2024年内蒙古赤峰市宁城县中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2024年内蒙古赤峰市宁城县中考数学适应性试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，属于无理数的是( )
A. 1.414B. 2C. 4D. 13
2.下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是( )
A. 正方体B. 圆柱
C. 圆锥D. 球
3.灯笼河草原空气清爽，景色宜人，“五一”小长假期间购票进山游客10万人，再创历史新高.若该景区“五一假期”门票价68元/人，以此计算，“五一”小长假期间该景区进山门票总收入用科学记数法表示是( )
A. 6.8×105元B. 6.8×106元C. 68×105元D. 0.68×106元
4.春节期间，受新冠病毒影响，小明居家隔离，隔离期间在家练习写美术字，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. 中B. 国C. 加D. 油
5.下列计算：① 9=±3；②3a2−2a=a；③(2a2)3=6a6；④a8÷a4=a2；⑤3−27=−3，从中任意抽取一个，抽中运算正确结果的概率是( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
6.已知直线m/​/n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为( )
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
7.如图，以O为圆心的MN，C、D三等分MN，连MN、CD，下列结论错误的是( )
A. ∠COM=∠COD
B. 若OM=MN，则∠AOB=20°
C. MN/​/CD
D. MN=3CD
8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x−(单位：千克)及方差S2(单位：千克 ​2)如表所示：
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
9.如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过( )
A. 2cmB. 2 3cmC. 4cmD. 4 3Cm
10.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦−秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c).如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a=5，b=6，c=7，则△ABC的面积为( )
A. 6 6B. 6 3C. 18D. 192
11.当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
12.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB=90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x=6时，PQ的值是( )
A. 2B. 95C. 65D. 1
13.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为( )
(参考数据：sin48°≈0.73，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11)
A. 17.0米B. 21.9米C. 23.3米D. 33.3米
14.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是( )
A. ( 22,− 22)
B. (− 22, 22)
C. (1,0)
D. (0,1)
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
15.因式分解：−x2−4y2+4xy=______．
16.如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB=16cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
17.如图所示的网格是由相同的正方组成的，则∠CAB+∠ACB= ______．
18.如图，A为反比例函数y=kx(其中x>0)图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB=4.连接OA，AB，且OA=AB=2 10.过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx(其中x>0)的图象于点C，连接OC交AB于点D，则ADBD的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
化简求值：m−nm÷(m2+n2m−2n)(m≠n)，其中(m,n)在一次函数y=x− 3的图象上．
20.(本小题12分)
如图，已知锐角△ABC．
(1)过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=34，求DC的长．
21.(本小题12分)
“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我旗某食品公司为了了解市民对去年销售量较好的肉馅粽、豆沙粽、江米粽、红枣黄米粽(以下分别用A、B、C、D表示这四种不同口味粽子)的喜爱情况，在节前对某居民区的市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下统计图．
请根据以上信息回答：
(1)本次参加抽样调查的居民人数为______人，并将不完整的条形图补充完整；
(2)若有外型完全相同的A、B、C、D熟粽，小帅吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到A粽的概率？
22.(本小题12分)
HW公司2021年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中，乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片之和还多400万块.这些“QL”芯片解决了该公司2021年生产的全部手机所需芯片的10%．
(1)求2021年甲类芯片的产量．
(2)HW公司计划2023年生产的手机全部使用自主研发“QL”系列芯片，从2021年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2022年、2023年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m小1，丙类芯片2023年的产量为8000万块.这样，2023年HW的手机产量比2021年全年的手机产量多10%，求m的值．
23.(本小题12分)
如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
(1)求证：PQ是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，TC= 3，求弦AD的长．
24.(本小题12分)
