2023-2024学年安徽省六安市新安中学高一（下）第一次月考数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年安徽省六安市新安中学高一（下）第一次月考数学试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设e为单位向量，|a|=2，当a,e的夹角为π6时，a在e上的投影向量为( )
A. 3eB. eC. 12eD. 32e
2.设集合A={1,a2,−2}，B={2,4}，则“A∩B={4}”是“a=2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.cs(π12−θ)=13，则sin(2π3−2θ)=( )
A. 29B. −29C. −79D. 79
4.已知平面向量a,b满足a=(1,2),|b−2a|=4且(b−2a)⊥a，则|b|=( )
A. 5B. 5C. 6D. 6
5.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=( )
A. 23BA+16BC
B. 13BA+13BC
C. 23BA+13BC
D. 13BA+16BC
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+2)=f(−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=lg2(x+1)，则函数y=f(x)−x3的零点个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.已知关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为(−∞,m)∪(4m,+∞)，其中m<0，则ba+4b的最小值为( )
A. −4B. 4C. 5D. 8
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示，则函数f(x)=( )
A. f(x)=sin(2x+π6)
B. f(x)=2sin(2x+π3)
C. f(x)=sin(2x+π3)
D. f(x)=2sin(2x+π6)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 向量a在向量b上的投影向量可表示为a⋅b|b|⋅b|b|
B. 若a⋅b<0，则a与b的夹角θ的范围是(π2,π]
C. 若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则AB，BC的夹角为45∘
D. 若a⋅b=0，则a⊥b
10.下列结论正确的是( )
A. −7π6是第三象限角
B. 若角α为锐角，则角2α为钝角
C. 若圆心角为π3的扇形弧长为π，则该扇形面积为3π2
D. 若角α的终边过点P(−3,4)，则csα=−35
11.下列命题中错误的是( )
A. 已知a,b为平面内两个不共线的向量，则{a+b,−a+3b}可作为平面的一组基底
B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D. 若a//b，则存在唯一实数λ使得a=λb
12.已知函数f(x)= 1+csx+ 1−csx，下列说法正确的有( )
A. 函数f(x)是偶函数
B. 函数f(x)的最小正周期为2π
C. 函数f(x)的值域为(1,2]
D. 函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，a=7，c=5，则sinA：sinC的值是______.
14.已知向量a=(−2,λ+6)，b=(1,λ)，若a//b，则|b|=______.
15.已知单位向量a，b满足(2a−b)⊥b，则a与b的夹角为______.
16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0.若f(2x−1)+f(3)<0，则x的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A=2π3.
(1)若B=C，a=2 3，求c；
(2)若△ABC的面积为2 3，c=2，求a.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs(π−x)cs(π2+x)+sin(−x)sin(3π2+x)2cs(2π−x)cs(π+x).
(Ⅰ)化简f(x)；
(Ⅱ)若f(α)=−3，求tan(α+π4)的值．
19.(本小题12分)
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC= 3,∠BAC=30∘，F是线段AC上的动点(异于端点)，BC=3BE.
(1)若F是AC边的中点，求AE⋅BF的值；
(2)当AE⋅BF=−7+ 34时，请确定点F的位置.
20.(本小题12分)
已知向量a=(2,4),b=(m,1),c=(1,2)，且(a−2b)⊥c.
(1)求m的值；
(2)求向量a−b与2b−3c的夹角的余弦值.
21.(本小题12分)
已知向量a=(csx+sinx, 3csx)，b=(csx−sinx,−2sinx)，记函数f(x)=a⋅b.
(Ⅰ)求函数f(x)在[0,π2]上的取值范围；
(Ⅱ)若g(x)=f(x+t)为偶函数，求|t|的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)+2sin2(ωx+φ2)−1(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2.
(1)求f(x)的解析式与单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，当x∈[0,π2]时，求方程2g2(x)+ 3g(x)−3=0的所有根的和．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：e为单位向量，|a|=2，当a,e的夹角为π6时，
所以a在e上的投影向量为a⋅e|e|⋅e=|a|csπ6⋅e= 3e.
故选：A.
根据题意，结合向量投影的概念与计算，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：A∩B={4}，则4∈A，a2=4，a=2或a=−2，充分性不满足，
a=2时，A={1,4,−2}，因此有A∩B={4}，必要性也满足，因此是必要不充分条件．
故选：B.
根据充分必要条件的定义判断．
本题主要考查充分必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵cs(π12−θ)=13，
∴sin(2π3−2θ)=sin[2(π3−θ)]=sin[2(π4+π12−θ)]
=sin[π2+2(π12−θ)]=cs[2(π12−θ)]=2cs2(π12−θ)−1=2×19−1=−79.
