数学：江苏省南京市九校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考试题（解析版）

这是一份数学：江苏省南京市九校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. 1B. －1C. D.
【答案】B
【解析】由，得.
故选：B.
2. 数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（ ）
A. 6B. 6.5C. 7D. 5.5
【答案】D
【解析】由题设，，故60百分位数为.
故选：D.
3. 向量与不共线，，，且与共线，则k，l应满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由与共线，故，即，
故，所以
故选：D.
4. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，
底面周长为，则，所以，
所以圆锥的表面积为.
故选：A.
5. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】因为，所以，易知，所以，
所以.
故选：C.
6. 从长度为的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从长度为的5条线段中任取3条，共有种取法，
而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有和以及，共3种，
故这三条线段能构成一个三角形的概率为.
故选：B.
7. 在中，下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】①，所以错误；
②，所以正确；
③若，则，所以为等腰三角形，
所以正确；
④，则是锐角，
但是不一定为锐角三角形，所以错误．
故选：B.
8. 已知锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴由正弦定理可得，
∵为锐角三角形，∴可得，即，
解得.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设复数，则下列结论正确的是（ ）
A. z的共轭复数为B. z的虚部为1
C. z在复平面内对应的点位于第二象限D.
【答案】BCD
【解析】由题得，复数，故z的共轭复数为，则A错误；
z的虚部为1，故B正确；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
10. 下列说法中错误的是（ ）
A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数
B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则存在唯一实数，使得
D. 非零向量和满足，则 与的夹角为
【答案】ACD
【解析】A：因为，所以，
又因为与的夹角为锐角，所以，即且，
解得且，故错误；
B：因为向量，，所以，即共线，
所以不能作为平面内所有向量的一组基底，故正确；
C：当时，满足，则存在无数个实数，使得 ，故错误；
D：因为非零向量和满足，则，即，
则，，
所以，因为，则，
故错误.
故选：ACD.
11. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ）
A. 与互斥B. 与互斥C. 与独立D. 与独立
【答案】BC
【解析】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，
则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，
故A错误；
对于B，事件包含的基本事件有共5件，
事件包含的基本事件有共4件，故，
即与互斥，故B正确；
对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，
故，由选项B知，
而事件包含的基本事件有共2件，故，
所以，故与独立，故C正确；
对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知，
而事件包含的基本事件有共3件，故，
所以，故与不独立，故D错误.
故选：BC.
12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是（ ）
A. 若有两解
B. 若有两解
C. 若为锐角三角形，则b的取值范围是
D. 若为钝角三角形，则b取值范围是
【答案】AC
【解析】A选项，∵，∴有两解，故A正确；
B选项，∵，∴有一解，故B错误；
C选项，∵为锐角三角形，∴，即，故C正确；
D选项，∵为钝角三角形，∴或，
即或，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13. 设有两组数据：与，它们之间存在关系式：（，其中非零常数），若这两组数据的方差分别为和，则和之间的关系是__________．
【答案】
【解析】两组数据：，与，，它们之间存在关系式：，
即第二组数据是第一组数据的倍还要整体加上，
在一列数字上同时加上一个数字方差不变，
而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方，
和之间的关系是.
故答案为：.
14. 边长为的三角形的最大角与最小角之和为______．
【答案】120°
【解析】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，
有余弦定理可得csθ==，易得θ=60°，
则最大角与最小角的和是180°-θ=120°.
故答案为：120°．
15. 已知向量，，若在方向上的投影向量为，则的值为____．
【答案】
【解析】，，，，
在方向上的投影向量为，
在方向上的投影向量为，，.
故答案为：.
16. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，，，，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】如图：
连接交与点，设正方形边长为，，则，，
则正方形面积为：，四棱锥的侧面积为：，
由题意得，即，解得，画出折叠后的立体图形，如图：
设重合点为，该四棱锥为正四棱锥，球心应在的连线上，设为，
设外接球半径为，则，，，，
，由勾股定理得，即，解得，
外接球表面积为：.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知是虚数单位，设.
（1）求证：1＋ω＋ω2＝0；
（2）计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．
解：（1）证明：∵，
，
∴
（2）由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，
∴ω3－1＝0，∴ω3＝1，
∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.
18. 已知，，，是第三象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）∵，，∴，
∴，∴．
（2）∵，是第三象限角，∴，
故．
19. 为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．
（1）求的值；
（2）若测得，求待测径长．
解：（1）在中，由正弦定理可得：，
则，因为，因为为钝角，
所以，所以.
（2）在，由余弦定理可得：，
解得：或（舍去），
因为，所以，
在，，
由余弦定理可得：，
解得：，
，，，，
，
，由余弦定理可得：
，
故.
20. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
（3）若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．
解：（1）由题意有，解得.
（2）应聘者笔试成绩的众数为，
应聘者笔试成绩的平均数为
．
（3），所以，面试成绩的最低分为百分位数，
前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，
设百分位数为，则，解得，
因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.
21. 如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．
（1）求证：；
（2）当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值．
解：（1）在三棱锥中，平面平面，平面平面，
而，平面，因此有平面，又有平面，
所以.
（2）取BC中点F，连接AF，DF，如图，
因为等边三角形，则，而平面平面，
平面平面，
平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，
即，
令，则，因，即有，由(1)知，，
则有，
过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，
从而得是二面角的平面角，
中，，，
中，由余弦定理得，
，，显然E是斜边中点，
则，
中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值.
22. 设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
（1）求的值；
（2）为线段上一点，若，求实数的值；
（3）为边上一动点，当取最小值时，求的值．
解：（1）原式，
在中，由余弦定理，得，
所以.
（2）易知，即，即，
因为为线段上一点，
设，
所以，解得，所以.
（3）①当在线段上时，；
②当在线段上时，；要使最小，则必在线段上，
设，则
，
当时，即当为时，最小，
则由（1）可知，
则由余弦定理得.