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2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（ ）
A．12B．2C．22D．2
3．（5分）已知tanα＝2，则cs2α＝（ ）
A．45B．35C．-45D．-35
4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：
小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ）
A．平均数B．中位数C．极差D．标准差
5．（5分）已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α
C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→=xAB→+yAD→，则x+y＝（ ）
A．32B．2C．52D．3
7．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（ ）
A．lnm+lnn≥0B．m2+n2≤2C．1m+1n≥2D．m+n≤2
8．（5分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（ ）
A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)
C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cs(2x+π6)，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于(-π12，0)对称
C．f（x）的图象关于x=5π12对称
D．f（x）在(0，π2)上单调递减
（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（ ）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A与事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A与事件C是相互独立事件
（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（ ）
A．f(12)=12
B．f（x）为奇函数
C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）
D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为32
（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（ ）
A．AB1⊥A1M
B．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变
C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+5
D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）lg2+lg5+π0＝ ．
14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 ．
15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB＝60°，则该大厦高度AB＝ 米（精确到1米）．
参考数据：2≈1.414，3≈1.732．
16．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD=22，EF＝1，点P满足PA→⋅PB→=0，则PC→⋅PD→的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．
（1）求θ；
（2）若x∈[0，π4]，求f（x）的值域．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2c﹣2acsB．
（1）求A；
（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面积S．
19．（12分）已知函数f（x）＝lgax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值为3．
（1）求a的值；
（2）当x∈[1，8]时，2﹣f（x）﹣f（x）+t⩾0，求实数t的取值范围．
20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；
（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率．
21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，点E是PB的中点．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面PAC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．
22．（12分）已知函数f(x)=|14x2-x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，
故选：D．
2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（ ）
A．12B．2C．22D．2
【解答】解：∵iz＝1+i，
∴z=1+ii=(1+i)(-i)i(-i)=-i-i2-i2=1﹣i，
∴|z|=1+(-1)2=2．
故选：D．
3．（5分）已知tanα＝2，则cs2α＝（ ）
A．45B．35C．-45D．-35
【解答】解：因tanα＝2，则cs2α=cs2α-sin2α=cs2α-sin2αcs2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=-35．
故选：D．
4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：
小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ）
A．平均数B．中位数C．极差D．标准差
【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，
实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，
错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，
所以中位数没有变化，极差变化了．
故选：B．
5．（5分）已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α
C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由平面与平面平行的性质，可得A正确；
对于B，由直线与平面平行的判定定理，可得B正确；
对于C，m与n的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C错误；
对于D，由平面与平面垂直的性质，D正确．
故选：C．
6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→=xAB→+yAD→，则x+y＝（ ）
A．32B．2C．52D．3
【解答】解：∵AB→=2DC→，∴DC→=12AB→，
∴AC→=AD→+DC→=AD→+12AB→，
∴x=12，y＝1，
∴x+y=32．
故选：A．
7．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（ ）
A．lnm+lnn≥0B．m2+n2≤2C．1m+1n≥2D．m+n≤2
【解答】解：对于A：∵m＞0，n＞0，m+n＝2，∴由基本不等式可得m+n≥2mn，
∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，lnm+lnn＝lnmn≤ln1＝0，故A错误；
∵2（m²+n²）＝（m²+n²）+（m²+n²）≥m²+n²+2mn＝（m+n）2＝4，
可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．
对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m+n）=12（2+nm+mn）≥12（2+2nm⋅mn）＝2，
当且仅当nm=mn，即m＝n＝1时，等号成立，故C正确；
（m+n）2＝m+n+2mn≤2（m+n）＝4，因为m+n＞0，
故m+n≤2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，D错误；
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（ ）
A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)
