2020中考数学二轮专题第04讲分式及分式方程-【教案】

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温故知新
一、上节课重点回顾
回忆：因式分解的一般方法：
1、提公因式法
2、公式法
3、十字相乘法
课堂导入
知识要点一
分式概念及性质
1.分式的定义：整式除以整式，可以表示成的形式，如果除式中含有字母，那么称为分式，其中称为分式的分子，称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不为零。
2.分式有、无意义和分式的值为零的条件
Ⅰ分式有意义的条件：分母不等于零，即；
Ⅱ分式无意义的条件：分母等于零，即
Ⅲ分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即且。
3.分式值为正和为负的条件
Ⅰ分式的值为正数的条件：分式的分子与分母同号，即或
Ⅱ分式的值为负数的条件：分式的分子与分母异号号，即或
4.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变。
用式子表示是： （为整式且）
5.约分
Ⅰ约分的定义：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
Ⅱ最简分式的定义：
一个分式的分子与分母已没有公因式，这个分式称为最简分式，化简分式时，通常要把结果化成最简分式或者整式。
Ⅲ约分的方法：
（1）当分式的分子和分母都是单项式时，先找出分子与分母的最大公因式，然后将分子和分母的最大公因式约去。
（2）当分式的分子与分母是多项式时，应先把多项式分解因式，然后约去分子和分母的公因式。
3.分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。
即：
典例分析
例1.阅读上面的内容，判断下列各式中哪些是整式？哪些是分式？
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥。
② ③ ⑤ 属于分式； ① ④ ⑥ 属于整式。
例2．.当取何值时，（1）分式的值为正；（2）分式的值为负；（3）分式的值为零。
【解答】（1）（2）（3）
例3.根据分式的基本性质完成下列各式
（1）； （2）。
【解答】；
例4.化简下列分式：
(1) =________ (2) =_______
(3)=__________ (4) =______________
【解答】
举一反三
1．使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
【解答】解：由题意得x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选D．

2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．4
【解答】解：根据题意，得：
x2﹣4=0且x﹣2≠0，
解得：x=﹣2；故选：C．
3．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍
【解答】解：，
即分式的值不变．故选B．
4．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意得：=，故选C．
5．当x=1时，分式无意义；当x=4时分式的值为0，则（m+n）2012的值是 1 ．
【解答】解：分式无意义时，n=1，
分式为0时，m=﹣2，
当m=﹣2，n=1时，（m+n）2012=1，故答案为：1．
6．当x ＞3 时，分式的值大于0．
【解答】解：∵分式的值大于0，
∴x﹣3＞0，解得x＞3，
故答案为：＞3．
知识要点二
分式乘除加减
1.分式的乘法法则
Ⅰ分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
即：。
Ⅱ分式乘法运算的技巧：
（1）两个分式相乘，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。
（2）如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。
2.分式的除法法则
Ⅰ分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
即：。
Ⅱ分式除法运算的技巧：
（1）两个分式相除，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。
（2）如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。
3.同分母分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即；
特别提醒：
（1）分子相加减时，如果分子是单项式且符号为“”或分子是多项式，一定要给分式的分子加上括号。
（2）分式加减运算的结果，必须化成最简分式或整式
4.通分
Ⅰ通分的定义：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。
Ⅱ确定最简公分母的步骤：
（1）把多项式的分母能分解因式的要先分解因式；
（2）取各分母系数的最小公倍数；
（3）凡出现的字母或含有字母的式子为底的幂的因式都要取；
（4）相同字母或含有字母的式子的幂的因式取指数最高的。
按上述步骤取的因式的积，即为最简公分母。
Ⅲ通分的步骤：
（1）确定最简公分母；
（2）在确定公分母后，还要确定各分式的分子、分母应乘以的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商。
5.异分母分式的加减法
异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后按同分母分式的加减法法则进行计算。
6.分式的四则混合运算
分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，要先算乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里的。
典例分析
例1．计算：( 1 ) (2）
【解答】;
例2.计算：（1）； （2）
【解答】
例3.计算(1) (2 )
【解答】
例4.通分 （1）； （2）。
【解答】;
例5.计算： （1）； （2）。
【解答】,
例6.计算 （1）
【解答】
举一反三
1．计算的结果是（ ）
A． B． C．y D．x
【解答】解：原式=•=x．故选：D．
2．化简分式：．
【解答】解：原式=•
=．
3．（a﹣）÷．
【解答】解：原式=×
=．

4．化简
【解答】解：原式=••=．
5．先化简：，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：
=×，
=×
=﹣，当a=0时，原式=1．
6．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a=，b=．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
当a=，b=时，
原式===﹣．

