50-2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷

这是一份50-2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.2×109B．0.52×1011C．52×10﹣9D．5.2×1010
3．（3分）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．120°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a+b）2＝a2+b2
C．a6÷a3＝a2D．（a3）2＝a6
5．（3分）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，则发挥稳定的是甲
6．（3分）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．10
8．（3分）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ）
A．120B．200C．6960D．9600
9．（3分）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17或13B．13或21C．17D．13
10．（3分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
11．（3分）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是π；②B′A∥BC；③BD＝C′D；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④
13．（3分）数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）
A．a+bB．a﹣bC．abD．|a|﹣b
14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（ ）
A．m+n＝1B．m﹣n＝1C．m＝1D．＝1
二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）
15．（3分）写出一个比小的整数 ．
16．（3分）因式分解：3ax2﹣3a＝ ．
17．（3分）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°≈0.906，cs65°≈0.423，tan65°≈2.145）．
18．（3分）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如表：
则收割最快的一台收割机编号是 ．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
19．（12分）（1）计算：+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|；
（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．
20．（10分）如图，在△ABC中，D是AB中点．
（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．
21．（10分）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77
整理、描述数据
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表：
解决问题：
（1）表格中的a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
22．（12分）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
23．（12分）在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点．
（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有 ；
（2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）已知，双曲线y1＝和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1＝上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标．
24．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的长．
25．（14分）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
26．（14分）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：AD＝AF；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使∠ACF＝∠ACB时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.2×109B．0.52×1011C．52×10﹣9D．5.2×1010
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：52000000000＝5.2×1010．
故选：D．
【点评】此题主要考查了科学记数法—表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题关键．
3．（3分）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．120°
【分析】根据平行线的性质和三角尺的度数即可得到∠1的度数．
【解答】解：由题意得：BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°，
∴∠BCD＝∠EDF＝30°，
∵∠BCD+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴30°+45°+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝105°，
∴∠1＝105°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角尺的角度等，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（a+b）2＝a2+b2
C．a6÷a3＝a2D．（a3）2＝a6
【分析】根据完全平方式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a2与a3不能合并，故A不符合题意；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意；
C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意；
D、（a3）2＝a6，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（3分）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，则发挥稳定的是甲
