数学（北京卷）-学易金卷：2023年中考第三次模拟考试卷

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2023年中考数学第三次模拟考试卷（北京卷）数学·参考答案 第Ⅰ卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．12345678BDABACAC第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9． x＝2．10．﹣（x+1）2（x﹣1）211． y＝﹣x+3．12．013．514．4415．216． 160；x≥250．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解：＝﹣3+2+﹣1﹣4×＝﹣2+﹣2＝﹣2﹣．18．解：，解不等式①得：x＜﹣1.5，解不等式②得：x＜2．∴不等式组的解集为 x＜﹣1.5．19．解：（1）如图，直线AD即为所求；（2）完成下面的证明．证明：由作法可知：AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC（角平分线的定义），∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B．∵∠EAC＝2∠EAD，∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；∠B，同位角相等，两直线平行．20．解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为3，∴32+6k+k2﹣1＝0，整理，得：k2+6k＝﹣8，∴2k2+12k+2021＝2（k2+6k）+2021＝2×（﹣8）+2021＝﹣16+2021＝2005．21（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴BO＝DO，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵△OAB是等边三角形，∴OA＝OB，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵△OAB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB，∵AO＝CO，∴AC＝2OA，∴AC＝2AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴BC＝＝＝AB，∵S四边形ABCD＝AB•BC＝AB2＝4，∴AB2＝4，∴AB＝＝2，∴OB＝2，∴BD＝2OB＝4．22．解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，∴k＝﹣1，又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点（1，1），∴﹣1+b＝1．∴b＝2，∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+2； （2）当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3，把点（﹣1，3）代入y＝mx﹣1，得m＝﹣4，∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝﹣x+2的值，∴﹣4≤m≤﹣1．23（1）证明：过点A作AF⊥CD于点F，如图，∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠BAD+∠CDA＝90°．∵DE⊥AB，∴∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠CDA．∵AE⊥DE，AF⊥CD，∴AE＝AF，即AF为⊙A的半径，这样，直线BC经过半圆AF的外端F，且垂直于半径AF，∴BC是⊙A的切线；（2）解：∵CD＝CA，AC＝5，∴CD＝5，∴BC＝BD+CD＝8．∵DE⊥AB，AC⊥AB，∴DE∥AC，∴，∴，∴DE＝．24．解：（1）m＝×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6； （2）甲同学的方差S2甲＝×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，乙同学的方差S2乙＝×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，∵S2甲＜S2乙，∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲； （3）甲同学的最后得分为×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．故答案为：丙．25．解：（1）设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为米；总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式为y＝2x+2•＝2x+（x＞0）；故答案为：；2x+（x＞0）；（2）当x＝2时，y＝2x+＝2×2+＝，即a＝；当x＝2时，y＝2x+＝2×+＝10，即b＝10；故答案为：；10；（3）如图，（4）根据以上信息可得，当x＝时，y有最小值．所以小强确定篱笆长至少为6米．故答案为：；6．26．解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，解得m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；（2）∵y＝x2﹣3x+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，∴n2﹣3n+1＝4﹣n，解得n1＝﹣1，n2＝3，∵n≤x≤1，∴n的值为﹣1；（3）根据平移的性质可知，a＝1，∵当x＜2时，y随x的增大而减小，∴h≥2．∵平移后的图象经过原点O，∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，∴k≤﹣4．27解：（1）∠ADE＝∠BFG，BG＝2AE，证明如下：在AC上截取EM＝AE，∵FH⊥DE，∴∠FHE＝∠GHE＝90°，∵∠ACB＝∠ECG＝90°，在四边形BDHF中，∵∠ABC+∠DHF＝180°，∴∠F+∠BDH＝180°，∵∠DEC+∠DEA＝180°，∴∠DEA＝∠HGC，∵AD＝DB，AE＝EM，∴DE∥BM，∴∠ABM＝∠ADE，∴∠ABM＝∠F，在△ABM和△BFG中，，∴△ABM≌△BFG（ASA），∴AM＝BG，∴BG＝2AE；（2）补全图形如图所示，延长AC至M，使EM＝AE，∵AD＝BD，∴BM＝2DE，由（1）知：△ABM≌△BFG（ASA），∴AM＝BG，∴AC+CM＝BC+CG，∵AC＝BC，∴CM＝CG，在Rt△BCM中，由勾股定理得，BC2+CM2＝BM2，∴AC2+CG2＝4DE2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，旋转性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造三角形的中位线和全等三角形．28．解：（1）如图1中，在AB上任意取一点Q，过点Q作QH⊥OP于点H，QT⊥PB．∵A（2，2），B（3，3），P（3，0），∴∠QBT＝45°，∵∠QTB＝90°，∴TQ＝BT，∵∠QHP＝∠HPT＝∠QTP＝90°，∴四边形QTPH是矩形，∴QH＝PT，PH＝QT，∴QH+PH＝PT+BT＝PB＝3，∴d（AB，x轴）＝3，故答案为：3； （2）如图2中，连接QC，过点Q作QH⊥x轴于点H．设Q（x，y），∵QC＝，C（3，2），（x﹣3）2+（y﹣2）2＝2，∴|x﹣3|＝，设d（⊙C，x轴）＝y+|x﹣3|＝t，则有＝t﹣y，两边平方整理得，2y2﹣（4+2t）y+t2+2＝0，∵Δ≥0，∴（4+2t）2﹣8（t2+2）≥0，解得0≤t≤4，∴d（⊙C，x轴）＝4，此时Q（2，3）或（4，3）； （3）如图3中，过点D作DH⊥直线l于点H，设DH＝x，PH＝y．∵D（0，），P（3，0），∴PD＝＝2，∴x2+y2＝（2）2，∵x+y＝＝，∴xy的值最大时，x+y的值最大，即△PDH的面积最大时，x+y的值中点，此时△PDH是等腰直角三角形，∴x＝y＝×2＝，∴x+y的最大值为2，∴d（点D，l）的最大值为2．