故选：C.
先得到π3−θ=π4+(π12−θ)，再利用诱导公式，二倍角公式即可求解．
本题主要考查诱导公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：∵a=(1,2)，
∴|a|= 5，
∵|b−2a|=4，即(b−2a)2=b2−4a⋅b+4a2=16，
又(b−2a)⊥a，则(b−2a)⋅a=0，即a⋅b=10，
∴|b|2−40+20=16，解得|b|=6.
故选：D.
利用平面向量数量积的性质和坐标运算，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的性质和坐标运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD=AB+BD，BD=12BC，
∴BE=23BA+16BC，
故选：A.
利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论．
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数的对称性和周期性，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．
由题意可得函数y=f(x)−x3的零点个数，即为方程f(x)−x3=0的根的个数，即为函数y=f(x)与y=x3的交点个数，由已知可得f(x)关于x=1对称，周期为4，画出函数f(x)的大致图像，根据图象即可求出结果．
【解答】
解：∵f(x+2)=f(−x)，∴f(1+x)=f(1−x)，
∴f(x)关于x=1对称，
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(x+2)=f(−x)=−f(x)=−f[−(x−2)]=f(x−2)，
∴f(x)的周期为4，
函数y=f(x)−x3的零点个数，即为方程f(x)−x3=0的根的个数，即为函数y=f(x)与y=x3的交点个数，
根据f(x)的性质可得如图所示图象，结合y=x3的图象，
由图可得共有3个交点，
∴函数y=f(x)−x3的零点个数是3个，
故选：B.
7.【答案】C
【解析】解：ax2+bx+4>0的解集为(−∞,m)∪(4m,+∞)，
则a>0，且m，am是方程ax2+bx+4=0的两根，
根据韦达定理m⋅4m=4a，∴a=1，
m+4m=−ba=−b，b=−(m+4m)≥4，
∴ba+4b=b+4b≥4+44=5，
故答案为：C.
先根据答案在两根之外判定开口向上，即a>0，再根据韦达定理求出a=1，把b表示成m的函数，求出b的取值范围，最后求出ba+4b的最小值即可．
本题考查了一元二次不等式与一元二次函数根关系，中档易错题．
8.【答案】D
【解析】解：由图知，T=π，则ω=2ππ=2.
由图知，f(x)在x=π6取得最大值，且图象经过(−π12,0)，
故f(−π12)=Asin(−π6+φ)=0，
所以−π6+φ=2kπ,k∈Z，故φ=π6+2kπ,k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，
函数又经过(0,1)，故f(0)=Asinπ6=1，得A=2.
所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin(2x+π6).
故选：D.
通过三个连续零点的值可以求出函数f(x)的周期，根据最小正周期公式可以求出ω的值，将特殊点代入解析式中，可以求出φ，A的值，进而确定函数解析式．
本题主要考查函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：A.根据投影向量的定义可知，向量a在向量b上的投影向量可表示为a⋅b|b|⋅b|b|，故A正确；
B.根据a⋅b<0，可知|a|⋅|b|cs<0，故cs<0，所以a与b的夹角θ的范围是(π2,π],故B正确；
C.△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，由向量夹角的定义可知，AB，BC的夹角为135∘，故C错误；
D.若a⋅b=0，则b=0或a⊥b或a=0，其中零向量与其它向量一定垂直，故D正确．
故选：ABD.
根据向量数量积的定义，投影向量的定义，以及向量夹角的定义，即可判断选项．
本题考查了数量积运算性质、向量的夹角计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：−7π6=−π−π6，是第二象限角，故A错误；
角α=π6为锐角，角2α=π3为锐角，故B错误；
圆心角为π3的扇形弧长为π，设半径为r，则π3⋅r=π，即r=3，
可得该扇形面积为12⋅π⋅3=3π2，故C正确；
若角α的终边过点P(−3,4)，则|OP|= (−3)2+42=5，得csα=−35，故D正确．
故选：CD.
由象限角的概念判断A；举例说明B错误；由扇形弧长与面积公式判断C；由任意角的三角函数的定义判断D.
本题考查任意角的三角函数的定义，考查扇形弧长与面积公式的应用，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为a,b为平面内两个不共线的向量，
设a+b=k(−a+3b)=−ka+3kb，k∈R，
则−k=13k=1，该方程组无解，
所以a+b,−a+3b不共线，
所以{a+b,−a+3b}可作为平面的一组基底，即A正确；
对于B，根据共线向量的定义知，方向相反的向量一定是共线向量，即B错误；
对于C，根据向量的定义知，向量不能比较大小，即C错误；
对于D，当a=b=0时，满足a//b，
此时任意实数λ使得a=λb，即D错误．
故选：BCD.
