中考数学（北京卷）-2024年中考第一次模拟考试

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2024年中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1．光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：光在真空中的速度约为每秒30万千米，
光在真空中的速度约为30万千米/秒，
30万千米千米，3后面有5个0，
用科学记数法表示为千米/秒，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
2．下列图形不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
3．如图，， 交于点F，平分，已知，则的大小为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质可得，，结合角平分线的定义可得，由此可解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，熟练进行等量代换是解题的关键．
4．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得：，，然后根据不等式的性质即可判断A、B、D的正误，得出，可得，故可判断选项C错误.
【详解】解：由题意可得：，，
∴，，，
故选项A正确，选项B、D错误，
∵，
∴，故选项C错误；
故选：A.
【点睛】本题考查了实数和数轴以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，正确作出判断是解题关键.
5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．90°
【答案】B
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB的度数，再由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出∠D的度数．
【详解】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°-40°=50°，
∵∠D与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠D=∠ACB=50°．
故选B.
【点睛】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．
将点分别代入反比例函数， 求得，的值后， 再来比较一下它们的大小．
【详解】∵点都在反比例函数的图象上，
故选：C．
7．如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故选：．
8．兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数自变量的取值范围确定b的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；从而可得答案.
【详解】解：由图象可知，当时，，
∴；
由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；
故选：A．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由二次根式在实数范围内有意义，可得2−x≥0，继而求得答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2−x≥0，
解得：x≤2．
故答案是：x≤2．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件．注意二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．已知，化简求值： ．
【答案】
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体代入思想代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解题的关键．
11．将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为 ．
【答案】
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论．
【详解】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为，
故答案为：．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果csA=，AC=2，那么AB的长为 ．
【答案】6
【分析】根据余弦的定义可得，代入AC=2即可求得
【详解】解：如图，
故答案为：6
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，．
13．如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解： ∵点P是反比例函数图象上的一点，
∴矩形．
故答案为：3．
14．如图，，，三点在半径为的上，是的一条弦，且于点，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．根据题意可得，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：是的一条弦，且于点，，
，
，，
，
故答案为：．
15．如图，与关于点成中心对称，，则的长是 ．
【答案】5
【分析】根据中心对称的性质以及勾股定理即可求解的长．
【详解】解：∵与关于点成中心对称
∴点在同一直线上，
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查中心对称的性质以及勾股定理，熟练掌握成中心对称的图形对应边相等，对应角相等的性质以及勾股定理是解决本题的关键．
16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下：
①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；
②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；
③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；
④完成各道工序所需时间如下表所示：
（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成；
（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元．
【答案】86；38
【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算．
（1）在完成C的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可；
（2）根据题意可以缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，然后列出算式进行计算即可．
【详解】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要天，完成G需要25天，
∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要：
（天）；
故答案为：86；
（2）（天），
∴至少需要将整个任务缩短6天，
∵B，E，F，G不可缩短，
∴工序最多可以缩短天，
∵天，
∴只缩短工序2天，A工序可以不缩短，然后工序每缩短1天，C工序就要缩短1天，
∴当缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入最少，且最少为：
（万元），
故答案为：38．
三、解答题（共68分，17~20题，每题5分，21题6分，22~23题，每题5分，24~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的运算和三角函数，利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，二次根式的化简以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
18．（5分）解不等式组：.
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为．
19．（5分）已知，求代数式的值.
【答案】
【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，合并同类项，求出，最后代入求出答案即可．
【详解】原式
∵，
∴，
原式．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程．
(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（）根据根的情况确定参数的范围，由即可求解；
（）利用根与系数的关系得出，解方程即可；
此题考查了根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，，熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（2）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，
则，
解得：．
21．（6分）如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到；
（2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，
，
由旋转的性质可得：，，
，即，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理．
22．（5分）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ，，，， ，）：
b．甲学校学生成绩在这一组的是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为____________________________（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到_________分的学生才可以入选．
【答案】（1）A；（2）乙；理由；乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；（3）88.5
【分析】（1）先算出甲校的中位数，发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名；
（2）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；
（3）先计算90-100分的人数为96人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x即可．
【详解】解：（1）甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5
∴中位数为：
∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分
∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分
故A的排名更靠前；
故答案为：A；
（2）乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
（3）根据题意，90-100分的人数为为：人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x个人，
根据题意，得，解得x=3，
而这个3个数依次为89，89，88.5，至少要88.5分，
故答案为：88.5．
【点睛】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键．
23．（5分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q．
(1)求m的值及点Q的坐标；
(2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是．
【答案】(1)，点的坐标为；(2)或
【分析】该题主要考查了一次函数和反比例函数综合，重点掌握一次函数和反比例函数图象和性质，解析式求解，交点问题；
（1）点代入直线求出，点代入双曲线求出，联立直线与双曲线求出点的坐标；
（2）分两种情况画图解答即可；
【详解】（1）解：将点代入直线得：，
故点，
将点代入双曲线得：，
故双曲线为
联立直线与双曲线得：或2，
故点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：如图，当直线在点P上方时，，
此时，，即；

