2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷，共58页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）（2023春•宝安区校级期中）若，则复数的虚部为
A．B．C．1D．
2．（5分）（2023春•宝安区校级期中）平面向量，，，则与的夹角是
A．B．C．D．
3．（5分）（2023春•宝安区校级期中）已知向量，的夹角为，且，，则在上投影向量的坐标为
A．，B．，C．，D．
4．（5分）（2023•涪城区校级模拟）已知函数，，为常数，，的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为
A．B．
C．D．
5．（5分）（2023•南昌一模）如图，已知正四棱台中，，，，点，分别为，的中点，则下列平面中与垂直的平面是
A．平面B．平面C．平面D．平面
6．（5分）（2022•杭州模拟）在中，已知，则的形状一定是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰或直角三角形
7．（5分）（2023春•宝安区校级期中）如图所示的矩形中，，，以为圆心的圆与相切，为圆上一点，且，若，则的值为
A．B．C．D．
8．（5分）（2023•中卫一模）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形D．点轨迹的长度为
二、多选题
9．（5分）（2023•怀仁市校级二模）已知复数满足，则下列说法中正确的是
A．复数的模为
B．复数在复平面内所对应的点在第四象限
C．复数的共轭复数为
D．
10．（5分）（2023春•台江区校级期末）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有
A．
B．
C．
D．
11．（5分）（2023•泉州模拟）已知函数，，则
A．与均在单调递增
B．的图象可由的图象平移得到
C．图象的对称轴均为图象的对称轴
D．函数的最大值为
12．（5分）（2023•3月份模拟）已知的内角，，所对边的长分别为，，，已知，，的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
三、填空题
13．（5分）（2023秋•红桥区期末）计算： ．
14．（5分）（2023春•宝安区校级期中）将边长为20的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△，则 ．
15．（5分）（2023•青岛一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则 千米．
16．（5分）（2023•平谷区一模）如图，矩形中，，为的中点，将沿直线翻折，构成四棱锥，为的中点，则在翻折过程中，
①对于任意一个位置总有平面；
②存在某个位置，使得；
③存在某个位置，使得；
④四棱锥的体积最大值为．
上面说法中所有正确的序号是 ．
四、解答题
17．（10分）（2019秋•连云港期末）已知向量，．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若向量与垂直，求实数的值．
18．（12分）（2023春•宝安区校级期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和对称轴．
（2）当时，求函数的单调增区间．
19．（12分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在中，，且，，将绕直角边旋转到处，得到圆锥的一部分，点是底面圆弧（不含端点）上的一个动点．
（1）是否存在点，使得？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；
（2）当四棱锥体积最大时，求沿圆锥侧面到达点的最短距离．
20．（12分）（2023•龙湖区三模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）若的角平分线交于，且，求面积的取值范围．
21．（12分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，．
（1）求多面体的体积．
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由；
22．（12分）（2023春•宝安区校级期中）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：，圆心在水平地面上的射影点为，摩天轮上任意一点在水平地面上的射影点都在直线上．水平地面上有三个观景点、、，如图（2）所示．在三角形中，，，，，，记（单位：．
（1）在中，求的值；
（2）若摩天轮上任意一点与点连线与水平正方向所成的角为如图（3）所示，点在水平地面上的投影为．
①用表示，，的长；
②因安全因素考虑，观景点与摩天轮上任意一点的之间距离不超过（单位：，求实数的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）（2023春•宝安区校级期中）若，则复数的虚部为
A．B．C．1D．
【答案】
【考点】复数的运算
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解：，
则，
故，其虚部为1．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2．（5分）（2023春•宝安区校级期中）平面向量，，，则与的夹角是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角
【专题】转化思想；平面向量及应用；转化法；数学运算
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及平面向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：设与的夹角是，，，
，
，
，，
，解得，
与的夹角是．
故选：．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，以及平面向量的数量积运算，属于基础题．
3．（5分）（2023春•宝安区校级期中）已知向量，的夹角为，且，，则在上投影向量的坐标为
A．，B．，C．，D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；投影向量
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量，的夹角为，且，，
则，，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4．（5分）（2023•涪城区校级模拟）已知函数，，为常数，，的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】函数的图象变换；由的部分图象确定其解析式
【专题】三角函数的图象与性质；数形结合；数学运算；综合法
【分析】由图知，最小正周期，从而知，由，推出，，不妨取，，再由，求出的值，得的解析式，然后根据函数图象的平移法则，得解．
【解答】解：由图知，最小正周期，
所以，
又，所以，即，
所以，，即，，
当时，，此时，
因为，所以，即，
所以，
所以，
因为将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，
所以．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，利用函数的图象求解析式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．（5分）（2023•南昌一模）如图，已知正四棱台中，，，，点，分别为，的中点，则下列平面中与垂直的平面是