C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)
【解答】解：因为f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，x≠0，
所以f（﹣x）＝ex+e﹣x+lg|﹣x|＝ex+e﹣x+lg|x|＝f（x），
即f（x）为偶函数，
当x＞0时，f（x）＝ex+e﹣x+lgx，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1x，
∵y＝ex与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，
∴y＝ex﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，
∴ex﹣e﹣x＞e0-1e0=0，
即当x＞0时，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1x＞0恒成立，
∴偶函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，
∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，
解得：0＜x＜12，或12＜x＜2．
即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，12)∪(12，2)．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cs(2x+π6)，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于(-π12，0)对称
C．f（x）的图象关于x=5π12对称
D．f（x）在(0，π2)上单调递减
【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，
f（-π12）＝cs（-π12×2+π6）＝cs0＝1≠0，即函数f（x）的图象关于(-π12，0)不对称，故B错误，
f（5π12）＝cs（2×5π12+π6）＝csπ＝﹣1，即f（x）的图象关于x=5π12对称，故C正确，
当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜7π6，则f（x）不单调，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（ ）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A与事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A与事件C是相互独立事件
【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），
事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），
A：事件A∪B是必然事件，故正确；
B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；
C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；
D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以 P（A）•P（C）＝P（AC），
所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；
故选：ACD．
（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（ ）
A．f(12)=12
B．f（x）为奇函数
C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）
D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为32
【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12]=12+0=12，故正确；
对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，
f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），
所以f（x）不是奇函数，故错误；
对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，
所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，
即f（x1）＞f（x2），故错误；
对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，
整理得2x﹣[x]﹣1＝0，
所以[x]＝2x﹣1，
又因为x﹣1＜[x]≤x，
所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，
当x＝1时，满足方程，
即x＝1是方程的根，
当0＜x＜1时，x+[x]＝x，
方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=12，
故根的和为32，故正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（ ）
A．AB1⊥A1M
B．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变
C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+5
D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
【解答】解：连接A1B，如图所示，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，
ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，
∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，
A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，
A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，VC1-AMB1=VA-B1C1M=13S△B1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，
故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；
设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，
A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，
C1M2=C1C2+MC2=22+(2-t)2，
|A1M|+|C1M|=(22)2+t2+22+(2-t)2，
其几何意义是点(22，0)和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，
最小值为点(-22，0)到点（2，2）的距离，为16+82，C选项错误；
当M是BC的中点时，A1M=3，A1C1=22，C1M=5，
cs∠MA1C1=A1M2+A1C12-C1M22⋅A1M⋅A1C1=9+8-52×3×22=22，
sin∠MA1C1=22，S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×22×3×22=3，
S△CC1M=12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为hC，由VC-A1MC1=VA1-CC1M，
得3hc=2×1，hc=23，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C=3，
点O到平面MA1C1的距离为hO=12hC=13，
则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为(3)2-(13)2=263，截面面积为269π，D选项正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）lg2+lg5+π0＝ 2 ．
【解答】解：lg2+lg5+π0
＝lg10+1
＝2．
故答案为：2．
14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 223π ．
【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，
∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，
侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，
∴圆锥的高h=9-1=22，
∴圆锥体积V=13×π×r2×h=223π．
故答案为：223π．
15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB＝60°，则该大厦高度AB＝ 212 米（精确到1米）．
参考数据：2≈1.414，3≈1.732．
【解答】解：由∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，可得∠CBD＝45°，又CD＝100米，
由正弦定理可得CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，即10022=BC32，可得BC＝506，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BC•tan∠ACB＝506×3=1502≈150×1.414≈212米．
故答案为：212．
16．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD=22，EF＝1，点P满足PA→⋅PB→=0，则PC→⋅PD→的最大值为 2 ．
【解答】解：以E为圆心，12AB为半径作圆，
∵EF=1=12AB，∴F在圆上，
∵PA→⋅PB→=0，∴P在圆上，
∴PC→⋅PD→=14[(PC→+PD→)2-(PC→-PD→)2]
=14[(2PF→)2-DC→2]=PF→2-14×(22)2=PF→2-2，
∵F，P都在以E为圆心，12AB为半径的圆上，
∴|PF→|max=2r=AB＝2，
∴(PC→⋅PD→)max=(PF→)2max-2=22-2=2．
故答案为：2．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．
（1）求θ；
（2）若x∈[0，π4]，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f（x）＝sin（2x+θ），
得f（π6）＝sin（π3+θ）＝1，其中θ∈(0，π2)，
所以θ=π6；
（2）x∈[0，π4]，（2x+π6）∈[π6，23π]，
此时，f（x）∈[12，1]．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2c﹣2acsB．
（1）求A；
（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面积S．
【解答】解：（1）因为b＝2c﹣2acsB，
由正弦定理可得2sinC﹣2sinAcsB＝sinB，
而sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
代入化简得2csAsinB＝sinB，
因为B∈（0，π），所以sinB＞0，
所以csA=12，
因为A∈（0，π），
故A=π3；
（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，
由（1）可知A=π3，又a=33，c＝2b，
代入上式可得，27＝b2+4b2﹣2b×2b×12，
解得b＝3，c＝6，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×3×6×32=932．
19．（12分）已知函数f（x）＝lgax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值为3．
（1）求a的值；
（2）当x∈[1，8]时，2﹣f（x）﹣f（x）+t⩾0，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）当0＜a＜1时，f（x）＝lgax在[1，8]上单调递减，
此时f（x）max＝f（1）＝0≠3，不满足题意；
当a＞1时，f（x）＝lgax在[1，8]上单调递增，
此时f（x）max＝f（8）＝lga8＝3，
解得a＝2；
（2）令m＝lg2x，
因为x∈[1，8]，所以m∈[0，3]，
所以2﹣f（x）﹣f（x）+t≥0⇔2﹣m﹣m+t≥0⇔t≥m﹣2﹣m在m∈[0，3]上恒成立，
令g（m）＝m﹣2﹣m，m∈[0，3]，
易知g（m）在[0，3]上为增函数，
所以g（m）max＝3﹣2﹣3=238，
所以实数t的取值范围为[238，+∞）．
20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；
（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，
因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，
所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，
则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，
解得x≈46.7，
即75%分位数约为46.7；
（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，
区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，
区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，
区间[60，70）内的1件产品记为c，
从这6件产品中任选3件，所有情况为：
（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，
事件A∩B分为：
①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，
包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，
所以P1=120，
②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，
包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，
所以P2=620=310，
③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽0个，
包含基本事件为：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3种，
所以P3=320，
所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=120+310+320=12．
21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，点E是PB的中点．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面PAC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．
【解答】解：（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB＝90°，
由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因为PA=PC=22，
满足PA2+PC2＝AC2，所以PA⊥PC．
因为平面PAC⊥平面PCB，平面PAC∩平面PCB＝PC，PA⊂平面PAC，
所以PA⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以PA⊥BC．
因为BC⊥AC，PA，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC．
（2）取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．
在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，
则∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．
证明如下：因为PA＝PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．
由（1）知平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PO1⊂平面PAC，
所以PO1⊥平面ABC．因为EM是△PO1B的中位线，则EM∥PO1，
所以EM⊥平面ABC．因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．
因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME＝M，
所以BF⊥平面ENM．又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，
由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．
