分解
1、因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
2、因式分解与整式乘法的关系
如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。
3、公因式的定义：
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
4、确定公因式的方法：
确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符
号取“—”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系
数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都
含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。
5、提公因式法：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多
项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
提公因式法的依据是乘法的分配律，它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的
“逆用”。
6、公式法
（1）用平方差公式因式分解：
（2）用完全平方公式因式分解：
（3）因式分解的一般步骤：
步骤：① 有公因式先提公因式； ② 没有公因式，可以尝试公式法因式分解；
③ 如果上述方法都不可以，可以先整理多项式，然后分解；
④ 必须分解到最后。
典例分析
一、因式分解的定义
例1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．m2﹣n2=（m﹣n）（m+n）
C．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z
【解答】选：B．
例2、若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么p+q的值等于 31 ．
【解答】（x4+px2+q）÷（x2+2x+5）=x2﹣2x+p﹣1…（12﹣2p）x+q﹣5p+5，
∵x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，∴余数中12﹣2p=0，q﹣5p+5=0，
解得：p=6，q=25，∴p+q=31．故答案为：31．
学霸说
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；
举一反三
1、下列各式从左到右的变形为分解因式的是（ ）
A．m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3） B．（m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6
C．x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8x D．x2+1=x（x+）
【解答】故选A．
2、已知多项式x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24可分解成x、y的两个一次因式，则实数m= ﹣18 ．
【解答】设x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24=（x+ay+3）（x+by﹣8），
∵（x+ay+3）（x+by﹣8）=x2+（a+b）xy+aby2﹣5x+（﹣8a+3b）y﹣24，
∴x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24=x2+（a+b）xy+aby2﹣5x+（﹣8a+3b）y﹣24，
∴，解得，∴m=ab=（﹣2）×9=﹣18．故答案为：﹣18．
3、先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【解答】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，由①、②解得m=﹣5，n=20．
二、提公因式法
典例分析
例1、计算a2（2a）3﹣a（3a+8a4）的结果是（ ）
A．3a2 B．﹣3a C．﹣3a2 D．16a5
【解答】故选：C．
例2、先化简，再求值：
（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，其中a=1，b=2．
（2）2a（a+b）﹣（a+b）2，其中a=3，b=5．
【解答】（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1=2a2b﹣2ab2﹣3a2b+3+2ab2+1=﹣a2b+4
当a=1，b=2时，原式=﹣12×2+4=2；
（2）原式=（a+b）（2a﹣a﹣b）=（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，
当a=3，b=5时，原式=32﹣52=﹣16．
举一反三
1、把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（ ）
A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）
C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）
【解答】 故选B．
2、已知a=3+2，b=3﹣2，则代数式ab2﹣a2b的值是 ﹣4 ．
【解答】原式=ab（b﹣a）=1×（﹣4）=﹣4．故答案为：﹣4．
3、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需用上述方法3次，结果是（x+1）4 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）结果是 （x+1）n+1 ．
【解答】（1）上述分解因式：提公因式法，共应用了2次．故答案为：提公因式法，2次；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3=（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
=（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）2（1+x）（1+x）=（1+x）4，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需应用上述方法3次，结果是：（x+1）4．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
故答案为：（x+1）n+1．
公式法补充
分组分解法:当被分解的多项式有四项或四项以上时，可以对多项式中的各个单项式适当的分组，然后再利用提公因式法、公式法对其进行分解因式。
十字相乘法
典例分析
例1、把下列各式分解因式
（1）； (2）；
【解答】(1);(2)
例2、分解因式
（1） （2）
【解答】：
∴ ∴
（3） （4） （5）
【解答】（3）；（4）；（5）
例3、已知：a=2014x+2015，b=2014x+2016，c=2014x+2017，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】故选D．
例4、若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2= 3 ．
【解答】有a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，变形后
（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，
（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，
又a2+b2≥0，即a2+b2=3，故答案为3．
举一反三
1、把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣1）（x+3），则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3 D．a=﹣2，b=﹣3
【解答】故选：B．
2、分解因式：（a+b）2﹣12（a+b）+36= （a+b﹣6）2 ．
【解答】原式=（a+b﹣6）2．故答案为：（a+b﹣6）2
3、阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形
由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题
（1）分解因式：x2+7x﹣18= （x﹣2）（x+9）
启发应用
（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 7或﹣7或2或﹣2 ．
【解答】（1）原式=（x﹣2）（x+9）；
（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4；
（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2，
则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2．
故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．
课堂闯关
初出茅庐
1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B．
C．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
【解答】故选：D．
2、下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 B．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4=（x+2）2
【解答】 故选：B．

