2023-2024学年山东省淄博中学高二（下）第一次月考数学试卷-普通用卷 (1)

这是一份2023-2024学年山东省淄博中学高二（下）第一次月考数学试卷-普通用卷 (1)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列{an}中，a1=3，an=an−1+2(n>1)，则a5的值( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=( )
A. 5B. 7C. 9D. 10
3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4=4，S8=16，则S12=( )
A. 64B. 52C. 36D. 28
4.在等比数列{an}中，a3=32，S3=92，则a1=( )
A. 32或6B. 3C. 32或3D. 6
5.已知a1=2，an=n(an+1−an)，则数列{an}的通项公式是an=( )
A. nB. n+1C. 2nD. (n+1n)n
6.设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=( )
A. −1B. −eC. 1D. e
8.已知f(x)=x3−ax在(−∞,−1]上递增，则a的取值范围是( )
A. a>3B. a≥3C. a<3D. a≤3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列求导数的运算正确的是( )
A. (x3−1x)′=3x2+1x2B. (ln2)′=12
C. (xex)′=(x+1)exD. (sinx3)′=csx3
10.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a7+a8+a9>0，a7+a10<0，则下列结论正确的是( )
A. |a9|>a8B. 公差d<0
C. 当n=8时Sn最大D. 使Sn>0的n的最大值为16
11.数列{an}满足：a1=1，an+1−3an−1=0，n∈N*，下列说法正确的是( )
A. 数列{an+12}为等比数列B. an=12×3n−12
C. 数列{an}是递减数列D. {an}的前n项和Sn=14×3n+1−54
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列{an}满足an+1=11−an，a1=12，则a2024=______.
13.若直线y=3x+b与曲线y=ln2x+x−1相切，则b=______.
14.毕达哥拉斯学派是由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1，5，12，22，…，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为______，若这些数构成一个数列，记为数列{an}，则a1+a22+a33+⋅⋅⋅+a2121=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f(x)=2x3+ax2+bx+1的导函数为f′(x)，若函数f′(x)的图象关于直线x=−1对称，且f′(1)=0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，在①an+1=2Sn+3(n∈N*)；②Sn=32(3n−1)(n∈N*)；③13a1+132a2+133a3+⋯+13nan=n(n∈N*)，这三个条件中任选一个，解答下列问题．
(1)求出数列{an}的通项公式；
(2)若设bn=lg3a2n−1，数列{1bnbn+1}的前n项和为Tn，证明：Tn<12.
17.(本小题15分)
已知公差不为零的等差数列{an}的前9项和S9=45，且a2，a4，a8成等比数列．
(1)若数列{bn}满足b1=a1，2bn+1=2bn+an，求数列{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn=an⋅(12)n−1，求数列{cn}的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=3Sn+2n+5(n∈N*).
(1)证明：{an+1}是等比数列；并求出数列{an}的通项公式.
(2)令f(x)=a1x+a2x2+⋯+anxn，求函数f(x)在x=1处的导数f′(1).
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx.
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：数列{an}中，a1=3，an=an−1+2(n>1)，
可得数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
则a5=3+4×2=11.
故选：C.
由等差数列的定义和通项公式，计算可得所求值．
本题考查等差数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，
∴3a3=3，
∴a3=1，
∴S5=5(a1+a5)2=5a3=5.
故选：A.
由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4=4，S8=16，
∵由等比数列的性质得：S4，S8−S4，S12−S8成等比数列，
∴(S8−S4)2=S4(S12−S8)，
即(16−4)2=4(S12−16)，
解得S12=52.
故选：B.
由等比数列的性质得：S4，S8−S4，S12−S8成等比数列，由此能求出S12的值．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由a3=32，S3=92，得：
a1q2=32a1−32q1−q=92
得a1=32或6.
故选：A.
将a3=32，S3=92建立关于a1，q的方程组求解，解方程组即可求出结果
本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，熟练掌握公式，同时要注意运算的正确性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由an=n(an+1−an)，得(n+1)an=nan+1，
即an+1an=n+1n，
则anan−1=nn−1，an−1an−2=n−1n−2，an−2an−3=n−2n−3，…，a2a1=21，
由累乘法可得ana1=n，因为a1=2，所以an=2n，
故选：C.
根据题意可得an+1an=n+1n，再利用累乘法计算可得．
本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，
即有导数小于0，可排除C，D；
再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，
函数f(x)递减，再递增，后递减，
即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，
可排除A；
则B正确．
故选：B.