连接FM，并延长FM交BC于点T．由EM是△BPQ的中位线，得EM∥PO1，
PO1⊂平面PAC，EM⊄平面PAC，所以EM∥平面PAC．
当EF∥平面PAC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面PAC．
由平面与平面平行的性质定理可知TF∥AC．因为点M是O1B的中点，
所以FT过点O，由此可知FT＝5．
因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，
可知BF=30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，
所以MN=236，EM=12PO1=1，因此tan∠EMM=EMMN=64，
所以二面角E﹣BF﹣A的平面角的正切值为64．
22．（12分）已知函数f(x)=|14x2-x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得f(x)=14x2-x，x＜0-14x2+x，0≤x≤414x2-x，x＞4，
显然f（x）≥0，且（0，0）是函数f（x）与g（x）图象的一个交点，
当k＜0时，g（x）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，与f（x）图象无交点；
在区间（﹣∞，0），g（x）与f（x） 图象至多有一个交点，不合题意．
当k＝0时，函数f（x）与g（x）图象有且仅有两个交点（0，0），（4，0），不合题意．
当k＞0时，若函数f（x）与g（x）图象有三个交点，
则方程-14x2+x=kx，14x2-x=kx均有正根，分别为x1＝4（1﹣k），x2＝4（k+1），
由k＞04(1-k)＞04(k+1)＞0，可得0＜k＜1，
所以实数k的取值范围是（0，1）；
（2）由（1）可知，当k∈（0，1）时，f（x）与g（x）的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x1＝4（1﹣k），x2＝4（k+1），
当x∈（0，x1）时，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），
当x∈（x1，x2）时，f（x）≤g（x），max{f（x），g（x）}＝g（x），
当x∈（x2，+∞）时，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），
当34≤k＜1时，x1＜1，x2＞6，φ（x）＝g（x）（1≤x≤6），M＝φ（6）＝6k，m＝φ（1）＝k，M﹣m＝5k∈[154，5）；
当12≤k＜34时，1＜x1≤2，x2≥6，φ（x）=f(x)，1≤x＜x1g(x)，x1≤x≤6，
f（x）在[1，x1）上为增函数，且g（x）为增函数，
故φ（x）在[1，6]上为增函数，M＝φ（6）＝6k，
m＝f（1）=34，M﹣m＝6k-34∈[94，154），
当14＜k＜12时，2＜x1＜3，5＜x2＜6，φ（x）=f(x)，1≤x＜x1g(x)，x1≤x≤x2f(x)，x2＜x≤6，
且φ（x）在[1，2]上为增函数，在[2，x1）上为减函数，在[x1，6]上为增函数，
φ（1）＝f（1）=34，φ（x1）＝f（x1）＞f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞φ（2），
故M＝φ（6）＝3，m＝f（1）=34，M﹣m=94；
当0＜k≤14时，3≤x1＜4，4＜x2≤5，φ（x）=f(x)，1≤x＜x1g(x)，x1≤x≤x2f(x)，x2＜x≤6，
且φ（x）在[1，2]上为增函数，在[2，x1）上为减函数，在[x1，6]上为增函数，
φ（1）＝f（1）=34，φ（x1）＝f（x1）≤f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞φ（2），
故M＝φ（6）＝3，m＝f（x1）＝f（4﹣4k）＝﹣4k2+4k，M﹣m＝4k2﹣4k+3∈[94，3）；
综上，当34≤k＜1时，M＝6k，m＝k；
当12≤k＜34时，M＝6k，m=34；
当14＜k＜12时，M＝3，m=34；
当0＜k≤14时，M＝3，m＝﹣4k2+4k，
所以M﹣m的取值范围为：[94，5）．月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
用水量
9.0
9.6
14.9
5.9
4.0
7.7
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
用水量
9.0
9.6
14.9
5.9
4.0
7.7
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（ ）
A．12B．2C．22D．2
3．（5分）已知tanα＝2，则cs2α＝（ ）
A．45B．35C．-45D．-35
4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：
小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ）
A．平均数B．中位数C．极差D．标准差
5．（5分）已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α
C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→=xAB→+yAD→，则x+y＝（ ）
A．32B．2C．52D．3
7．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（ ）
A．lnm+lnn≥0B．m2+n2≤2C．1m+1n≥2D．m+n≤2
8．（5分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（ ）
A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)
C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cs(2x+π6)，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于(-π12，0)对称
C．f（x）的图象关于x=5π12对称
D．f（x）在(0，π2)上单调递减
（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（ ）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A与事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A与事件C是相互独立事件
（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（ ）
A．f(12)=12
B．f（x）为奇函数
C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）
D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为32
（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（ ）
A．AB1⊥A1M
B．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变
C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+5
D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）lg2+lg5+π0＝ ．
14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 ．
15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB＝60°，则该大厦高度AB＝ 米（精确到1米）．
参考数据：2≈1.414，3≈1.732．
16．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD=22，EF＝1，点P满足PA→⋅PB→=0，则PC→⋅PD→的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．
（1）求θ；
（2）若x∈[0，π4]，求f（x）的值域．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2c﹣2acsB．
（1）求A；
（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面积S．
19．（12分）已知函数f（x）＝lgax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值为3．
（1）求a的值；
（2）当x∈[1，8]时，2﹣f（x）﹣f（x）+t⩾0，求实数t的取值范围．
20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；