某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实数a，b，c，用M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数，例如M{1,2,9}=4，min{1,2,−3}=−3，min{3,1,1}=1.请结合上述材料，解决下列问题：
(1)①M{(−2)2,22,−22}= ______，
②min{sin30°,cs60°,tan45°}= ______；
(2)如果M{2,1+x,2x}=min{2,1+x,2x}，求x的值．
25.(本小题14分)
如图，二次函数y=−13x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为(8,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在x轴上方作x轴的平行线y1=m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C.当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
(3)在(2)的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0).过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
26.(本小题14分)
几何探究：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、C重合)，连接OC、OP.将线段PO绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．
(1)如图1，当点P在线段BC上时，线段BQ与CP的数量关系为______；
(2)如图2，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，当点P在BC延长线上时，若∠POC=15°，AB=4.求BQ的长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B. 2是无理数，故本选项符合题意；
C. 4=2，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.13是分数，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】C
【解析】解：A.俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B.俯视图与主视图都是长方形，故选项B不合题意；
C.俯视图是圆，主视图是三角形；故选项C符合题意；
D.俯视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：C．
从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
3.【答案】B
【解析】解：10万=100000．
68×100000=6800000=6.8×106(元)．
答：“五一”小长假期间该景区进山门票总收入用科学记数法表示是6.8×106元．
故选：B．
用该景区“五一假期”门票价乘“五一”小长假期间购票进山游客的人数，求出“五一”小长假期间该景区进山门票总收入，并用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|MN，
∴MN0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
由b+c=5可得出c=5−b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△=(b−6)2+24，由偶次方的非负性可得出(b−6)2+24>0，即△>0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．
【解答】
解：∵b+c=5，
∴c=5−b．
△=b2−4×3×(−c)=b2+12c=b2−12b+60=(b−6)2+24．
∵(b−6)2≥0，
∴(b−6)2+24>0，
∴△>0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．
故选：A．
12.【答案】B
【解析】解：由图象可知：
AE=3，BE=4，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∵∠AEB=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，∠CEB+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEB，
设：AD=BC=a，∠DAE=∠CEB=α，
在Rt△ADE中，csα=ADAE=a3，
∴AD=a3AE，
在Rt△BCE中，sinα=BCBE=a4，
∵∠D=∠C=90°，∠DAE=∠CEB，
∴△ADE∽△ECB，
∴DEAE=BCBE=a4，
∴DE=a4AE，
又∵AD2+DE2=AE2，
∴(a3AE)2+(a4AE)2=AE2，
解得：a=125或a=−125(舍)，
当x=6时，即EN=3，则y=MN=ENsinα=95．
故选：B．
由图象可知：AE=3，BE=4，∠DAE=∠CEB=α，设AD=BC=a，在Rt△ADE中，cnα=ADAE=a3，在Rt△BCE中，sinα=BCBE=a4，由勾股定理AD2+DE2=AE2，求得a=125，当x=6时，即EN=3，则y=MN=ENsinα=95．
本题考查的是动点问题函数图象，涉及到解直角三角形，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
13.【答案】C
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，根据已知条件得到CFAF=1：2.4=512，设CF=5k，AF=12k，根据勾股定理得到AC= CF2+AF2=13k=26，求得AF=24，CF=10，得到EF=6+24=30，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，∵CFAF=1：2.4=512，
∴设CF=5k，AF=12k，
∴AC= CF2+AF2=13k=26，
∴k=2，
∴AF=24，CF=10，
∵AE=6，
∴EF=6+24=30，
∵∠DEF=48°，
∴tan48°=DFEF=DF30=1.11，
∴DF=33.3，
∴CD=33.3−10=23.3，
答：古树CD的高度约为23.3米，
故选：C．
14.【答案】D
【解析】解：由题知，
因为360°÷45°=8，
所以每旋转八次点A的对应点重复出现．
因为2024÷8=253，
所以点A2024的坐标与点A8的坐标相同．
又因为点A8与点A重合，且点A的坐标为(0,1)，
所以点A2024的坐标为(0,1)．
故选：D．
根据所给旋转方式可得出，每旋转八次点A的对应点重复出现，据此可解决问题．
本题考查坐标与图形变化−旋转及点的坐标变化规律，能根据题意得出每旋转八次点A的对应点重复出现是解题的关键．
15.【答案】−(x−2y)2
【解析】解：−x2−4y2+4xy，
=−(x2+4y2−4xy)，
=−(x−2y)2．
先提取公因式−1，再利用完全平方公式进行二次因式分解．
本题考查利用完全平方公式分解因式，先提取−1是利用公式的关键．
16.【答案】32π