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，抽样调查的可靠性，方差的意义，逐一判断即可．
【解答】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，故A不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，故B不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，故C不符合题意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，因为2.3＜2.5，所以发挥稳定的是乙，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，方差的意义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
6．（3分）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣3，
将两个不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
7．（3分）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【分析】求出正多边形的每个外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可求解．
【解答】解：如图，
直线l、m相交于点A，则∠A＝60°，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∠1＝∠2＝＝60°，
∴n＝＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，掌握正多边形的性质是解题的关键．
8．（3分）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ）
A．120B．200C．6960D．9600
【分析】用总人数乘样本中视力不低于4.8的人数所占比例即可．
【解答】解：估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数为16000×＝9600（名），
故选：D．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
9．（3分）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17或13B．13或21C．17D．13
【分析】解方程求得x的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可．
【解答】解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
解得x1＝3，x2＝7，
当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是求出方程的两根，此题注意分类思想的运用．
10．（3分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
【分析】根据垂径定理得＝，所以∠AOC＝∠BOC＝42°，根据圆周角定理得∠D＝∠AOC＝21°，再根据OC＝OD，∠C＝∠D＝21°，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥AB，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝42°，
∴∠D＝∠AOC＝21°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D＝21°，
∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
11．（3分）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据1块A，B型钢板可制成C，D型钢板的数量，结合现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板，用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板，且现在需要58块C型钢板，
∴3x+5y＝58；
∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板，用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板，且现在需要40块D型钢板，
∴4x+2y＝40．
∴根据题意可列方程组．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是π；②B′A∥BC；③BD＝C′D；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④
【分析】①先求出点B旋转的角度为36°，半径为1，即可求出路径长；②∠B′AB＝∠ABC＝36°，所以B′A∥BC；③∠DC′B＝∠ABC＝36°，所以BD＝C′D；④△B′BD∽△BAC，所以．
【解答】解：∵AB＝BC，∠C＝72°，
∴∠BAC＝∠C＝72°，∠ABC＝180°﹣2∠C＝36°，
由旋转的性质得∠AB′C＝∠ABC＝36°，∠B'AC'＝∠BAC＝72°，∠AC′B′＝∠C＝72°，∠AC′B′＝∠ADC＝72°，AC′＝AC，
∴∠AC′C＝∠C＝72°，
∴∠CAC'＝36°，
∴∠CAC′＝∠BAC′＝36°，
∴∠B′AB＝72°﹣36°＝36°，
由旋转的性质得AB′＝AB，
∴，
①点B在旋转过程中经过的路径长是，①说法正确；
②∵∠B′AB＝∠ABC＝36°，∴B′A∥BC，②说法正确；
③∵∠DC′B＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠DC′B＝∠ABC＝36°，
∴BD＝C′D，③说法正确；
④∵∠BB′D＝∠ABC＝36°，∠B′BD＝∠BAC＝72°，
∴△B′BD∽△BAC，
∴，④说法正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，旋转的性质等，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
13．（3分）数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）
A．a+bB．a﹣bC．abD．|a|﹣b
【分析】数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，再根据整式的加减乘法运算的计算法则即可求解．
【解答】解：数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，AM＝a+b﹣a＝b，原点在A，M之间，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，
则a﹣b＜0，ab＜0，|a|﹣b＜0，