（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率．
21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，点E是PB的中点．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面PAC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．
22．（12分）已知函数f(x)=|14x2-x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，
故选：D．
2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（ ）
A．12B．2C．22D．2
【解答】解：∵iz＝1+i，
∴z=1+ii=(1+i)(-i)i(-i)=-i-i2-i2=1﹣i，
∴|z|=1+(-1)2=2．
故选：D．
3．（5分）已知tanα＝2，则cs2α＝（ ）
A．45B．35C．-45D．-35
【解答】解：因tanα＝2，则cs2α=cs2α-sin2α=cs2α-sin2αcs2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=-35．
故选：D．
4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：
小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ）
A．平均数B．中位数C．极差D．标准差
【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，
实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，
错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，
所以中位数没有变化，极差变化了．
故选：B．
5．（5分）已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α
C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由平面与平面平行的性质，可得A正确；
对于B，由直线与平面平行的判定定理，可得B正确；
对于C，m与n的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C错误；
对于D，由平面与平面垂直的性质，D正确．
故选：C．
6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→=xAB→+yAD→，则x+y＝（ ）
A．32B．2C．52D．3
【解答】解：∵AB→=2DC→，∴DC→=12AB→，
∴AC→=AD→+DC→=AD→+12AB→，
∴x=12，y＝1，
∴x+y=32．
故选：A．
7．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（ ）
A．lnm+lnn≥0B．m2+n2≤2C．1m+1n≥2D．m+n≤2
【解答】解：对于A：∵m＞0，n＞0，m+n＝2，∴由基本不等式可得m+n≥2mn，
∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，lnm+lnn＝lnmn≤ln1＝0，故A错误；
∵2（m²+n²）＝（m²+n²）+（m²+n²）≥m²+n²+2mn＝（m+n）2＝4，
可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．
对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m+n）=12（2+nm+mn）≥12（2+2nm⋅mn）＝2，
当且仅当nm=mn，即m＝n＝1时，等号成立，故C正确；
（m+n）2＝m+n+2mn≤2（m+n）＝4，因为m+n＞0，
故m+n≤2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，D错误；
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（ ）
A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)
C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)
【解答】解：因为f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，x≠0，
所以f（﹣x）＝ex+e﹣x+lg|﹣x|＝ex+e﹣x+lg|x|＝f（x），
即f（x）为偶函数，
当x＞0时，f（x）＝ex+e﹣x+lgx，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1x，
∵y＝ex与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，
∴y＝ex﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，
∴ex﹣e﹣x＞e0-1e0=0，
即当x＞0时，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1x＞0恒成立，
∴偶函数f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，
∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，
解得：0＜x＜12，或12＜x＜2．
即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，12)∪(12，2)．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cs(2x+π6)，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于(-π12，0)对称
C．f（x）的图象关于x=5π12对称
D．f（x）在(0，π2)上单调递减
【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，
f（-π12）＝cs（-π12×2+π6）＝cs0＝1≠0，即函数f（x）的图象关于(-π12，0)不对称，故B错误，
f（5π12）＝cs（2×5π12+π6）＝csπ＝﹣1，即f（x）的图象关于x=5π12对称，故C正确，
当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜7π6，则f（x）不单调，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（ ）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A与事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A与事件C是相互独立事件
【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），
事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），
A：事件A∪B是必然事件，故正确；
B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；
C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；
D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以 P（A）•P（C）＝P（AC），
所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；
故选：ACD．
（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（ ）
A．f(12)=12
B．f（x）为奇函数
C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）
D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为32
【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12]=12+0=12，故正确；
对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，
f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），
所以f（x）不是奇函数，故错误；
对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，