由f(x)的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项即可判断．
本题考查导数的概念和应用，考查函数的单调性与其导数符号的关系，以及数形结合的思想方法，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f(x)进行正确求导，把f′(1)看成一个常数，就比较简单了．
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，利用求导公式对f(x)进行求导，再把x=1代入，即可求解；
【解答】
解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，(x>0)，
∴f′(x)=2f′(1)+1x，把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1，
解得f′(1)=−1，
故选A.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道基础题．
先求出函数的导数，分离出a，从而求出a的范围．
【解答】
解：f′(x)=3x2−a，
若f(x)=x3−ax在(−∞,−1]上递增，
则f′(x)=3x2−a≥0在(−∞,−1]上恒成立，
即：a≤(3x2)min=3，
故选：D.
9.【答案】AC
【解析】解：(x3−1x)′=3x2+1x2，A正确；
(ln2)′=0，B错误；
(xex)=ex+xex=(x+1)ex，C正确；
(sinx3)′=13csx3，D错误．
故选：AC.
由已知结合函数的求导公式及复合函数的求导法则检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的求导公式及复合函数的求导法则，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据等差数列的性质知，a7+a8+a9=3a8>0，a8>0，
又a7+a10=a8+a9<0，所以a9<0，所以d=a9−a8<0，B项正确；
又a8+a9<0，所以a8<−a9=|a9|，A项正确；
根据，a8>0，a9<0，d<0，可知，等差数列前8项均为正数，从第9项起为负数，所以当n=8时Sn最大，C项正确；
S15=a1+a152×15=15a8>0，S16=a1+a162×15=a8+a92×15<0，所以使Sn>0的n的最大值为15.
故选：ABC.
根据等差数列的性质得出a8>0，a9<0，逐项判断即可．
本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查等比数列的判定，考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算求解能力等核心素养．
推导出an+1+12=3(an+12)，a1+12=32，从而数列{an+12}为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的通项公式和求和公式能求出结果．
【解答】
解：∵数列{an}满足：a1=1，an+1−3an−1=0，n∈N*，
∴an+1=3an+1，∴an+1+12=3(an+12)，
∵a1+12=32，
∴数列{an+12}为首项为32，公比为3的等比数列，故A正确；
an+12=32×3n−1=12×3n，
∴an=12×3n−12，故B正确；
数列{an}是递增数列，故C错误；
数列{an+12}的前n项和为：
Sn′=32(1−3n)1−3=34(3n−1)=14×3n+1−34，
∴{an}的前n项和Sn=Sn′−12n=14×3n+1−12n−34，故D错误．
故选：AB.
12.【答案】2
【解析】解：由题意知，a2=11−a1=2,a3=11−a2=−1,a4=11−a3=12，
所以数列{an}是周期为3的数列，
所以a2024=a674×3+2=a2=2.
故答案为：2.
由题意求出a2，a3，a4，则数列{an}是周期为3的数列，即可求解．
本题考查数列中的项，求得数列的周期性是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】−2
【解析】解：由y=ln2x+x−1求导得y′=1x+1，设切点为(x0,ln2x0+x0−1)，
则切线的斜率为1x0+1=3，解得x0=12，则切点坐标为(12,−12)，
将(12,−12)代入直线y=3x+b，得−12=32+b，解得b=−2，
所以b=−2.
故答案为：−2
求出函数y=ln2x+x−1的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义列式计算即得．
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】92 336
【解析】解：根据题意，记第n个图形的点数为an，
由题意知a1=1，a2−a1=4=1+3×1，a3−a2=1+3×2，a4−a3=1+3×3，…，an−an−1=1+3(n−1)，
累加得an−a1=4+7+⋅⋅⋅+[1+3(n−1)]=n2(3n−1)，即an=n2(3n−1)，
所以a8=92.
又ann=3n−12，
所以a1+a22+a33+⋅⋅⋅+a2121=12(2+5+8+⋅⋅⋅+62)=12×2+622×21=336.
故答案为：92，336.
根据题意，记第n个图形的点数为an，分析图形的特点可得an−an−1=1+3(n−1)，由此分析可得{an}的通项，将n=8代入可得第一空答案，又ann=3n−12，由等差数列的求和公式计算可得答案．
本题考查数列的应用以及等差数列的求和，涉及归纳推理的应用，属于基础题．
15.【答案】解：(1)f′(x)=6x2+2ax+b，
由题意得−a6=−16+2a+b=0，
解得a=6，b=−18；
(2)由(1)得f′(x)=6x2+12x−18=6(x+3)(x−1)，
当x>1或x<−3时，f′(x)>0，当−3故函数的单调递增区间为(1,+∞)，(−∞,−3)，单调递减区间为(−3,1).
【解析】(1)先对函数求导，结合二次函数的对称性及已知f′(1)=0可求a，b；
(2)结合导数与单调性关系即可求解函数的单调区间．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)若选条件①，当n≥2时，an+1=2Sn+3(n∈N*)①，an=2Sn−1+3(n∈N*)②，
则由①-②得an+1−an=2an即an+1=3an(n≥2)，
所以数列{an}为从第2项开始的等比数列，且公比为3.
