2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）i2022的值为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（ ）
A．6B．6.5C．7D．5.5
3．（5分）向量a→与b→不共线，AB→=a→+kb→，AC→=la→+b→（k，l∈R），且AB→与AC→共线，则k，l应满足（ ）
A．k+l＝0B．k﹣l＝0C．kl+1＝0D．kl﹣1＝0
4．（5分）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3π4B．π2C．π4D．3π24
5．（5分）已知向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(2，-1)，若a→∥b→，则tan(θ+π4)=（ ）
A．﹣3B．-13C．13D．3
6．（5分）从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A．15B．310C．25D．12
7．（5分）在△ABC中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB→-AC→=BC→；
②AB→+BC→+CA→=0→；
③若（AB→-AC→）•（AB→+AC→）＝0，则△ABC为等腰三角形；
④AC→•AB→＞0，则△ABC为锐角三角形．
A．1B．2C．3D．4
8．（5分）已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA•sinC，c＝3，则a的取值范围是（ ）
A．（23，2）B．（1，2）C．（1，3）D．（32，3）
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）设复数z＝i+2i2，则下列结论正确的是（ ）
A．z的共轭复数为2﹣i
B．z的虚部为1
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．|z+1|=2
（多选）10．（5分）下列说法中错误的是（ ）
A．已知a→=(1，2)，b→=(1，1)，且a→与a→+λb→的夹角为锐角，则实数λ∈(-53，+∞)
B．向量e1→=(2，-3)，e2→=(12，-34)不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若a→∥b→，则存在唯一实数λ使得a→=λb→
D．非零向量a→和b→满足|a→|=|b→|=|a→-b→|，则a→与a→+b→的夹角为60
（多选）11．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件C＝“两枚骰子出现点数和为8”，事件D＝“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ）
A．A与B互斥B．C与D互斥C．A与D独立D．B与C独立
（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝45°，c＝2，下列说法正确的是（ ）
A．若a=3，△ABC有两解
B．若a＝3，△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，22)
D．若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0，2)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，
13．（5分）设有两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi＝axi+b（i＝1，2…，n，其中a，b非零常数），若这两组数据的方差分别为σx2和σy2，则σx2和σy2之间的关系是 ．
14．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ．
15．（5分）已知向量a→=(2，1)，b→=(x，2)，若b→在a→方向上的投影向量为a→，则x的值为 ．
16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）设ω=-12+32i
（1）求证：1+ω+ω2＝0；
（2）计算：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）．
18．（12分）已知sinα=45，α∈(π2，π)，csβ=-513，β是第三象限角．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求cs（α+β）的值．
19．（12分）为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到∠ACB＝∠DCB，∠ACD为钝角，AC＝5，AD＝7，sin∠ADC=267．
（1）求sin∠ACB的值；
（2）若测得∠BDC＝∠BCD，求待测径长AB．
20．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，将笔试成绩按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．
21．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
22．（12分）设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC（如图所示）．
（1）求AB→⋅AP1→+AP1→⋅AP2→的值；
（2）Q为线段AP1上一点，若AQ→=mAB→+112AC→，求实数m的值；
（3）P为边BC上一动点，当PA→⋅PC→取最小值时，求cs∠PAB的值．
2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）i2022的值为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
【解答】解：∵i2022＝i2＝﹣1．
故选：B．
2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（ ）
A．6B．6.5C．7D．5.5
【解答】解：由题意可知，共有10个数字，则第60百分位数的位置为10×60%＝6，即在第6位和第7位上的数字和的平均数5+62=5.5．
故选：D．
3．（5分）向量a→与b→不共线，AB→=a→+kb→，AC→=la→+b→（k，l∈R），且AB→与AC→共线，则k，l应满足（ ）
A．k+l＝0B．k﹣l＝0C．kl+1＝0D．kl﹣1＝0
【解答】解：∵a→，b→不共线，∴la→+b→≠0→，且AB→与AC→共线，
∴存在实数λ，使a→+kb→=λ(la→+b→)，
∴λl=1k=λ，∴kl﹣1＝0．
故选：D．
4．（5分）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3π4B．π2C．π4D．3π24
【解答】解：依题意，设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l＝1，
则l2＝r2+h2＝1，