所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，
即f（x1）＞f（x2），故错误；
对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，
整理得2x﹣[x]﹣1＝0，
所以[x]＝2x﹣1，
又因为x﹣1＜[x]≤x，
所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，
当x＝1时，满足方程，
即x＝1是方程的根，
当0＜x＜1时，x+[x]＝x，
方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=12，
故根的和为32，故正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（ ）
A．AB1⊥A1M
B．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变
C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+5
D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
【解答】解：连接A1B，如图所示，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，
ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，
∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，
A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，
A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，VC1-AMB1=VA-B1C1M=13S△B1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，
故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；
设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，
A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，
C1M2=C1C2+MC2=22+(2-t)2，
|A1M|+|C1M|=(22)2+t2+22+(2-t)2，
其几何意义是点(22，0)和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，
最小值为点(-22，0)到点（2，2）的距离，为16+82，C选项错误；
当M是BC的中点时，A1M=3，A1C1=22，C1M=5，
cs∠MA1C1=A1M2+A1C12-C1M22⋅A1M⋅A1C1=9+8-52×3×22=22，
sin∠MA1C1=22，S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×22×3×22=3，
S△CC1M=12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为hC，由VC-A1MC1=VA1-CC1M，
得3hc=2×1，hc=23，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C=3，
点O到平面MA1C1的距离为hO=12hC=13，
则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为(3)2-(13)2=263，截面面积为269π，D选项正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）lg2+lg5+π0＝ 2 ．
【解答】解：lg2+lg5+π0
＝lg10+1
＝2．
故答案为：2．
14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 223π ．
【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，
∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，
侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，
∴圆锥的高h=9-1=22，
∴圆锥体积V=13×π×r2×h=223π．
故答案为：223π．
15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在点C测得大厦顶A的仰角∠ACB＝60°，则该大厦高度AB＝ 212 米（精确到1米）．
参考数据：2≈1.414，3≈1.732．
【解答】解：由∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，可得∠CBD＝45°，又CD＝100米，
由正弦定理可得CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，即10022=BC32，可得BC＝506，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BC•tan∠ACB＝506×3=1502≈150×1.414≈212米．
故答案为：212．
16．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD=22，EF＝1，点P满足PA→⋅PB→=0，则PC→⋅PD→的最大值为 2 ．
【解答】解：以E为圆心，12AB为半径作圆，
∵EF=1=12AB，∴F在圆上，
∵PA→⋅PB→=0，∴P在圆上，
∴PC→⋅PD→=14[(PC→+PD→)2-(PC→-PD→)2]
=14[(2PF→)2-DC→2]=PF→2-14×(22)2=PF→2-2，
∵F，P都在以E为圆心，12AB为半径的圆上，
∴|PF→|max=2r=AB＝2，
∴(PC→⋅PD→)max=(PF→)2max-2=22-2=2．
故答案为：2．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．
（1）求θ；
（2）若x∈[0，π4]，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f（x）＝sin（2x+θ），
得f（π6）＝sin（π3+θ）＝1，其中θ∈(0，π2)，
所以θ=π6；
（2）x∈[0，π4]，（2x+π6）∈[π6，23π]，
此时，f（x）∈[12，1]．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2c﹣2acsB．
（1）求A；
（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面积S．
【解答】解：（1）因为b＝2c﹣2acsB，
由正弦定理可得2sinC﹣2sinAcsB＝sinB，
而sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
代入化简得2csAsinB＝sinB，
因为B∈（0，π），所以sinB＞0，
所以csA=12，
因为A∈（0，π），
故A=π3；
（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，
由（1）可知A=π3，又a=33，c＝2b，
代入上式可得，27＝b2+4b2﹣2b×2b×12，
解得b＝3，c＝6，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×3×6×32=932．
19．（12分）已知函数f（x）＝lgax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值为3．
（1）求a的值；
（2）当x∈[1，8]时，2﹣f（x）﹣f（x）+t⩾0，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）当0＜a＜1时，f（x）＝lgax在[1，8]上单调递减，
此时f（x）max＝f（1）＝0≠3，不满足题意；
当a＞1时，f（x）＝lgax在[1，8]上单调递增，
此时f（x）max＝f（8）＝lga8＝3，
解得a＝2；
（2）令m＝lg2x，
因为x∈[1，8]，所以m∈[0，3]，
所以2﹣f（x）﹣f（x）+t≥0⇔2﹣m﹣m+t≥0⇔t≥m﹣2﹣m在m∈[0，3]上恒成立，
令g（m）＝m﹣2﹣m，m∈[0，3]，
易知g（m）在[0，3]上为增函数，
所以g（m）max＝3﹣2﹣3=238，
所以实数t的取值范围为[238，+∞）．
20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；
（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，
