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湖南省永州市2019-2020学年高一下学期期末质量监测数学
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这是一份湖南省永州市2019-2020学年高一下学期期末质量监测数学，共8页。
考生注意：
1. 全卷满分150分，时量120分钟．
2. 考生务必将选择题和填空题的答案填入答卷相应的答题栏内．
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）
1．下列各角中与1°角终边相同的是（ ）
A．360°B，361°C．362°D．363°
2．关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．设，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．在四边形中，，且，那么四边形为（ ）
A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形
5．已知函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．下列函数中，最小正周期是，且在区间上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．0B．18C．2D．3
8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了（ ）
A．64里B．32里C．16里D．8里
9．已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
10．已知正方形的边长为2，点在线段上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
11．的内角的对边分别是，若，则一定为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
12．的内角的对边分别是，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）
13．已知为坐标原点，，，则______．
14．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ______．
15．已知函数，，实数，则关于的方程所有根之和为 ______．
16．已知数列：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16，…其中第一项是1，接下来的两项是1，2，再接下来的三项是1，2，4，依此类推．若该数列的前项和是2 的整数次幂，且，则的所有取值的和为 ______．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知等差数列，等比数列满足：，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．已知向量，满足：，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角的余弦值．
19．已知角，且角的终边与单位圆的交点为．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
20．如图，某海港一天从0~12时的水位高度（单位：米）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该海港在水位高度不低于6米时为轮船最佳进港时间，那么该海港在0~12时，轮船最佳进港时间总共多少小时？
22．将半径分别为1、2、3、…、、…的第一象限的圆叠放在一起，形成如图所示的图形，有小到大，依次记各阴影部分所在的图形分别为第1个、第2个、…、第个阴影部分图形…．设前个阴影部分图形的面积的平均值为．记数量满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）若正项等比数列满足，，设，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
数学参考答案及评分标准
选择题（本大题12小题，每小题5分，共计60分）
填空题（本大题4小题，每小题5分，共计20分）
13．14．15．16．113
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解：（1）由，，
设等差数列的公差为，则，所以
所以
设等比数列的公比为，由题，所以.
所以；
（2），
所以的前项和为
18．解：（1）设，因为，所以①
因为，所以②
联立①②解得或，
所以或
（2）因为，所以.
又，所以．
由得
所以
19．解：（1）由三角函数的定义得
（2）因为，，所以．
又由，得．
所以
20．解：（1）由图可知，，，
因为，所以，解得，
所以，
将，代入上式，解得，，
因为，所以，
故该曲线的函数解析式为，．
（2）由题意得，即，
解得，，
即，，
因为，所以时，即，
所以该海港在0～12时的轮船最佳进港时间总共为小时．
21．解：（1）由已知，根据正弦定理得，即
由余弦定理得
又，所以；
（2）因为，所以，
由，得①
因为，所以②
联立①②解得 或
22．解：（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是： ；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个部阴影部分图形面积是：；故；故
（2），
设正项等比数列的公比为，由，得
因此，故
故
两式相减得，．
所以，
（3）由（2）知，对任意，均有恒成立得：
对任意，恒成立
记则
当时，
当时，，，单调递减，即
综上，
所以，即得取值范围是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
B
D
D
B
A
A
C
C
D
考生注意：
1. 全卷满分150分，时量120分钟．
2. 考生务必将选择题和填空题的答案填入答卷相应的答题栏内．
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）
1．下列各角中与1°角终边相同的是（ ）
A．360°B，361°C．362°D．363°
2．关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．设，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．在四边形中，，且，那么四边形为（ ）
A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形
5．已知函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．下列函数中，最小正周期是，且在区间上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．0B．18C．2D．3
8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了（ ）
A．64里B．32里C．16里D．8里
9．已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
10．已知正方形的边长为2，点在线段上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
11．的内角的对边分别是，若，则一定为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
12．的内角的对边分别是，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）
13．已知为坐标原点，，，则______．
14．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ______．
15．已知函数，，实数，则关于的方程所有根之和为 ______．
16．已知数列：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16，…其中第一项是1，接下来的两项是1，2，再接下来的三项是1，2，4，依此类推．若该数列的前项和是2 的整数次幂，且，则的所有取值的和为 ______．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知等差数列，等比数列满足：，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．已知向量，满足：，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角的余弦值．
19．已知角，且角的终边与单位圆的交点为．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
20．如图，某海港一天从0~12时的水位高度（单位：米）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该海港在水位高度不低于6米时为轮船最佳进港时间，那么该海港在0~12时，轮船最佳进港时间总共多少小时？
22．将半径分别为1、2、3、…、、…的第一象限的圆叠放在一起，形成如图所示的图形，有小到大，依次记各阴影部分所在的图形分别为第1个、第2个、…、第个阴影部分图形…．设前个阴影部分图形的面积的平均值为．记数量满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）若正项等比数列满足，，设，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
数学参考答案及评分标准
选择题（本大题12小题，每小题5分，共计60分）
填空题（本大题4小题，每小题5分，共计20分）
13．14．15．16．113
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解：（1）由，，
设等差数列的公差为，则，所以
所以
设等比数列的公比为，由题，所以.
所以；
（2），
所以的前项和为
18．解：（1）设，因为，所以①
因为，所以②
联立①②解得或，
所以或
（2）因为，所以.
又，所以．
由得
所以
19．解：（1）由三角函数的定义得
（2）因为，，所以．
又由，得．
所以
20．解：（1）由图可知，，，
因为，所以，解得，
所以，
将，代入上式，解得，，
因为，所以，
故该曲线的函数解析式为，．
（2）由题意得，即，
解得，，
即，，
因为，所以时，即，
所以该海港在0～12时的轮船最佳进港时间总共为小时．
21．解：（1）由已知，根据正弦定理得，即
由余弦定理得
又，所以；
（2）因为，所以，
由，得①
因为，所以②
联立①②解得 或
22．解：（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是： ；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个部阴影部分图形面积是：；故；故
（2），
设正项等比数列的公比为，由，得
因此，故
故
两式相减得，．
所以，
（3）由（2）知，对任意，均有恒成立得：
对任意，恒成立
记则
当时，
当时，，，单调递减，即
综上，
所以，即得取值范围是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
B
D
D
B
A
A
C
C
D
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