3、将m2（a﹣2）+m（a﹣2）分解因式的结果是（ ）
A．（a﹣2）（m2﹣m） B．m（a﹣2）（m﹣1）
C．m（a﹣2）（m+1） D．m（2﹣a）（m﹣1）
【解答】m2（a﹣2）+m（a﹣2）=m（a﹣2）（m+1）．故选：C．
4、多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3的公因式是（ ）
A．2xy B．24x2y3 C．﹣2x D．以上都不对
【解答】多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3各项的公因式是：﹣2x．故选：C．
5、对下列各整式因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣x+1=x（2x﹣1）+1 B．x2﹣2x﹣1=（x2﹣1）2
C．2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1） D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）
【解答】故选D
6、10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；…；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+…+x102，N=y12+y22+…+y102，则（ ）
A．M＜N B．M＞N
C．M=N D．M、N的大小关系不确定
【解答】由题意可得，xn+yn=9，∴yn=（9﹣xn），
∴M﹣N=x12+x22+…+x102﹣（y12+y22+…+y102）
=x12+x22+…+x102﹣，
=﹣810+18（x1+x2+…+x10），
∵10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，
x1+x2+…+x10=45，
∴﹣810+18（x1+x2+…+x10）=﹣810+18×45=﹣810+810=0，∴M=N，故选C．
7、由（x﹣2）（x﹣1）=x2﹣3x+2，则x2﹣3x+2分解因式为 （x﹣2）（x﹣1） ．
【解答】∵（x﹣2）（x﹣1）=x2﹣3x+2，∴x2﹣3x+2=（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为（x﹣2）（x﹣1）．

8、若4a2+kab+9b2可以因式分解为（2a﹣3b）2，则k的值为 ﹣12 ．
【解答】∵（2a﹣3b）2=4a2﹣12ab+9b2=4a2+kab+9b2，
∴k=﹣12．故应填﹣12．

9、分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2= 3a（a﹣2b）2 ．
【解答】原式=3a（a2﹣4ab+4b2）=3a（a﹣2b）2，
故答案为：3a（a﹣2b）2

10、分解因式：﹣2xy2+8xy﹣8x= ﹣2x（y﹣2）2 ．
【解答】﹣2xy2+8xy﹣8x=﹣2x（y2﹣4y+4）=﹣2x（y﹣2）2．
故答案为：﹣2x（y﹣2）2．
优学学霸
1、仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴n+3=﹣4，m=3n，解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ﹣3 ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= 9 ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
【解答】（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；
（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，
则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．
故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．
2、先化简，再求值：
（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．
（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．
【解答】（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8；
（2）原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）=5x2﹣5y2，当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15．
3、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．
例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．
解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．
∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）
而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；
例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；
而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；
∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：
①6x2﹣17xy+12y2= （3x﹣4y）（2x﹣3y）
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12= （x﹣2y+3）（2x+3y﹣4）
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y= （x﹣3y）（x+2y+2）
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
【解答】（1）①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y），
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2），
故答案为：①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2），
（2）如图，
m=3×9+（﹣8）×（﹣2）=43
或m=9×（﹣8）+3×（﹣2）=﹣78．
考场直播
1、【2016春•深圳期末】仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
【解答】：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【解答】设另一个因式为（x+a），得2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a，∴，解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
2、【2015•深圳】因式分解：
（1）6xy2﹣9x2y﹣y3 （2）（p﹣4）（p+1）+3p．
【解答】（1）6xy2﹣9x2y﹣y3
=﹣y（y2﹣6xy+9x2）
=﹣y（3x﹣y）2；
（2））（p﹣4）（p+1）+3p
=p2﹣3p﹣4+3p
=（p+2）（p﹣2）．
套路揭密：
（1）掌握因式分解的定义及意义；
（2）因式分解中，提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。
自我挑战

1、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2
C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2=（x﹣y）2+2xy
【解答】故选C．
2、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）=ma+mb B．a2﹣a=2=a（a﹣1）﹣2
C．﹣4a2+9b2=（﹣2a+3b）（2a+3b） D．x2﹣=（x﹣）（x+）
【解答】故选C
3、多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（ ）
A．5mx2 B．﹣5mx3 C．mx D．﹣5mx
【解答】﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，故选：D．

4、多项式18a2b2﹣12a3b2c﹣6ab2的公因式是（ ）
A．﹣6ab2 B．﹣6ab2c C．﹣ab2 D．﹣6a3b2c
【解答】多项式18a2b2﹣12a3b2c﹣6ab2的公因式是﹣6ab2，故选A
5、下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=（m+n）（m﹣n） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C．a2﹣a=a（a﹣1） D．a2+2a+1=a（a+2）+1
【解答】故选：C．
6、因式分解的结果是（x+y﹣z）（x﹣y+z）的多项式是（ ）
A．x2﹣（y+z）2 B．（x﹣y）2﹣z2 C．﹣（x﹣y）2+z2D．x2﹣（y﹣z）2
【解答】故选：D．
7、多项式xn﹣yn因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），则n= 4 ．
【解答】∵（x﹣y）（x+y）（x2+y2）=（x2﹣y2）（x2+y2）=x4﹣y4
∴xn﹣yn=x4﹣y4，即n=4．故应填：4．
8、因式分解：6x3y﹣12xy2+3xy= 3xy（2x2﹣4y+1） ．
【解答】6x3y﹣12xy2+3xy=3xy（2x2﹣4y+1）．故答案为：3xy（2x2﹣4y+1）．

9、分解因式：（3a﹣b）（a+b）﹣ab﹣b2= （3a﹣2b）（a+b） ．
【解答】答案为：（3a﹣2b）（a+b）．
10、把下列各式分解因式：
（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．
【解答】（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
=2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]=2m（m﹣n）（5m﹣n）；
（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3=﹣4ab（2a﹣3b+a2b2）．

11、下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；
故答案为：不彻底，（x﹣2）4；
（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4．