A．平面B．平面C．平面D．平面
【答案】
【考点】棱台的结构特征；直线与平面垂直
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；立体几何；逻辑推理
【分析】延长，，，交于一点，取中点，连接，，根据三角形相似及长度关系可得为等边三角形，即可得，，由长度关系及平行可证明△，△，即可证明在上，在上，再根据线面垂直的判定定理即可得出结果．
【解答】解：延长，，，交于一点，取中点，连接，，如图所示：
因为正四棱台，所以为正四棱锥，
因为，，，且△，
所以，即，解得，
所以，即为等边三角形，
因为为中点，所以，且，同理可得，
因为，所以，即，
因为，为，中点，所以，
故，，
因为，，
所以△，△，
所以，，
因为，，
所以在上，在上，
因为，，所以，，
即，，因为平面，平面，，所以平面．
故选：．
【点评】本题主要考查线面垂直的判定，棱台的结构特征，考查逻辑推理能力，属于中档题．
6．（5分）（2022•杭州模拟）在中，已知，则的形状一定是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰或直角三角形
【答案】
【考点】正弦定理；三角形的形状判断
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】先通过“边化角”，再通过辅助角公式即可求解．
【解答】解：因为，
所以，整理可得，
所以，
又因为，，
所以，，，，
所以，可得，
所以的形状一定是直角三角形．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
7．（5分）（2023春•宝安区校级期中）如图所示的矩形中，，，以为圆心的圆与相切，为圆上一点，且，若，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】过点做交延长线于点，先根据相切及等面积法求出圆的半径即的长度，再根据，求出，的长度，根据长度之间的比例及向量共线定理分别可得与之间的等式关系，代入中，故可得，的值，即可选出结果．
【解答】解：过点做交延长线于点，如图所示：
因为矩形中，，，所以，
因为为圆上一点，所以为圆的半径，
因为圆与相切，根据面积相等可得：，即，
解得，因为，所以，
所以，
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
故，所以．
故选：．
【点评】本题主要考查平面向量基本定理，属于中档题．
8．（5分）（2023•中卫一模）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形D．点轨迹的长度为
【答案】
【考点】棱柱的结构特征；直线与平面平行；轨迹方程
【专题】整体思想；综合法；立体几何；数学运算
【分析】取棱的中点，连接，，，进而证明平面平面，再结合题意可知直线必过点，进而取中点，连接，，，证明平面即可得四边形为点的轨迹，再根据几何关系依次判断各选项即可．
【解答】解：如图，取棱的中点，连接，，，
因为，分别为，的中点，
所以在中，，由于平面，平面，
所以平面，
因为，，所以，四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，
所以平面平面，
由于为体对角线的中点，
所以，连接并延长，直线必过点，
故取中点，连接，，，
所以由正方体的性质易知，，
所以四边形是平行四边形，，，
因为，，
所以，，共线，即平面，
所以四边形为点的轨迹，故选项错误；
由正方体的棱长为1，所以四边形的棱长均为，且对角线为，
所以四边形为菱形，周长为，故选项错误，
由菱形的性质知，线段的最大值为，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了棱柱的结构特征，考查了直线与平面平行的判定定理，属于中档题．
二、多选题
9．（5分）（2023•怀仁市校级二模）已知复数满足，则下列说法中正确的是
A．复数的模为
B．复数在复平面内所对应的点在第四象限
C．复数的共轭复数为
D．
【答案】
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数学运算；转化思想；数系的扩充和复数；转化法
【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可．
【解答】解：因为，
所以，，
有，故正确；
复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故错误；
复数的共轭复数为，故错误；
因为，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
10．（5分）（2023春•台江区校级期末）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】直线与平面平行
【专题】对应思想；分析法；立体几何；数据分析
【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项．
【解答】解：对于选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，正确．
对于选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，，，所以，，，，，六点共面，错误．
对于选项，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面，所以错误．
对于选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，
由于平面，平面，所以平面，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查空间中直线和平面的位置关系，属于基础题．
11．（5分）（2023•泉州模拟）已知函数，，则
A．与均在单调递增
B．的图象可由的图象平移得到
C．图象的对称轴均为图象的对称轴
D．函数的最大值为
【答案】
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数的图象变换；三角函数的最值；正弦函数的单调性
【专题】三角函数的图象与性质；对应思想；数学运算；综合法
【分析】利用二倍角公式化简可得，利用辅助角公式化简可得，再结合正弦函数的图象与性质，逐一分析选项，即可．
【解答】解：，，
选项，由知，，，，
又函数在上单调递增，
所以与均在单调递增，即正确；
选项，的图象需由的图象经过平移和伸缩变换得到，即错误；
选项，令，，则，，
所以图象的对称轴为，，
令，，则，，
所以图象的对称轴为，，
所以图象的对称轴均为图象的对称轴，即错误；
选项，，，
而当时，与可同时成立，
所以的最大值为，即正确．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．（5分）（2023•3月份模拟）已知的内角，，所对边的长分别为，，，已知，，的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理
【专题】计算题；转化思想；向量法；综合法；解三角形；平面向量及应用；数学运算
【分析】根据及，及余弦定理可得出，两边平方即可求出，，然后根据三角形面积公式可求出，正确；根据及向量数量积的计算公式可求出的值，从而判断的正误；由可得出，然后可得出关于，的方程组，解出即可判断的正误；根据余弦定理可求出，根据正弦定理可求出的值，从而判断的正误．
【解答】解：，且，，
，
，
，
，
，解得或（舍去），，
，正确；
如图，为的外心，则：
，正确；
，，且，，
，化简得，解得，，正确；
根据余弦定理，，，
根据正弦定理，，，错误．
故选：．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理，向量数量积的运算及计算公式，三角形外心的定义，考查了计算能力，属于难题．