因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，
所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，
则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，
解得x≈46.7，
即75%分位数约为46.7；
（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，
区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，
区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，
区间[60，70）内的1件产品记为c，
从这6件产品中任选3件，所有情况为：
（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，
事件A∩B分为：
①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，
包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，
所以P1=120，
②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，
包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，
所以P2=620=310，
③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽0个，
包含基本事件为：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3种，
所以P3=320，
所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=120+310+320=12．
21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，点E是PB的中点．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面PAC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．
【解答】解：（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB＝90°，
由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因为PA=PC=22，
满足PA2+PC2＝AC2，所以PA⊥PC．
因为平面PAC⊥平面PCB，平面PAC∩平面PCB＝PC，PA⊂平面PAC，
所以PA⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以PA⊥BC．
因为BC⊥AC，PA，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC．
（2）取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．
在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，
则∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．
证明如下：因为PA＝PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．
由（1）知平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PO1⊂平面PAC，
所以PO1⊥平面ABC．因为EM是△PO1B的中位线，则EM∥PO1，
所以EM⊥平面ABC．因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．
因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME＝M，
所以BF⊥平面ENM．又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，
由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．
连接FM，并延长FM交BC于点T．由EM是△BPQ的中位线，得EM∥PO1，
PO1⊂平面PAC，EM⊄平面PAC，所以EM∥平面PAC．
当EF∥平面PAC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面PAC．
由平面与平面平行的性质定理可知TF∥AC．因为点M是O1B的中点，
所以FT过点O，由此可知FT＝5．
因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，
可知BF=30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，
所以MN=236，EM=12PO1=1，因此tan∠EMM=EMMN=64，
所以二面角E﹣BF﹣A的平面角的正切值为64．
22．（12分）已知函数f(x)=|14x2-x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得f(x)=14x2-x，x＜0-14x2+x，0≤x≤414x2-x，x＞4，
显然f（x）≥0，且（0，0）是函数f（x）与g（x）图象的一个交点，
当k＜0时，g（x）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，与f（x）图象无交点；
在区间（﹣∞，0），g（x）与f（x） 图象至多有一个交点，不合题意．
当k＝0时，函数f（x）与g（x）图象有且仅有两个交点（0，0），（4，0），不合题意．
当k＞0时，若函数f（x）与g（x）图象有三个交点，
则方程-14x2+x=kx，14x2-x=kx均有正根，分别为x1＝4（1﹣k），x2＝4（k+1），
由k＞04(1-k)＞04(k+1)＞0，可得0＜k＜1，
所以实数k的取值范围是（0，1）；
（2）由（1）可知，当k∈（0，1）时，f（x）与g（x）的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x1＝4（1﹣k），x2＝4（k+1），
当x∈（0，x1）时，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），
当x∈（x1，x2）时，f（x）≤g（x），max{f（x），g（x）}＝g（x），
当x∈（x2，+∞）时，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），
当34≤k＜1时，x1＜1，x2＞6，φ（x）＝g（x）（1≤x≤6），M＝φ（6）＝6k，m＝φ（1）＝k，M﹣m＝5k∈[154，5）；
当12≤k＜34时，1＜x1≤2，x2≥6，φ（x）=f(x)，1≤x＜x1g(x)，x1≤x≤6，
f（x）在[1，x1）上为增函数，且g（x）为增函数，
故φ（x）在[1，6]上为增函数，M＝φ（6）＝6k，
m＝f（1）=34，M﹣m＝6k-34∈[94，154），
当14＜k＜12时，2＜x1＜3，5＜x2＜6，φ（x）=f(x)，1≤x＜x1g(x)，x1≤x≤x2f(x)，x2＜x≤6，
且φ（x）在[1，2]上为增函数，在[2，x1）上为减函数，在[x1，6]上为增函数，
φ（1）＝f（1）=34，φ（x1）＝f（x1）＞f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞φ（2），
故M＝φ（6）＝3，m＝f（1）=34，M﹣m=94；
当0＜k≤14时，3≤x1＜4，4＜x2≤5，φ（x）=f(x)，1≤x＜x1g(x)，x1≤x≤x2f(x)，x2＜x≤6，
且φ（x）在[1，2]上为增函数，在[2，x1）上为减函数，在[x1，6]上为增函数，
φ（1）＝f（1）=34，φ（x1）＝f（x1）≤f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞φ（2），
故M＝φ（6）＝3，m＝f（x1）＝f（4﹣4k）＝﹣4k2+4k，M﹣m＝4k2﹣4k+3∈[94，3）；
综上，当34≤k＜1时，M＝6k，m＝k；
当12≤k＜34时，M＝6k，m=34；
当14＜k＜12时，M＝3，m=34；
当0＜k≤14时，M＝3，m＝﹣4k2+4k，
所以M﹣m的取值范围为：[94，5）．月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
用水量
9.0
9.6
14.9
5.9
4.0
7.7
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
用水量
9.0
9.6
14.9
5.9
4.0
7.7
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