故运算结果一定是正数的是a+b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，数轴，正数和负数，绝对值，关键是得到a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|．
14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（ ）
A．m+n＝1B．m﹣n＝1C．m＝1D．＝1
【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
将A，C两点的横坐标代入函数解析式得，
点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4），
所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4．
因为四边形ABCD是正方形，
所以AD＝CD，∠ADC＝90°，
所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°，
所以∠CDN＝∠DAM．
在△CDN和△DAM中，
，
所以△CDN≌△DAM（AAS），
所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m，
所以MN＝DM+DN＝m+n，
又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2，
所以m2﹣n2＝m+n，
即（m+n）（m﹣n）＝m+n，
因为m＞n＞0，
所以m+n≠0，
所以m﹣n＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）
15．（3分）写出一个比小的整数 2（答案不唯一） ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：由于＜＜，即2＜＜3，
∴比小的整数可以是2，1，0，﹣1，﹣2……
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
16．（3分）因式分解：3ax2﹣3a＝ 3a（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：3ax2﹣3a
＝3a（x2﹣1）
＝3a（x+1）（x﹣1），
故答案为：3a（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
17．（3分）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为 11.5 米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°≈0.906，cs65°≈0.423，tan65°≈2.145）．
【分析】过点B作BE⊥DC，先说明四边形CABE是矩形，再在Rt△ACD、Rt△DBE中，利用直角三角形的边角间关系求出DE、DC的长，最后利用线段的和差关系得结论．
【解答】解：由题意，知DM∥AC，DC⊥AC，∠MDA＝65°，∠MDB＝45°．
过点B作BE⊥DC，垂足为E．
∵BE⊥CD，BA⊥AC，DC⊥AC，
∴∠C＝∠BEA＝∠CAB＝90°．
∴四边形CABE是矩形．
∴BE＝AC＝10米，CE＝AB．
∵DM∥AC∥BE，
∴∠MDB＝∠EBD＝45°，∠MDA＝∠DAC＝65°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠DAC＝，
∴DC＝tan∠DAC•AC
＝tan65°×10
≈2.145×10
＝21.45（米）．
在Rt△DBE中，
∵tan∠DBE＝，
∴DE＝tan∠DBE•AC
＝tan45°×10
＝1×10
＝10（米）．
∴AB＝DC﹣DE
＝21.45﹣10
＝11.45
≈11.5（米）．
故答案为：11.5．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定等知识点是解决本题的关键．
18．（3分）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如表：
则收割最快的一台收割机编号是 C ．
【分析】由A，B所需时间为23小时，B，C所需时间为19小时，可知A比C快4小时，以此类推可得答案．
【解答】解：∵A，B所需时间为23小时，B，C所需时间为19小时，
∴C比A快4小时；
∵B，C所需时间为19小时，C，D所需时间为20小时，
∴B比D快1小时；
∵C，D所需时间为20小时，D，E所需时间为22小时，
∴C比E快2小时；
∵D，E所需时间为22小时，A，E所需时间为18小时，
∴A比D快4小时；
如图所示：
∴C＞E＞A＞B＞D，
∴收割最快的一台收割机编号是C．
故选：C．
【点评】本题考查推理与论证，分别得出相关收割机的差是解答本题的关键．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
19．（12分）（1）计算：+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|；
（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把a2﹣a＝3代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|
＝3+1+2×+2﹣
＝3+1++2﹣
＝6；
（2）（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）
＝a2﹣4a+4+a2+3a﹣a﹣3
＝2a2﹣2a+1，
∵a2﹣a﹣3＝0，
∴a2﹣a＝3，
当a2﹣a＝3时，原式＝2（a2﹣a）+1＝2×3+1＝6+1＝7．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，D是AB中点．
（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明EF＝BC，EF∥BC即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：由作图可知AE＝EC，
∵AD＝DB，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵EF＝2DE，
∴EF＝BC，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，掌握平行四边形的判定方法．
21．（10分）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77
整理、描述数据
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表：
解决问题：
（1）表格中的a＝ 5 ；b＝ 2 ；c＝ 75 ；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 78 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 80 分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
【分析】（1）根据数据可直接得出a，b，c的值．