三、填空题
13．（5分）（2023秋•红桥区期末）计算： ．
【答案】．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换的应用求出结果．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．（5分）（2023春•宝安区校级期中）将边长为20的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△，则 ．
【答案】．
【考点】平面图形的直观图；斜二测法画直观图
【专题】对应思想；定义法；立体几何；数学运算
【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边
【解答】解：由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为20的正三角形，
，边上的高为，
按“斜二测”画法如下图所示：
，，
在三角形中，，
由余弦定理得，．
故答案为：．
【点评】本题考查斜二测画法相关知识，属于中档题．
15．（5分）（2023•青岛一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则 千米．
【答案】．
【考点】三角形中的几何计算；解三角形
【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算
【分析】在中由正弦定理可得，在中由余弦定理可得．
【解答】解：由题意可知，，
所以，
即，
所以，
所以，
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，
在中由余弦定理得
，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
16．（5分）（2023•平谷区一模）如图，矩形中，，为的中点，将沿直线翻折，构成四棱锥，为的中点，则在翻折过程中，
①对于任意一个位置总有平面；
②存在某个位置，使得；
③存在某个位置，使得；
④四棱锥的体积最大值为．
上面说法中所有正确的序号是 ①④ ．
【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何；逻辑推理；数学运算
【分析】证明，结合线面平行判定判断①；由结合与不垂直，判断②；由线面垂直的判定得出点与点重合，从而判断③；取的中点为，连接，当平面时，四棱锥的体积最大，从而判断④．
【解答】解：如图，分别取，的中点为，，连接，，，，
因为，的中点分别为，，所以，且，
即四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有平面，故①正确；
因为，所以与不垂直，由可知，与不垂直，故②错误；
由题意，若，则由线面垂直的判定可得平面，则，
因为，所以与△全等，则，此时点与点重合，不能形成四棱锥，故③错误；
如图，取的中点为，连接，，
当平面时，四棱锥的体积最大，最大值为，故④正确；
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查线线、线面位置关系的判断，棱锥体积的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题
17．（10分）（2019秋•连云港期末）已知向量，．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若向量与垂直，求实数的值．
【考点】：数量积表示两个向量的夹角；：数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】36：整体思想；49：综合法；：平面向量及应用；65：数学运算
【分析】（1）结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；
（2）由向量垂直的坐标表示即可求解．
【解答】解：（1），
，
（2），
又与垂直，
，
即，解得．
【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用，属于基础试题．
18．（12分）（2023春•宝安区校级期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和对称轴．
（2）当时，求函数的单调增区间．
【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的三角函数
【专题】三角函数的图象与性质；函数思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】（Ⅰ）先由诱导公式、二倍角公式及变形公式、辅助角公式等进行三角变换，将化为形式，再利用周期公式求出周期；
（Ⅱ）由的范围求出的范围，进而求出函数的单调增区间．
【解答】解：（Ⅰ）
，
函数的最小正周期；
由，解得，；
（Ⅱ）当时，，
当即时，函数单调递增，
即函数的单调增区间为，．
【点评】本题考查诱导公式、二倍角公式及变形公式、辅助角公式等进行三角变换，以及函数性质的求解，属于基础题．
19．（12分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在中，，且，，将绕直角边旋转到处，得到圆锥的一部分，点是底面圆弧（不含端点）上的一个动点．
（1）是否存在点，使得？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；
（2）当四棱锥体积最大时，求沿圆锥侧面到达点的最短距离．
【答案】（1）当是弧的中点时，满足，此时．
（2）．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】数学运算；转化思想；空间位置关系与距离；转化法
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行判断求解即可．
（2）根据条件得到四棱锥体积最大时对应的等价条件，利用扇形的弧长公式以及余弦定理进行计算即可．
【解答】解：（1）在圆锥中，底面，
，
若，
，平面即可，
则，即可，
，即是等腰三角形，是边上的中垂线即可，
即当是弧的中点时，满足，此时．
（2）在四棱锥，高是定值，要使四棱锥体积最大，则只需要四边形的面积最大即可，
设，，则，
设圆锥底面半径为，则，
则的面积，
，，
则当时，即时，的面积最大，此时四棱锥体积最大，此时为的中点，
其中，
将圆锥的侧面展开后得到扇形如图：
，，
母线，
则圆心角，
是的中点，
，
则，
则．
【点评】本题主要考查空间直线垂直的判定，利用线面垂直的判定定理以及扇形的弧长公式，余弦定理进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
20．（12分）（2023•龙湖区三模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）若的角平分线交于，且，求面积的取值范围．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）．
【考点】正弦定理；解三角形
【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算
【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换，即可求证；
（2）根据已知条件，结合正弦定理，推得，再结合三角形的面积公式，以及角的取值范围，即可求解．
【解答】证明：（1），
由正弦定理可得，，
，
，
，
，
为锐角三角形，
，，
，
在，上单调递增，
，即；
（2）解：，
在中，，
由正弦定理可得，，
，
，
为锐角三角形，
，解得，
，
