2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  数据，，，，，，，，，的百分位数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  向量与不共线，，，且与共线，则，应满足(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为的半圆，则该圆锥的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  从长度为，，，，的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，下列命题正确的个数是(    )
；
；
若，则为等腰三角形；
，则为锐角三角形．

A.  B.  C.  D.

8.  已知锐角，角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  设复数，则下列结论正确的是(    )

A. 的共轭复数为 B. 的虚部为
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D.

10.  下列说法中错误的是(    )

A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数
B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则存在唯一实数使得
D. 非零向量和满足，则与的夹角为

11.  抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为”，事件“两枚骰子出现点数和为”，则(    )

A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立

12.  在中，角，，的对边分别为，，，已知，，下列说法正确的是(    )

A. 若有两解
B. 若，有两解
C. 若为锐角三角形，则的取值范围是
D. 若为钝角三角形，则的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设有两组数据：，，与，，，它们之间存在关系式：，其中，非零常数，若这两组数据的方差分别为和，则和之间的关系是______ ．

14.  边长为、、的三角形的最大角与最小角之和为______．

15.  已知向量，若在方向上的投影向量为，则的值为______ ．

16.  如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片，上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，使得点，，，重合，得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的表面积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设
求证：；
计算：

18.  本小题分
已知，，，是第三象限角．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．

19.  本小题分
为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．
求的值；
若测得，求待测径长．

20.  本小题分
社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照，，，分组，得到如图所示频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数每组数据以区间中点值为代表；
若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．

21.  本小题分
如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．
求证：；
当与平面所成角为时，求二面角的余弦值．

 

22.  本小题分
设是边长为的正三角形，点，，四等分线段如图所示．
求的值；
为线段上一点，若，求实数的值；
为边上一动点，当取最小值时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用复数的定义、运算法则直接求解．
本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知，共有个数字，则第百分位数的位置为，即在第位和第位上的数字和的平均数．
故选：．
根据百分位数的定义，判断第百分位数的位置，即可确定对应的数字．
本题考查百分位数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：不共线，，且与共线，
存在实数，使，
，．
故选：．
根据题意知，然后根据与共线可得出，从而可得出，应满足的关系式．
本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意，设圆锥底面半径为，高为，母线长为，
则，
底面周长为，
则，
，
该圆锥的表面积为．
故选：．
根据题意求出圆锥底面半径和高，由此能求出圆锥的表面积．
本题考查圆锥的侧面展开图、表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为向量，，若，
所以，可得，
则．
故选：．
直接利用向量共线的坐标表示列式得到关于的三角等式，然后利用三角运算求得正切值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．
本题主要考查了平行向量与共线向量，两角和与差的正切函数在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：从长度为，，，，的条线段中任取条，共有种取法，
而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有，，和，，以及，，，共种，
故这三条线段能构成一个三角形的概率为．
故选：．
求出从长度为，，，，的条线段中任取条，共有几种取法，再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有几种，根据古典概型的概率公式即可得答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：；所以不正确；
；满足向量的运算法则，所以正确；
若，可得，
所以，则为等腰三角形；所以正确；
，可知为锐角，
但是则不一定是锐角三角形．所以不正确．
故选：．
通过向量的加减运算，向量的数量积，判断三角形的形状，判断选项的正误即可．
本题考查命题的真假的判断，向量的基本运算法则的应用，三角形的性质的判断，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
由正弦定理可得，
由余弦定理，可得，
又，
可得，
锐角中，若是最大角，则必须大于，所以，
所以，所以，
故选：．
由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得，因为三角形为锐角三角形可得的取值范围．
本题考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
对于，，故A错误，
对于，的虚部为，故B正确，
对于，在复平面内对应的点位于第二象限，故C正确，
对于，，
则，故D正确．
故选：．
根据已知条件，先求出，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：．，与的夹角为锐角，且与不共线，
，解得，且，
，A错误；
B.，与共线，不能作为基底，B正确；
C.若，且时，才存在唯一的，使得，C错误；
D.如图，作，则，