（2）根据平均数、众数、中位数的意义可得答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及A，B两名队员恰好同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，a＝5，b＝2，c＝75．
故答案为：5；2；75．
（2）∵样本数据的中位数为78，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分．
∵平均数、众数、中位数这三个数据中，平均数最大，为80，
∴如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分．
故答案为：78；80．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中A，B两名队员恰好同时被选中的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、平均数、众数、中位数，掌握列表法与树状图法、平均数、众数、中位数的定义及意义是解答本题的关键．
22．（12分）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【分析】（1）依据题意，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米，则＝，计算即可得解；
（2）依据题意，设甲队工作时间为m天，则乙队的工作时间为（15﹣m）天，15天的工期，两队能修复公路w千米，从而可得，w＝6m+9（15﹣m）＝﹣3m+135，又m≥2（15﹣m），则m≥10，再结合一次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米，
则＝，
∴x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
∴x+3＝9．
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米．
（2）设甲队工作时间为m天，则乙队的工作时间为（15﹣m）天，15天的工期，两队能修复公路w千米，
由题意得，w＝6m+9（15﹣m）＝﹣3m+135．
又m≥2（15﹣m），
∴m≥10．
又﹣3＜0，
∴w随x的增大而减小．
∴当m＝10时，w有最大值，最大值为w＝﹣3×10+135＝105．
答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
23．（12分）在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点．
（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有 N1（4，2），N3（0，﹣2） ；
（2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）已知，双曲线y1＝和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1＝上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标．
【分析】（1）依据题意，根据等和点的意义逐个进行判断即可得解；
（2）依据题意，设点N的横坐标为a，又点N是点M（3，﹣2）的等和点，从而可得点N的纵坐标为3+a﹣（﹣2）＝a+5，故点N的坐标为（a，a+5），结合点N在直线y＝x+b上，可得a+5＝a+b．进而可以得解；
∴b＝5．
（3）依据题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限，再设直线与双曲线的交点分别为点A、B，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0，故A的横坐标为4，B的横坐标为﹣2，再把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，求出A（4，2）可得反比例函数解析式，进而可设P（m，），点Q的横坐标为n，又点Q是点P的等和点，则点Q的纵坐标为m+n﹣，故Q（n，m+n﹣），又点Q在直线y2＝x﹣2上，可得m+n﹣＝n﹣2，从而m﹣+2＝0，求出m后即可判断得解．
【解答】解：（1）由M（1，3），N1（4，2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝5．
∴点N1（4，2）是点M的等和点．
由M（1，3），N2（3，﹣1）得，
x1+x2＝4，y1+y2＝2，
∴x1+x2≠y1+y2．
∴N2（3，﹣1）不是点M的等和点．
由M（1，3），N3（0，﹣2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝1．
∴点N3（0，﹣2）是点M的等和点．
故答案为：N1（4，2），N3（0，﹣2）．
（2）由题意，设点N的横坐标为a，
∵点N是点M（3，﹣2）的等和点，
∴点N的纵坐标为3+a﹣（﹣2）＝a+5．
∴点N的坐标为（a，a+5）．
又∵点N在直线y＝x+b上，
∴a+5＝a+b．
∴b＝5．
（3）由题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限．
设直线与双曲线的交点分别为点A、B，
如图，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0，
∴A的横坐标为4，B的横坐标为﹣2．
把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，
∴A（4，2）．
把A（4，2）代入y1＝得，2＝．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝．
设P（m，），点Q的横坐标为n，
∵点Q是点P的等和点，
∴点Q的纵坐标为m+n﹣．
∴Q（n，m+n﹣）．
∵点Q在直线y2＝x﹣2上，
∴m+n﹣＝n﹣2．
∴m﹣+2＝0．
∴m＝﹣4或m＝2．
经检验，m＝﹣4，m＝2是方程m﹣+2＝0的解．
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）或（2，4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
24．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的长．
【分析】（1）连接OE，根据定义等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠ABC＝45°，根据圆周角定理得到∠COE＝2∠ABC＝90°，根据平行线的性质得到∠FEO＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）过M作MH⊥BC于H，根据等腰直角三角形的性质得到BH＝MH＝BM＝4，根据三角函数的定义得到CH＝2MH＝8，根据勾股定理得到CM＝＝4，CB＝CH+BH＝12，连接BD，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠COE＝2∠ABC＝90°，
∵EF∥CD，
∴∠COE+∠OEF＝180°，
∴∠FEO＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过M作MH⊥BC于H，
则△BMH是等腰直角三角形，
∵BM＝4，
∴BH＝MH＝BM＝4，
在Rt△CHM中，∵tan∠BCD＝＝，