面积的取值范围为．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
21．（12分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，．
（1）求多面体的体积．
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由；
【答案】（1）12；（2）上存在点，且，使得平面；理由见解答．
【考点】直线与平面平行；棱柱、棱锥、棱台的体积
【分析】（1）在平面内，过作，垂足点为，则易得平面，同理可得平面，从而易得到平面的距离等于到平面的距离，即为，又多面体的体积为：，最后根据锥体的体积公式，计算即可求解；
（2）取的中点，取的中点，则易证平面平面，从而得平面．
【解答】解：（1）如图，在平面内，过作，垂足点为，
又平面平面，且平面平面，
平面，
和均为正三角形，为中点，，
又平面平面，且平面平面，
平面，又平面，
，又平面，平面，
平面，
到平面的距离等于到平面的距离，即为，
又，，，
多面体的体积为：
；
（2）由（1）可知四边形为直角梯形，，且为中点，
取的中点，连接，则易知，
又平面，平面，平面，
再取的中点，连接，，则，
同理可证平面，又，
平面平面，又平面，
平面，
为中点，为的中点，
，
故上存在点，且，使得平面．
【点评】本题考查多面体的体积的求解，线面平行的证明，面面垂直的性质定理，面面平行的判定定理与性质，化归转化思想，属中档题．
22．（12分）（2023春•宝安区校级期中）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：，圆心在水平地面上的射影点为，摩天轮上任意一点在水平地面上的射影点都在直线上．水平地面上有三个观景点、、，如图（2）所示．在三角形中，，，，，，记（单位：．
（1）在中，求的值；
（2）若摩天轮上任意一点与点连线与水平正方向所成的角为如图（3）所示，点在水平地面上的投影为．
①用表示，，的长；
②因安全因素考虑，观景点与摩天轮上任意一点的之间距离不超过（单位：，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2），．
【考点】解三角形
【专题】计算题；整体思想；数学模型法；解三角形；数学运算
【分析】（1）设，则，进而由余弦定理求解即可得答案，要注意平面；（2）过点作于点，连接，，要使尽可能的大，结合几何关系得，利用三角换元求解得，最后解不等式 即可得答案．
【解答】解：设，则，所以在和中，
分别利用余弦定理得：，
所以，所以，则；
（2）根据题意，观景点与摩天轮上任意一点的之间距离不超过，
即，过点作于点，连接，，
要使尽可能的大，则点在直线的上方部分，
且在点的右侧，如图，设，，，由于垂直底面，
在中，，则，
所以
，令，
则（其中，
所以，即，
所以，解得，所以实数的取值范围，．
【点评】本题考查三角函数的实际应用，考查三角的综合应用，属于中档题．
考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
3．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
4．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
5．三角函数的最值
【知识点的认识】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【解题方法点拨】
例1：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝ +cs（2x+） ．
解：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝﹣+2•＝+（cs2x﹣sin2x）
＝+cs（2x+）．
故答案为：+cs（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【命题方向】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
6．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
7．三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
【解题方法点拨】
例：sin60°cs（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cs（﹣570°）的值等于
解：，，，，
∴原式＝．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cs（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cs30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【命题方向】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
8．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝ctα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
9．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
10．投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
11．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
12．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
13．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
14．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
16．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
17．三角形的形状判断
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
18．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
19．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
20．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
21．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台＝．
22．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
23．平面图形的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
24．斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
25．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
26．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
27．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/10 23:55:12；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解