如图，当直线在点Q上方x轴下方时，，
此时，，即；
综上，或；

24．（6分）如图，为的直径，弦于，连接、，过点作的切线，的平分线相交于点，交于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据垂径定理得到，，证明即可；
（2）根据圆周角定理得到，由垂径定理得到，，求出，利用勾股定理得到，根据，，得到，结合是的平分线，推出，易得，由证明，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：为的直径，，
，，
在与中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．
25．（6分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录，与x的几组对应值如下：
(1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)．
【答案】(1)见解析；(2)，；(3)＞
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当时x的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，作图如下．
；
（2）解：由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系.
又点在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景A函数关系式为．
对于场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系
又在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景B函数关系式为．
（3）解：由题意，当时，
场景A中，
场景B中，，
解得：，
∴．
26．（6分）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；(2)a的取值范围是或；(3)或
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
（1）当时，，为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把，代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分和，由函数的增减性求出a的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据确定m的取值范围．
【详解】（1）解：∵，为抛物线上的对称点，
∴，
抛物线的对称轴；
（2）解：∵过，，
∴，，，
∴对称轴．
①当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴．
②当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴，
综上：a的取值范围是或；
（3）解：∵点在抛物线上，
，
∵点，在抛物线上，
∴对称轴为直线，
①如图所示：

，
且，
；
②如图所示：

，
，
，
综上所述，m的取值范围为或．
27．（7分）如图，在中，，．是边上一点（不与点B重合且），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)求的度数；
(2)是的中点，连接并延长，交的延长线于点，依题意补全图形．若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)；(2)图形见解析；；证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质；
（1）取的中点，连接，构造即可解决问题；
（2）过点作交于点，构造即可解决问题；
正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）如图，取的中点，连接，
在中，
，
，
，
是等边三角形，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
即是等边三角形，
，，
即，
，
；
（2）如图，过点作交于点，
由（1）可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，
．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点，．对于一个角（），将一个图形先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，称为一次“对称旋转”．
(1)点在线段上，则在点，，，中，有可能是由点经过一次“对称旋转”后得到的点是________；
(2)轴上的一点经过一次“对称旋转”得到点．
①当时，________；
②当时，若轴，求点的坐标；
(3)以点为圆心作半径为1的圆．若在上存在点，使得点经过一次“对称旋转”后得到的点在轴上，直接写出的取值范围．
【答案】(1)、；(2)①2；②；(3)或
【分析】（1）由一次“对称旋转”定义，将，，，先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，即可验证；
（2）①作出图形，数形结合，分类讨论，由等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质即可得到答案；②作出图形，由含的直角三角形的性质，求出三角形边长即可得到点的坐标；
（3）设点经过一次“对称旋转”后得到的点为点，则点先绕点顺时针旋转，再绕点S逆时针旋转得到点M，进行分类讨论：①当时，令和相交于G，连接，过点S作的垂线，垂足为点H，易得，根据点M再上，则与有公共点，得出，即，即可求解；②当时，用相同的方法，即可解答．
【详解】（1）解：由一次“对称旋转”定义，将先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，如图所示：

不是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；
同理可得是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；不是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；
故答案为：、；
（2）解∶①令点P绕点顺时针旋转得到点，连接，
∵经过一次“对称旋转”得到时，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
故答案为：2；

②经过一次“对称旋转”得到时，由题意作图，如图所示：

则
轴，
，则，
，
，，
，则，，
，
，则；
（3）解：设点经过一次“对称旋转”后得到的点为点，
∵点M先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转得到点，
∴点先绕点顺时针旋转，再绕点S逆时针旋转得到点M，
∵点在x轴上，
∴将x轴先绕点顺时针旋转得到，再绕点S逆时针旋转得到，
①当时，
令和相交于G，连接，过点S作的垂线，垂足为点H，
由旋转的性质可得：，
∵为直径，
∴，即，
∴，
∵，，绕点S逆时针旋转得到，
∴，
∵点M再上，
∴与有公共点，
∴，
即，
，
∴；

②当时，
∵x轴先绕点顺时针旋转得到，再绕点S逆时针旋转得到，
∴，则，
同理可得：，
则，
∴，
整理得：，

综上：或．
【点睛】本题主要考查了新定义，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确理解题目所给“对称旋转”的定义，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/天
11
15
28
17
16
31
25
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
x(分钟)
0
5
10
15
20
…
(克)
25
23.5
20
14.5
7
…
(克)
25
20
15
10
5
…