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积=扇形ABB′的面积是解题的关键．
由旋转的性质得：∠BAB′=45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD，图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB′的面积−四边形AB′C′D′的面积=扇形ABB′的面积，代入扇形面积公式计算即可．
【解答】
解：由旋转的性质得：∠BAB′=45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB′的面积−四边形AB′C′D′的面积=扇形ABB′的面积=45π×162360=32π．
故答案为：32π．
17.【答案】45°
【解析】解：在AC上取格点D，连接BD，
由勾股定理得：AB= 32+12= 10，
∵AD=2，AC=5，
∴ADAB=2 10= 105，ABAC= 105，
∴ADAB=ABAC，
∵∠A=∠A，
∴△DAB∽△BAC，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠CDB=∠CAB+∠ABD=45°，
则∠CAB+∠ACB=45°．
故答案为：45°．
在AC上取格点D，连接BD，证明△DAB∽△BAC，得∠ABD=∠ACB，再结合三角形外角的性质可得结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
18.【答案】32
【解析】解：过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA=AB，AH⊥OB，
∴OH=BH=12OB=2，
∴AH= OA2−OH2= (2 10)2−22=6，
∴点A的坐标为(2,6)．
∵A为反比例函数y=kx(其中x>0)图象上的一点，
∴k=2×6=12．
∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数y=12x上，
∴BC=3．
∵AH/​/BC，OH=BH，
∴MH=12BC=32，
∴AM=AH−MH=92．
∵AM/​/BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴ADDB=AMBC=32，
故答案为32．
过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式，由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM/​/BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出ADBD的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
19.【答案】解：m−nm÷(m2+n2m−2n)(m≠n)
=m−nm÷m2+n2−2mnm
=m−nm⋅m(m−n)2
=1m−n，
∵(m,n)在一次函数y=x− 3的图象上，
∴n=m− 3，
∴m−n= 3，
∴原式=1 3= 33．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据(m,n)在一次函数y=x− 3的图象上得出n=m− 3，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，一次函数图象上点的坐标特征，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，
(2)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，
∵tan∠BAD=BDAD=34，
∴BD=34×4=3，
∴CD=BC−BD=5−3=2．
【解析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形．
(1)利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD；
(2)先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切计算出BD，然后利用BC−BD求CD的长．
21.【答案】600
【解析】解：(1)本次参加抽样调查的居民人数为：60÷10%=600(人)，
则喜爱C的居民人数为：600−180−60−240=120(人)，
故答案为：600，
把条形图补充完整如下：
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小帅第二个恰好吃到A粽的结果有3种，
∴小帅第二个恰好吃到A粽的概率为312=14．
(1)由喜爱B的人数除以所占百分比求出本次参加抽样调查的居民人数，即可解决问题；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中第二个恰好吃到A粽的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)设2021年甲类芯片的产量是x块，乙类芯片的产量是y块，丙类芯片的产量是z块，
根据题意得：x+y+z=2800y=2xz−(x+y)=400，
解得：x=400y=800z=1600．
答：2021年甲类芯片的产量是400万块；
(2)根据题意得：400(1+m)2+800(1+m−1)2+8000=2800÷10%×(1+10%)，
整理得：3m2+2m−56=0，
解得：m1=4=400%，m2=−143(不符合题意，舍去)．
答：m的值为400%．
【解析】(1)设2021年甲类芯片的产量是x块，乙类芯片的产量是y块，丙类芯片的产量是z块，根据“甲、乙、丙三类芯片的产量共2800万块，其中，乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片之和还多400万块”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据2023年HW的手机产量比2021年全年的手机产量多10%，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了三元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出三元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】证明：(1)连接OT；
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT/​/AC；
∵AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线．
(2)解：过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC= 3，
∴在Rt△AOM中，AM= OA2−OM2= 4−3=1，
∴弦AD的长为2．
【解析】(1)要证明PQ是⊙O的切线只要证明OT⊥PQ即可；
(2)由已知可求得OM的长，从而利用勾股定理求得AD的长．
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可．
24.【答案】43 12
【解析】解：(1)①∵(−2)2=4，22=4，−22=−4，而4+4−43=43，
∴M{(−2)2,22,−22}=43，
故答案为：43；
②∵sin30°=12，cs60°=12，tan45°=1，而12