底面周长为2πr=12×(2π×1)，
则r=12，
∴h=1-(12)2=32，
∴该圆锥的表面积为S＝πr2+πrl=π4+π2=3π4．
故选：A．
5．（5分）已知向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(2，-1)，若a→∥b→，则tan(θ+π4)=（ ）
A．﹣3B．-13C．13D．3
【解答】解：因为向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(2，-1)，若a→∥b→，
所以﹣csθ﹣2sinθ＝0，可得tanθ=-12，
则tan(θ+π4)=tanθ+11-tanθ=-12+11-(-12)=13．
故选：C．
6．（5分）从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A．15B．310C．25D．12
【解答】解：从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，共有C53=10种取法，
而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4，6，8和4，8，10以及6，8，10，共3种，
故这三条线段能构成一个三角形的概率为P=310．
故选：B．
7．（5分）在△ABC中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB→-AC→=BC→；
②AB→+BC→+CA→=0→；
③若（AB→-AC→）•（AB→+AC→）＝0，则△ABC为等腰三角形；
④AC→•AB→＞0，则△ABC为锐角三角形．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①AB→-AC→=CB→≠BC→；所以①不正确；
②AB→+BC→+CA→=0→；满足向量的运算法则，所以②正确；
③若（AB→-AC→）•（AB→+AC→）＝0，可得AB→2-AC→2=0，
所以|AB→|=|AC→|，则△ABC为等腰三角形；所以③正确；
④AC→•AB→＞0，可知A为锐角，
但是则△ABC不一定是锐角三角形．所以④不正确．
故选：B．
8．（5分）已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA•sinC，c＝3，则a的取值范围是（ ）
A．（23，2）B．（1，2）C．（1，3）D．（32，3）
【解答】解：∵sin2B﹣sin2A＝sinA•sinC，
∴由正弦定理可得b2﹣a2＝ac，
∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，可得a2+c2﹣2accsB＝a2+ac，
又c＝3，
∴可得a=31+2csB，
∵锐角△ABC中，B∈（0，π2），
所以csB∈（0，1），
所以a=31+2csB∈（1，3），
因为csC=a2+b2-c22ab＞0，
所以a2+b2＞c2，又b2﹣a2＝ac，
所以2a2+ac﹣c2＞0，
所以2a2+3a﹣9＞0，即（2a﹣3）（a+3）＞0，
解得a＞32
所以a∈（32，3），
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）设复数z＝i+2i2，则下列结论正确的是（ ）
A．z的共轭复数为2﹣i
B．z的虚部为1
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．|z+1|=2
【解答】解：z＝i+2i2＝﹣2+i，
对于A，z=-2-i，故A错误，
对于B，z的虚部为1，故B正确，
对于C，z在复平面内对应的点（﹣2，1）位于第二象限，故C正确，
对于D，z+1＝﹣2+i+1＝﹣1+i，
则|z+1|=(-1)2+12=2，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）下列说法中错误的是（ ）
A．已知a→=(1，2)，b→=(1，1)，且a→与a→+λb→的夹角为锐角，则实数λ∈(-53，+∞)
B．向量e1→=(2，-3)，e2→=(12，-34)不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若a→∥b→，则存在唯一实数λ使得a→=λb→
D．非零向量a→和b→满足|a→|=|b→|=|a→-b→|，则a→与a→+b→的夹角为60
【解答】解：A.a→+λb→=(1+λ，2+λ)，∵a→与a→+λb→的夹角为锐角，∴a→⋅(a→+λb→)＞0且a→与a→+λb→不共线，
∴1+λ+2(2+λ)＞02+λ-2(1+λ)≠0，解得λ＞-53，且λ≠0，
∴λ∈(-53，0)∪(0，+∞)，∴A错误；
B．∵e1→=4e2→，∴e1→与e2→共线，不能作为基底，B正确；
C．若a→∥b→，且b→≠0→时，才存在唯一的λ，使得a→=λb→，C错误；
D．如图，作OA→=a→，OB→=b→，则BA→=a→-b→，
∵|a→|=|b→|=|a→-b→|，∴△OAB为等边三角形，
∴a→与a→+b→的夹角为30°，D错误．
故选：ACD．
（多选）11．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件C＝“两枚骰子出现点数和为8”，事件D＝“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ）
A．A与B互斥B．C与D互斥C．A与D独立D．B与C独立
【解答】解：对于A，记（x，y）表示事件“第一枚点数为x，第二枚点数为y”，
则事件A包含事件（1，2），事件B也包含事件（1，2），
所以A∩B≠∅，故A与B不互斥，故A错误；
对于B，事件C包含的基本事件有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5件，事件D包含的基本事件有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）共4件，故C∩D＝∅，即C与D互斥，故B正确；
对于C，总的基本事件有6×6＝36件，事件A的基本事件有3×6＝18件，故P(A)=1836=12，
由选项B知P(D)=436=19，
而事件AD包含的基本事件有（3，6），（5，4）共2件，故P(AD)=236=118，
所以P（AD）＝P（A）P（D），故A与D独立，故C正确；
对于D，事件B的基本事件有6×3＝18件，故P(B)=1836=12，由选项B知P(C)=536，
而事件BC包含的基本事件有（2，6），（4，4），（6，2）共3件，故P(BC)=336=112，
所以P(B)P(C)=12×536=572≠112=P(BC)，故B与C不独立，故D错误．
故选：BC．
（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝45°，c＝2，下列说法正确的是（ ）
A．若a=3，△ABC有两解
B．若a＝3，△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，22)
D．若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0，2)
【解答】解：由A＝45°，c＝2，过点B作BD⊥AC，垂足为D.