∴CH＝2MH＝8，
∴CM＝＝4，CB＝CH+BH＝12，
连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∵BD⊥BC，
∴MH∥BD，
∴，
∴，
∴DM＝2，
∴OD＝＝3，
∴OM＝OD﹣DM＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（14分）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 y＝（x+3）2+ ；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【分析】（1）依据题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C（﹣3，），从而可设抛物线为y＝a（x+3）2+，又B（0，2），故2＝a（0+3）2+，可得a＝，进而可以判断得解；
（2）①依据题意，由抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，故抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，又C（﹣3，），B（0，2），从而抛物线BD的顶点为（3，），可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线BD为y＝a'（x﹣3）2+，再将B（0，2）代入得，计算可得抛物线BD的解析式；
②依据题意，由①得y＝﹣（x﹣3）2+，可令y＝0，求出x可得OD的长，从而求出DE即可判断得解；
（3）依据题意，画出图象找出所求钢架，再由ACB所在抛物线y＝（x+3）2+，令y＝4，故4＝（x+3）2+，进而可得M的坐标，可得直线BM，结合EF∥BM，可设EF为y＝﹣x+m，再联立方程组，得方程x2+8x﹣8m+16＝0，从而Δ＝64﹣4（﹣8m+16）＝0，求出m后可得直线EF，进而求出E的坐标，再结合勾股定理计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C（﹣3，），
∴可设抛物线为y＝a（x+3）2+．
又B（0，2），
∴2＝a（0+3）2+．
∴a＝．
∴抛物线为y＝（x+3）2+．
故答案为：y＝（x+3）2+．
（2）①由题意，∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称．
∴B是它们的中点．
又C（﹣3，），B（0，2），
∴抛物线BD的顶点为（3，）．
∴此人腾空后的最大高度为米．
又此时可设抛物线BD为y＝a'（x﹣3）2+，
将B（0，2）代入得，
∴a'（0﹣3）2+＝2．
∴a'＝﹣．
∴抛物线BD的解析式y＝﹣（x﹣3）2+．
②由①得y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，
∴0＝﹣（x﹣3）2+．
∴x＝8或x＝﹣2（舍去）．
∴OD＝8米．
又OE＝12米，
∴DE＝12﹣8＝4＞3．
∴落点D在安全范围内．
（3）由题意，如图，EF即为所求钢架．
∵ACB所在抛物线y＝（x+3）2+，
令y＝4，
∴4＝（x+3）2+．
∴x＝﹣8或x＝2（舍去）．
∴M（﹣8，4）．
又B（0，2），
∴直线BM为y＝﹣x+2．
∵EF∥BM，
∴可设EF为y＝﹣x+m．
联立方程组，
∴（x+3）2+＝﹣x+m．
∴x2+8x﹣8m+16＝0．
∴Δ＝64﹣4（﹣8m+16）＝0．
∴m＝0
∴直线EF为y＝﹣x，过原点，即F与O重合．
∵M（﹣8，4），
∴令x＝﹣8，则y＝﹣x＝﹣×（﹣8）＝2．
∴OE＝2米，ON＝8米．
又∠ENO＝90°，
∴EF＝EO＝＝2（米）．
答：这条钢架的长度为2米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
26．（14分）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：AD＝AF；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使∠ACF＝∠ACB时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）利用等角的余角相等即可得证；
（2）①过点A作AG∥CE，利用平行线分线段成比例+等腰三角形等线段转化即可得解；②与第①问思路一样；
（3）利用等线段转化得，在作平行线，利用平行线分线段成比例求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝∠CED＝90°，
∴∠B+∠F＝∠C+∠EDC＝90°，
∴∠F＝∠EDC，
∵∠ADF＝∠EDC，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF．
（2）解：①如图，过点A作AG∥CE，则AG⊥DF，
∴△AGD∽△CED，
∴＝＝，
∵AF＝AD，
∴GF＝GD，
∴＝2•＝．
②如图，过点A作AG∥CE，则AG⊥DF，
∴△AGD∽△CED，
∴＝＝，
∵AF＝AD，
∴GF＝GD，
∴＝2•＝．
（3）解：设∠ABC＝∠ACB＝∠ACF＝α，
在Rt△FAP中和Rt△FCE中，∠FAP＝∠FCE＝2α，
∴tan∠FAP＝tan∠FCE，
∴＝，
∵AD＝AF，
∴．
则我们求出的值即可．
方法一：如图，过点F作FM∥BC交CA的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠ACF＝∠M，
∴CF＝MF，
同理AM＝AF＝AD，
∴．
∴．
方法二：如图，过点E作EN∥AC交FC延长线于点N，
同方法一CE＝CN，
∴，
由（2）②得，
∴＝，
∴．
方法三：如图，过D作DE'⊥CF于点E'，
根据角平分线性质可得DE＝DE'，
△CED和△CDF可以看作等高三角形，同时也是等高三角形，
∴＝＝＝，
∴．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/6 20:40:47；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
39
41
33
40
47
收割机编号
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
所需时间（小时）
23
19
20
22
18
成绩/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人数/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均数
众数
中位数
80
c
78
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
39
41
33
40
47
收割机编号
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
所需时间（小时）
23
19
20
22
18
成绩/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人数/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均数
众数
中位数
80
c
78
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）