数学选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系图文ppt课件

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在平面直角坐标系中直线可以用直线的方程来表示那么如何依据两条直线的方程来判定它们之间的位置关系呢?这就是下面我们要讨论的问题 
(1)已知直线l₁:x-y+1=0，直线 l₂:x+y+3=0，判断l₁与l₂之间的关系，如果相交，求出交点的坐标;如果不相交，说明理由.(2)总结怎样依据两条直线的方程来考察它们之间的位置关系
因为平面直角坐标系中，一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程，所以为了考察与之间的位置关系，只要看它们的方程组成的方程组的解的情况即可。
(1)已知直线l₁:x-y+1=0，直线 l₂:x+y+3=0，判断l₁与l₂之间的关系，如果相交，求出交点的坐标;如果不相交，说明理由.又∵解方程组可得x=-2，y=-1所以可知l与lz是相交的而且交点的坐标为❶__________________
(2)总结怎样依据两条直线的方程来考察它们之间的位置关系若直线则可得方程组消去未知数y并整理，可得
第一种情况：当且仅当①式有唯一的解因此可知方程组有唯一的解，且此时，直线l₁与l₂有唯一的交点(称为相交)，且交点坐标为
第二种情况：当且仅当即k₁=k₂且b₁≠b₂时，
第三种情况：当且仅当即k₁=k₂且b₁≠b₂时，任意实数都是①式的解，方程组有无数组解此时，直线l₁与l₂的方程完全一样它们有无穷多个交点，因此重合.
综上，若直线l₁:y=k₁x十b₁，l₂:y=k₂x+b₂，则:例如，直线 y=-x与y=2x 相交直线 y=3 与y=-1 平行.
上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗 ？如果没有,请提出能包括所有直线的解决方案 ,并尝试给出最后的结论 .前面的讨论中并没有包括斜率不存在的直线 ． 为此 ， 可以考虑直线的一般式方程 .
设直线l₁: A₁x + B₁y + C₁ =0l₂: A₂x + B₂y + C₂=0.
因为v₁=(A₁，B₁)是直线l₁的一个法向量v₂=(A₂，B₂)是直线的一个法向量。
l₁与l₂相交(即只有一个交点)的充要条件是v₁与 v₂不共线,即A₁B₂≠A₂B₁l₁与l₂相交平行或重合的充要条件是v₁与 v₂不共线,即A₁B₂≠A₂B₁
在v₁与v₂共线时，存在实常数λ，使得v₁ = λv₂?，因为v₁与v₂都不是零向量，所以λ≠0，且此时l₁的方程可以改写为λ(A₂x+B₂y)+C,=0，即 可以看出，方程组
要么有无穷多组解，要么无解，而且有无穷多组解的充要条件为因此 重合的充要条件是，存在实数λ，使得
我们知道，平面内的两条相交直线，如果相交所得的角是四个直角，则它们互相垂直，因此，两条直线垂直是两条直线相交的一种特殊情形，能否根据直线的方程来判断两条直线是否垂直呢?这就是下面我们要讨论的问题。
如果要根据两条直线的方程来判断它们是否垂直，可以从哪些方面来考虑?用你想到的方法判断直线l₁:2x-y+1=0与l₂:x+2y+2=0是否垂直.
因为直线的方程给定之后，直线的法向量、斜率、倾斜角都能确定，所以至少可以从这些方面进行考虑.可以看出，两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直，对于尝试与发现中l₁与l₂来说，因为v₁ = (2，-1)， v₂ =(1，2)分别是l₁与l₂的法向量，而且v₁ · v₁ =2×1+(-1)×2=0即v₁ ⊥ v₂ ，所以l₁与l₂垂直。
用类似方法考察它们的法向量或倾斜角之间的关系可得
上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗?如果没有，请提出能包括所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论。
设直线l₁:A₁x+B₁y+C₁ =0l₂:A₂x+B₂y+C₂=0.因为v₁ =(A₁ ，B₁ )是直线的l₁一个法向量因为v₂=(A₂ ，B₂ )是直线的l₂一个法向量
显然 ， 前面的讨论中并没有包括斜率不存在的直线。为此，可以考虑直线的一般式方程。
如图 2-2-16所示不难看出， l₁与l₂垂直的充要条件是v₁与v₂垂直即v₁ · v₂ =0因此 A₁A₂+B₁B₂=0即l₁⊥l₂ ↔A₁A₂+B₁B₂=0
由此也可以看出，在平面直角坐标系中，直线 Ax+By+C₁ =0与直线 Bx-Ay十C₂=0一定是垂直的，因为AB+B(-A)=0.