BD＝csinA＝2×sin45°=2，
由a=3满足2＜3＜2，∴此时△ABC有两解．
a＝3≥2时，△ABC只有一解．
若△ABC为钝角三角形，则C或B为钝角，则0＜b＜2或b＞22．
若△ABC为直角三角形，则C或B为直角，则b=2，b＝22．
若△ABC为锐角三角形，则2＜b＜22．
综上可得：只有AC正确．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，
13．（5分）设有两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi＝axi+b（i＝1，2…，n，其中a，b非零常数），若这两组数据的方差分别为σx2和σy2，则σx2和σy2之间的关系是 σy2＝a2σx2 ．
【解答】解：∵两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi＝axi+b
即第二组数据是第一组数据的a倍还要整体加上b，
在一列数字上同时加上一个数字方差不变，而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方，
∴σx2和σy2之间的关系是σy2＝a2σx2，
故答案为：σy2＝a2σx2，
14．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 2π3 ．
【解答】解：边长为a＝5、b＝7、c＝8的三角形ABC中，
csB=52+82-722×5×8=12，
B∈（0，π），
∴B=π3，
∴△ABC的最大角C与最小角A的和为π﹣B=2π3．
故答案为：2π3．
15．（5分）已知向量a→=(2，1)，b→=(x，2)，若b→在a→方向上的投影向量为a→，则x的值为 32 ．
【解答】解：∵a→=(2，1)，b→=(x，2)，
∴a→•b→=2x+2，|a→|=4+1=5，
∴b→在a→方向上的投影向量为a→⋅b→|a→|•a→|a→|=2x+25a→，
∵b→在a→方向上的投影向量为a→，
∴2x+25=1，∴x=32．
故答案为：32．
16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为 100π3 ．
【解答】解：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x（x＞0）cm，则OI=x2，IE=6-x2，
因为该四棱维的侧面积是底面积的2倍，
所以4×x2×(6-x2)=2x2，解得x＝4．
设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，如图，
则 QP=QC=R，OC=22，OP=16-4=23，
所以 R2=(23-R)2+(22)2，解得R=53，
所以外接球的表面积为S=4π(53)2=100π3．
故答案为：100π3．
四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）设ω=-12+32i
（1）求证：1+ω+ω2＝0；
（2）计算：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）．
【解答】（1）证明：∵ω=-12+32i，
∴ω2=-12-32i，
∴1+ω+ω2＝1+（-12+32i）+（-12-32i）＝0；
（2）解：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）＝[1-12+32i﹣（-12-32i）][1﹣（-12+32i））+（-12-32i）]
=(1+3i)(1-3i)
＝1﹣2
＝﹣1．
18．（12分）已知sinα=45，α∈(π2，π)，csβ=-513，β是第三象限角．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求cs（α+β）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵sinα=45，α∈(π2，π)，∴csα=-1-sin2α=-35，
∴tanα=sinαcsα=-43，∴tan2α=2tanα1-tan2α=247．
（Ⅱ）∵csβ=-513，β是第三象限角，∴sinβ=-1-cs2β=-1213，
故cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ=6365．
19．（12分）为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到∠ACB＝∠DCB，∠ACD为钝角，AC＝5，AD＝7，sin∠ADC=267．
（1）求sin∠ACB的值；
（2）若测得∠BDC＝∠BCD，求待测径长AB．
【解答】解：（1）在△ACD中，由正弦定理可得：ACsin∠ADC=ADsin∠ACD⇒5267=7sin∠ACD，
则sin∠ACD=265，因为∠ACB＝∠DCB，因为∠ACD为钝角，