根据共线向量定理及基底的概念可判断A；根据向量的定义及向量共线的定义可判断B，C，D.
本题考查平面向量的基本定理，理解基底的含义与性质，共线向量基本定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的周期性、对称性、奇偶性以及值域的求解，涉及了三角函数图象与性质的应用，属于中档题．
先将函数f(x)的解析式进行化简变形，利用偶函数的定义，即可判断选项A；利用三角函数的周期性，即可判断选项B；利用正弦函数的有界性，即可判断选项C；由周期性以及正弦函数的对称性，求出对称轴方程，即可判断选项D.
【解答】
解：函数f(x)= 1+csx+ 1−csx，
所以f(x)≥0，
则[f(x)]2=1+csx+1−csx+2 (1+csx)(1−csx)=2+2|sinx|>0，
所以f(x)= 2+2|sinx|，
对于A，因为f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(−x)= 2+2|sin(−x)|= 2+2|sinx|=f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，故选项A正确；
对于B，因为函数y=|sinx|的最小正周期为π，
所以函数f(x)= 2+2|sinx|的最小正周期为π，故选项B错误；
对于C，因为−1≤sinx≤1，则0≤|sinx|≤1，
所以2≤2+2|sinx|≤4，故 2≤ 2+2|sinx|≤2，
所以函数f(x)的值域为[ 2,2]，故选项C错误；
对于D，因为函数f(x)的最小值正周期为π，
又函数f(x)的对称轴方程为x=kπ2,k∈Z，
故函数f(x)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2，故选项D正确．
故答案选：AD.
13.【答案】75
【解析】解：由正弦定理得sinA：sinC=a：c=7：5.
故答案为：75.
由题意根据正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14.【答案】 5
【解析】解：∵a=(−2,λ+6)，b=(1,λ)，且a//b，
∴−2λ−(λ+6)=0，解得λ=−2，
∴b=(1,−2)，∴|b|= 12+(−2)2= 5.
故答案为： 5.
根据向量平行的性质列式计算λ，再根据向量的模长公式计算|b|.
本题主要考查平面向量平行的性质，以及向量模公式，属于基础题．
15.【答案】π3
【解析】解：因为a，b为单位向量，
所以|a|=|b|=1，
又(2a−b)⊥b，所以(2a−b)⋅b=2a⋅b−b2=0，
所以a⋅b=b22=12，
所以cs⟨a,b⟩=a⋅b|a|⋅|b|=12，又0≤⟨a,b⟩≤π，所以⟨a,b⟩=π3，
即a与b的夹角为π3.
故答案为：π3.
根据(2a−b)⊥b得到(2a−b)⋅b=0，由数量积的运算求出a⋅b，再由夹角公式计算可得．
本题主要考查了向量数量积定义的应用，属于基础题．
16.【答案】(−1,+∞)
【解析】解：当x1≠x2时，不妨设x10，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上是减函数，
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以−f(3)=f(−3)，
故f(2x−1)+f(3)<0等价于f(2x−1)<−f(3)=f(−3)，
所以2x−1>−3，解得x>−1.
故答案为：(−1,+∞).
先判断函数f(x)的单调性，根据奇偶性化简题目所给不等式，利用函数的单调性求得x的取值范围．
本题主要考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为A=2π3，B=C，所以B=C=π6，
由正弦定理asinA=csinC，可得c=2；
(2)因为△ABC的面积为2 3，
所以12bcsinA=2 3，因为A=2π3，c=2，
所以 32b=2 3，解得b=4，
由余弦定理可得a2=16+4−2×4×2cs2π3=28，即a=2 7.
【解析】(1)先求出角C，结合正弦定理可得答案；(2)先利用面积求出b，结合余弦定理可得答案
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
18.【答案】解：(I)f(x)=2cs(π−x)cs(π2+x)+sin(−x)sin(3π2+x)2cs(2π−x)cs(π+x).