知识要点三
分式方程及应用
一.定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
二．解分式方程的步骤：
（1）去分母，即在方程两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于的根是原方程的根，否则，便是增根，必须舍去。
三．增根和无解问题
把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母等于的根是原方程的增根。
方程无解问题：一是方程解出来，不存在，二是解出来的是增根。
四．列方程解应用题的一般步骤：
审题：就是弄清题意，弄明白哪些量是已知的，哪些量是未知的，要求的量是什么。
设未知数：在题目中一般设欲求的量为x，这种设法叫直接设未知数；有时为了列方程简便，也常常设其他的量为x，这种设法叫间接设未知数法。
列方程：根据题目的实际意义找出等量关系，并把这个等量关系用已知数与未知数表示出来，这就是列方程。
解方程并求出未知数的值，分式方程一定验根。
检验：这里的检验有两重含义，一是检验解方程是否正确，二是检验所解出的根是否符合题意。
典例分析
例1.判断下列关于、的方程中，是分式方程的有 。（填正确的序号）
①；②；③（、为常数）④
【解答】①④
例2.解下列关于方程
（1）； （2）。
【解答】,(增根）
例3.当为何值时,解方程会产生增根?
【解答】
例4.为何值时，方程无解。
【解答】
例5.若关于的方程的解不大于13，求的取值范围。
【解答】
例6．甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．
【解答】：设普通快车车的平均速度为km／h，则直达快车的平均速度为1.5km／h，依题意，得
=，解得，
经检验，是方程的根，且符合题意．
∴，，
即普通快车车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．
例7．某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？
【解答】： 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，
那么乙单独完成工程所需的天数就是(x＋3)天.
设工程总量为1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得
，解得 ．
即规定日期是6天．
例8.兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）
【解答】解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，由题意，得
=，
解得x=90，
经检验x=90是分式方程的解，符合题意．
答：第一批T恤衫每件的进价是90元；
（2）设剩余的T恤衫每件售价y元．
由（1）知，第二批购进=50（件）．
由题意，得120×50×+y×50×﹣4950≥650，
解得y≥80．
答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元．
举一反三
1．解方程：．
【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得：
x（x+2）+2=（x+2）（x﹣2），
即x2+2x+2=x2﹣4，
移项、合并同类项得2x=﹣6，
系数化为1得x=﹣3．
经检验：x=﹣3是原方程的解．

2．解方程：．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣4），
得：3+x+x﹣4=﹣1，
整理解得x=0．
经检验x=0是原方程的解．

3．在长江某处一座桥的维修工程中，拟由甲、乙两个工程队共同完成某项目．从两个工程队的资料可以知道：若两个工程队合作24天恰好完成；若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：
（1）甲、乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？
（2）又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元．要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此项目需x天，乙工程队单独完成此项目需y天．
依题意得：．
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成此项目需40天，乙工程队单独完成此项目需60天．
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天时，总的施工费用不超过22万元．
根据题意得：．
解得：b≥40．
答：要使该项目总的施工费用不超过22万元，乙工程队最少施工40天．

4．我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．
（1）文学书和科普书的单价各多少钱？
（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？
【解答】解：（1）设文学书的单价为每本x元，则科普书的单价为每本（x+4）元，依题意得：
，
解得：x=8，
经检验x=8是方程的解，并且符合题意．
∴x+4=12．
∴购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元．
②设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书．依题意得
550×8+12y≤10000，
解得，
∵y为整数，
∴y的最大值为466
∴至多还能购进466本科普书．

课堂闯关
初出茅庐
1.下列公式中是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【解答】C
2.·（-）等于（ ）
A. B. - C. D.
【解答】C
3.÷的值等于（ ）
A.- B. C.- D.
【解答】A
4．下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
B、该方程属于无理方程，故本选项正确；
C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
故选：B．
5．分式方程=的解是（ ）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
【解答】选：D．
6．若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣
【解答】选：B．
优学学霸
7.关于x的方程有增根，那么a=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【解答】选D
8.方程的解是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
【解答】选A
9．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
【分析】（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
【解答】解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
，
解得x=80，
经检验x=80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得
，
解得：y≥25，
答：甲至少整理25分钟完工．
考场直播

1．从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
【解答】解：解得，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
解方程﹣=﹣1得x=，
∵x=为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1或﹣1，
∵a=﹣1时，原分式方程无解，故将a=﹣1舍去，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，
故选B．
自我挑战
1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A．3x= B．=2 C．= D．3x﹣2y=1
【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选B．
2．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【解答】选C．
3．在下列方程①x2﹣x+；②﹣3=a+4；③+5x=6；④+=1中，是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】选：B．
4.使代数式÷有意义的的值是（ ）
A.且 B.且
C.且 D.且且
【解答】D
5.在下列各式中：① ② ③ ④相等的的两个式子是（ ）
A.①② B. ①③ C.②③ D.③④
【解答】B
6.化简：等于（ ）
A. B. C. D.
【解答】C
7.某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要天；甲队每天的工作费用为元、乙队每天的工作费用为元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？
【解答】：设甲队单独完成需天，则乙队单独完成需要天．根据题意得
，
解得 ．
经检验是原方程的解，且，都符合题意．
应付甲队（元）．
应付乙队（元）．
公司应选择甲工程队，应付工程总费用元．
8.A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？
【解答】：设甲工程队每周铺设管道公里,
则乙工程队每周铺设管道()公里
根据题意, 得
解得，
经检验，都是原方程的根
但不符合题意,舍去
∴
答: 甲工程队每周铺设管道2公里,则乙工程队每周铺设管道3公里
9．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，
=
x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．