所以cs∠ACD=-15，所以cs∠ACD=1-2sin2∠ACB⇒sin∠ACB=155．
（2）在△ACD，由余弦定理可得：cs∠ACD=-15=25+CD2-492×5⋅CD，
解得：CD＝4或CD＝﹣6（舍去），
因为∠BDC＝∠BCD，所以BD＝BC，
在△BCD，cs∠BDC=cs∠BCD=105，
由余弦定理可得：cs∠BDC=105=CD2+BD2-BC22CD⋅BD=168BD=2BD，
解得：BD=BC=10，
cs∠BDC=105，sin∠BDC=155，sin∠ADC=267，cs∠ADC=57，
cs∠ADB＝cs（∠BDC﹣∠ADC）＝cs∠BDCcs∠ADC+sin∠BDCsin∠ADC
=105×57+155×267=510+61035=111035，
在△ABD，由余弦定理可得：
AB2=BD2+AD2-2BD⋅ADcs∠ADB=10+49-2×10×7×111035=15，
故AB=15．
20．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，将笔试成绩按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．
【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：
（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，
解得a＝0.020．
（2）应聘者笔试成绩的众数为：70+802=75，
应聘者笔试成绩的平均数为：
45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．
（3）由频率分布直方图可知：
[90，100]中有：200×0.15＝30，
[80，90）中有：200×0.2＝40，
[70，80）中有：200×0.3＝60，
[60，70）中有：200×0.2＝40，
设分数线定为x，则x∈[60，70），
（70﹣x）×0.02×200+30+40+60＝150，
解得x＝65．
故分数线为65．
21．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）在三棱锥A﹣BCD中，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，又CD⊥BC，CD⊂面BCD，
∴CD⊥面ABC，又∵AB⊂面ABC，
∴CD⊥AB；
（2）取BC中点F，连接AF，DF，如图，
所以AF⊥BC，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，
因为AF⊂平面ABC，于是得AF⊥平面BCD，∠ADF是AD与平面BCD所成角，即∠ADF＝45°，
令BC＝2，则DF＝AF=3，因CD⊥BC，即有DC=2，由（1）知DC⊥AC，则有AD＝BD=6，
过C作CO⊥AD于O，在平面ABD内过O作OE⊥AD交BD于点E，从而得∠COE是二面角C﹣AD﹣B的平面角，
Rt△ACD中，CO=AC⋅CDAD=23，OD=CD2-CO2=(2)2-(23)2=63，
△ABD中，由余弦定理得cs∠EDO=AD2+BD2-AB22AD⋅BD=6+6-42×6×6=23．
∴DE=ODcs∠EDO=62，OE=DE2-OD2=306，显然E是Rt△BCD斜边中点，则CE=12BD=62，
△COE中，由余弦定理得cs∠COE=CO2+EO2-CE22CO⋅EO=43+3036-642×23×306=1010．
∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为1010．
22．（12分）设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC（如图所示）．
（1）求AB→⋅AP1→+AP1→⋅AP2→的值；
（2）Q为线段AP1上一点，若AQ→=mAB→+112AC→，求实数m的值；
（3）P为边BC上一动点，当PA→⋅PC→取最小值时，求cs∠PAB的值．
【解答】解：（1）原式=AP1→⋅(AB→+AP2→)=2AP1→2，
在△ABP1中，由余弦定理，得AP12=1+116-2×1×14×cs600=1316，
所以AB→⋅AP1→+AP1→⋅AP2→=138；
（2）易知BP1→=14BC→，即AP1→-AB→=14(AC→-AB→)，即AP1→=34AB→+14AC→，
因为Q为线段AP1上一点，
设AQ→=λAP→=34λAB→+14λAC→=mAB→+112AC→，
所以m=14；
（3）①当P在线段BP2上时（不含P2），此时PA→⋅PC→＞0，
②当P在线段P2C上时（不含P2），PA→⋅PC→≤0，
要使当PA→⋅PC→最小，则P必在线段P2C上，
设|PC→|=x，由于AP2⊥BC，则PA→⋅PC→=|PA→|⋅|PC→|cs∠APC=|PC→|2•（﹣|PP2→|）＝x（x-12）＝x2-12x
当x=14时，即当P为P3时，PA→⋅PC→最小，此时 由余弦定理可求得cs∠PAB=52613