=−2csx(−sinx)−sinx(−csx)2csx(−csx)，
=2sinxcsx+sinxcsx−2cs2x，
=3sinx−2csx，
=−32tanx，
(II)因为f(α)=−32tanα=−3，
∴tanα=2，
tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−3
【解析】(I)由已知结合诱导公式进行化简即可；
(II)由已知结合两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，和差角公式在三角求值中的应用，属于基础试题．
19.【答案】解：(1)因为BC=3BE，所以AE=23AB+13AC，
由于F是AC边的中点，因此BF=BA+12AC，
因此AE⋅BF=(23AB+13AC)⋅(−AB+12AC)=−23|AB|2+16|AC|2=−32；
(2)因为F是线段AC上的动点(异于端点)，
所以可设AF=λAC,λ∈(0,1)，因此BF=−AB+λAC，
因为AB=AC= 3,∠BAC=30∘，AB⋅AC=|AB||AC|cs∠BAC= 3× 3× 32=3 32，
所以AE⋅BF=(23AB+13AC)⋅(−AB+λAC)=−23|AB|2+λ3|AC|2+2λ−13AB⋅AC
=−2+λ+(2λ−1)⋅ 32=( 3+1)λ−2− 32=−7+ 34，解出λ=14，
故F是线段AC靠近A处的四等分点．
【解析】(1)由平面向量的线性运算将AE,BF用AB,AC表示出来，再由平面向量的数量积运算计算即可；
(2)设AF=λAC,λ∈(0,1)，由将BF用AB,AC表示出来，再由平面向量的数量积运算建立方程，求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)(a−2b)⊥c，a−2b=(2,4)−2(m,1)=(2−2m,2)，
所以(a−2b)⋅c=2−2m+2×2=0，解得m=3.
故m的值为3.
(2)a−b=(2,4)−(3,1)=(−1,3),2b−3c=2(3,1)−3(1,2)=(3,−4)，
所以|a−b|= 10,|2b−3c|=5,(a−b)⋅(2b−3c)=3×(−1)+3×(−4)=−15，
所以cs⟨a−b,2b−3c⟩=(a−b)⋅(2b−3c)|a−b||2b−3c|=−15 10×5=−3 1010.
故a−b与2b−3c的夹角的余弦值为−3 1010.
【解析】(1)运用平面向量垂直的坐标公式计算即可．
(2)运用平面向量夹角公式计算即可．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=a⋅b=(csx+sinx)(csx−sinx)−2 3sinxcsx
=cs2x−sin2x− 3sin2x
=cs2x− 3sin2x=2cs(2x+π3)，
因为x∈[0,π2]，则π3≤2x+π3≤4π3，所以−1≤cs(2x+π3)≤12，
则f(x)的取值范围为[−2,1]；
(Ⅱ)若g(x)=f(x+t)=2cs(2x+2t+π3)为偶函数，
则2t+π3=kπ(k∈Z)，即t=kπ2−π6(k∈Z)，
故|t|的最小值为π6.
【解析】(Ⅰ)表示出f(x)=2cs(2x+π3)，根据x的取值范围即可求得值域；
(Ⅱ)根据g(x)为偶函数得到t=kπ2−π6(k∈Z)，进而可得|t|最小值
本题考查平面向量的坐标运算性质，考查三角函数求值域，偶函数性质等，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意，f(x)= 3sin(ωx+φ)+2sin2(ωx+φ2)−1= 3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6)；
∵函数图象的相邻两对称轴间的距离为π2，
∴f(x)的最小正周期为T=π，即可得ω=2，
又f(x)为奇函数，
又0<φ<π，
∴φ=π6，
故f(x)=2sin2x，
令π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z，
整理得：π4+kπ≤x≤3π4+kπ，k∈Z；
∴函数f(x)的递减区间为[π4+kπ,3π4+kπ]，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y=2sin(2x−π3)的图象，
再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y=g(x)=2sin(4x−π3)的图象，
又2g2(x)+ 3g(x)−3=0，
则g(x)=− 3或g(x)= 32，
即sin(4x−π3)=− 32或sin(4x−π3)= 34.
令z=4x−π3，当x∈[0,π2]时，z=4x−π3∈[−π3,5π3]，
画出y=sinz的图象如图所示：
sinz= 34有两个根z1，z2，关于z=π2对称，
即z1+z2=π，sinz=− 32，
有z3=−π3，z4=4π3，z5=5π3，sin(4x−π3)= 34在[0,π2]上有两个不同的根x1，x2，
4x1−π3+4x2−π3=π，
∴x1+x2=5π12；
又sin(4x−π3)=− 32的根为0，5π12，π2，
所以方程2g2(x)+ 3g(x)−3=0在x∈[0,π2]内所有根的和为4π3.
【解析】(1)首先利用三角函数关系式的变换把函数的关系式变形成正弦型函数f(x)=2sin(ωx+φ−π6)，进一步利用函数的周期性求出函数的解析式，进一步利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间；
(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用及三角函数的方程的应用求出所有的根，进一步求出所有根的和．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．