又a1=3，当n=1时，a2=2a1+3=9，符合an+1=3an，
所以数列{an}的通项公式为an=3n.
若选条件②，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=32(3n−1)−32(3n−1−1)=32(3n−3n−1)=3n.
当n=1时也成立，所以数列{an}的通项公式为an=3n.
若选条件③，
当n≥2时，32(3n−1)(n∈N*)；③13a1+132a2+133a3+⋯+13nan=n(n∈N*)①，
13a1+132a2+133a3+…+13n−1an−1=n−1②，
①-②得13nan=n−(n−1)=1，即an=3n(n≥2).
当n=1时也成立，所以数列{an}的通项公式为an=3n.
(2)证明：由(1)知，bn=lg3a2n−1=lg332n−1=2n−1，
于是可得：1bnbn+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=12(1−13)+12(13−15)+…+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12.
【解析】(1)利用an=Sn−Sn−1(n≥2)求得an的递推关系，求出an=3n(n≥2)，验证当n=1时是否符合通项公式即可求解；
(2)由(1)知bn=lg3a2n−1=lg332n−1=2n−1，可得1bnbn+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，再利用裂项相消法求出Tn，最后由放缩法得出证明．
本题考查等比数列、裂项相消法求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
17.【答案】解(1)由公差为d且不为零的等差数列{an}的首项为a1，前9项和S9=45，
所以：9a1+9×82d=45，
整理得：a1+4d=5，
且a2，a4，a8成等比数列．
得：(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)
化简得d=a1，
所以 a1=1，d=1.
因此数列的通项公式an=n.
数列{bn}满足b1=a1，2bn+1=2bn+an，
所以：bn+1−bn=n2，
所以：bn−bn−1=n−12，
…，
b2−b1=12，
所以：bn=n2−n+44.
(2)数列{cn}满足cn=an⋅(12)n−1，
由题意cn=an⋅(12)n−1=n⋅(12)n−1.
则Tn=1+2⋅12+3⋅(12)2+⋯+n⋅(12)n−1①，
12Tn=12+2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+n⋅(12)n②，
①-②整理得：Tn=4−(n−2)⋅(12)n−1.
【解析】(1)首相利用已知条件求出等差数列{an}的通项公式，进一步利用叠加法求出数列{bn}的通项公式；
(2)利用(1)的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
18.【答案】解：(1)证明：Sn+1=3Sn+2n+5(n∈N*)，
当n≥2时，Sn=3Sn−1+2(n−1)+5，
两式相减得，n≥2时，an+1=3an+2，
当n=1时，S2=a1+a2=3a1+7，
又a1=5，
知a2=17=3a1+2，所以an+1=3an+2(n∈N*)，
此时an+1+1=3(an+1)，且a1+1=6≠0，所以an+1+1an+1=3，
故{an+1}是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以an+1=6⋅3n−1=2⋅3n，即an=2⋅3n−1；
(2)由题意有f′(1)=a1+2a2+3a3+⋯+nan，
由(1)有an=2⋅3n−1，
所以f′(1)=2(1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n)−(1+2+3+⋯+n)=2(1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n)−n(1+n)2，
令Sn=1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n
3Sn=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n⋅3n+1
所以−2Sn=3+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1=(1−2n)3n+1−32
即Sn=(2n−1)3n+1+34，
所以f′(1)=(2n−1)3n+1−n2−n+32(n∈N*).
【解析】(1)根据已知条件，结合Sn的解析式，推得an+1=3an+2，再结合构造数列法，即可求解；
(2)结合(1)的结论，以及错位相减法，即可求解．
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于难题．
19.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=2x2−4x+lnx，x>0，
则f′(x)=4x−4+1x，
所以f′(1)=1，又f(1)=2−4=−2，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=x−1，即x−y−3=0；
(2)f′(x)=2ax2−(a+2)x+1x=(ax−1)(2x−1)x(x>0)，
当a≤0，令f′(x)=0得x=12，由f′(x)>0得012，
所以f(x)的单调递增区间为(0,12)，单调递减区间为(12,+∞)，
当a>0，令f′(x)=0得x1=1a,x2=12，
当00得01a，由f′(x)<0得12所以f(x)的单调递增区间为(0,12)和(1a,+∞)，单调递减区间为(12,1a)；
当a=2时，f′(x)=(2x−1)2x≥0，所以f(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间；
当a>2时，由f′(x)>0得012，由f′(x)<0得1a所以f(x)的单调增区间为(0,1a)和(12,+∞)，单调递减区间为(1a,12)，
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0,12)，单调递减区间为(12,+∞)；
当0当a=2时，f(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间；
当a>2时，f(x)的单调增区间为(0,1a)和(12,+∞)，单调递减区间为(1a,12).
【解析】(1)求出导函数，利用导数的几何意义即可求解；
(2)求出导函数，分情况求解不等式f′(x)>0和f′(x)<0即可得解．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．