，为等边三角形，
与的夹角为，D错误．
故选：．
A.根据题意可得出，且与不共线，这样即可求出的范围，从而判断是否正确；
B.判断与是否共线即可；
C.根据共线向量基本定理即可判断的正误；
D.作，根据题意可得出为等边三角形，从而可求出与的夹角，然后可判断出的正误．
本题考查了向量减法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则，向量夹角的定义，共线向量基本定理，平行向量的坐标关系，向量坐标的数量积运算，基底的定义，考查了计算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，
则事件包含事件，事件也包含事件，
所以，故A与不互斥，故A错误；
对于，事件包含的基本事件有，，，，共件，事件包含的基本事件有，，，共件，故C，即与互斥，故B正确；
对于，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，
由选项B知，
而事件包含的基本事件有，共件，故，
所以，故A与独立，故C正确；
对于，事件的基本事件有件，故，由选项B知，
而事件包含的基本事件有，，共件，故，
所以，故B与不独立，故D错误．
故选：．
对于，结合互斥事件的概念举反例排除即可；
对于，列举出事件，所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断；
对于，利用古典概型求出事件，，，，，的概率，结合独立事件的概率公式判断即可．
本题主要考查互斥事件和独立事件，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，，过点作，垂足为．
，
由满足，此时有两解．
时，只有一解．
若为钝角三角形，则或为钝角，则或．
若为直角三角形，则或为直角，则，．
若为锐角三角形，则．
综上可得：只有AC正确．
故选：．
通过作图，过点作，垂足为，先求出，对分类讨论，即可得出结论．
本题考查了分类讨论、数形结合、解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：两组数据：，，与，，，它们之间存在关系式：
即第二组数据是第一组数据的倍还要整体加上，
在一列数字上同时加上一个数字方差不变，而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方，
和之间的关系是，
故答案为：，
注意两组数据的关系，后一组中的每一个数字是前一组数字的倍，这样两组数据的方差之间的关系就是后者的方差是前者的倍．
本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．
 

14.【答案】 

【解析】解：边长为、、的三角形中，
，
，
，
的最大角与最小角的和为．
故答案为：．
根据大角对大边以及余弦定理，求出的值，
再根据三角形内角和定理求出结果．
本题考查了三角形内角和定理和余弦定理的应用问题，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，，
在方向上的投影向量为，
在方向上的投影向量为，
，．
故答案为：．
利用投影向量公式求解即可．
本题考查投影向量的求法，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，则，
因为该四棱维的侧面积是底面积的倍，
所以，解得．
设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，如图，

则，
所以，解得，
所以外接球的表面积为．
故答案为：．
连接交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，则，求出的值，再利用勾股定理求，代入球的表面积公式，即可得答案．
本题考查四棱锥外接球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】证明：，
，
；
解：


． 

【解析】利用复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ，，，
，．
Ⅱ，是第三象限角，，
故． 

【解析】Ⅰ由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角的正切公式，计算求得结果．
Ⅱ由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的余弦公式，计算求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正切共式，两角和的余弦公式，属于中档题．
 

19.【答案】解：在中，由正弦定理可得：，
则，因为，因为为钝角，
所以，所以．
在，由余弦定理可得：，
解得：或舍去，
因为，所以，
在，，
由余弦定理可得：，
解得：，
，，，，

，
在，由余弦定理可得：
，
故． 

【解析】由正弦定理结合二倍角的余弦公式求解即可；
分别在，用余弦定理可求得，，再由两角差的余弦公式可求出，最后在中，由余弦定理即可求出答案．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由频率分布直方图的性质得：
，
解得．
应聘者笔试成绩的众数为：，
应聘者笔试成绩的平均数为：
．
由频率分布直方图可知：
中有：，
中有：，
中有：，
中有：，
设分数线定为，则，
，
解得．
故分数线为． 

【解析】由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出．
由频率分布直方图的性质能求出应聘者笔试成绩的众数、平均数．
由频率分布直方图分别求出中有，中有，中有，中有，设分数线定为，列出方程能求出分数线．
本题考查频率、众数、平均数、分数线的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解：在三棱锥中，面面，面面，又，面，
面，又面，
；
取中点，连接，，如图，

因为为等边三角形，所以，
因为面面，面面，，
所以平面，所以是与平面所成角，即，
令，则，因为，即有，由知，则有，
过作于，在平面内过作交于点，从而得是二面角的平面角，
中，，，
中，由余弦定理得．
，，显然是斜边中点，则，
中，由余弦定理得．
二面角的余弦值为． 

【解析】本题考查线线垂直的证明，二面角的余弦值的求法，直线与平面所成的角，线面垂直的判定与性质，利用余弦定理解三角形，属于较难题．
根据给定条件证得平面，即可证得；
由与平面所成角确定正三角形边长与长的关系，再作二面角的平面角，借助余弦定理计算可得答案．
 

22.【答案】解：原式，
在中，由余弦定理，得，
所以；
易知，即，即，
因为为线段上一点，
设，
所以；
当在线段上时不含，此时，
当在线段上时不含，，
要使当最小，则必在线段上，
设，由于，则
当时，即当为时，最小，此时 由余弦定理可求得 

【解析】根据余弦定理和向量的数量积即可求出，
根据向量的加减的几何意义以及，向量的数量积，即可求出的值，
要使当最小，则必在线段上，根据二次函数的性质即可求出．
本题主要考查两个向量的数量积的运算，二次函数的性质，余弦定理，体现了转化的数学思想，属于中档题．