人教版七年级数学上册专题08角度中的动态模型(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学上册专题08角度中的动态模型(原卷版+解析)，共62页。
【知识储备】
1、角度旋转模型解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
2、常见的三角板旋转模型：
三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
模型1、旋转中的求值模型
例1．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图1，已知绕点在的内部转动，平分，平分．
(1)如图2，当与重合时，求的度数；(2)请判断的大小是否随的位置的变化发生改变？并说明理由；：(3)当时，求的度数．

例2．（2023·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持．
(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____；
(2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分；
(3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数．
模型2、旋转中的定值模型
例1．（2022·四川成都·七年级期末）已知，如图1，，分别为定角（大小不会发生改变）内部的两条动射线，，．
（1）求的度数；（2）如图2，射线分别为的平分线，当绕着点O旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的度数；（3）如图3，是外部的两条射线，且，平分，平分．当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由．
例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．

(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；
(3)如图④，当______时，恰好平分；
(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
模型3、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）
例1．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，在内部存在，平分，平分．(1)当在的内部，与不重合时．①如图1若，求的角度．②如图2，若，画出图形并探究与的数量关系．
(2)如图3，若旋转到的外部，平分，平分，则______
例2．（2023·上海·七年级专题练习）（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线．当点P在斜边AB上移动时，∠DCE＝ °；
（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上：
①点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝ ；
②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ；③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ．
模型4、旋转中的分类讨论模型
例1．（2023·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数；
(3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值．
例2．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数．
（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°．
（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）
课后专项训练
1．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有____________个“二倍点”．（2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____________条“二倍线”．
（3）如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”．

（4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒5°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值．（5）在（4）的条件下，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒10°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，同时射线也停止旋转．请直接写出当射线是的“二倍线”时的值．
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．

(1)若，求的度数；(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，并说明理由；②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
3．（2022·湖北武汉·七年级统考期末）已知150°．（1）如图1，若60°，为内部的一条射线，，平分，求的度数．（2）如图2，若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值．（3）如图3，为射线的反向延长线上一点，将射线绕点顺时针以的速度旋转，旋转后OB对应射线为，旋转时间为秒（），平分，为的三等分线，且，若，则的值为_______（直接填写答案）．
4．（2022•江北区期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．
（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
5．（2022•洪山区期末）将一副直角三角板ABC，ADE，按如图1叠加放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如图1，点F在直线AC上，且位于点A的左侧，求∠FAD的度数；
（2）将三角板ADE从图1位置开始绕A点顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．
①当三角板ADE旋转至如图2的位置时，求∠MAN的度数．
②若三角板ADE的旋转速度为每秒5°，且转动到∠DAC＝180°时停止，运动时间记为t（单位：秒），试根据不同的t的值，求∠MAN的大小（直接写出结论）．
6．（2022•绵阳七年级期中）如图1，摆放一个三角形纸板ODE，边OD在正东方向的射线上，点A，B分别在正西，正东方向上，∠COF＝30°，现将三角形纸板ODE从图1位置开始绕点O以每秒5度的速度逆时针方向匀速旋转，设旋转的时间为t秒，在旋转一周的过程中．
（1）当t＝5时，求∠AOD的度数，并写出点D的方向角；
（2）如图2，当三角形纸板ODE旋转至△OD1E1时，边OE1恰好落在射线OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并写出点F的方向角；
（3）当旋转至△OD2E2时，OE2所在直线平分∠AOC，求t的值．
7．（2022•镇海区七年级期中）新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】（1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 ；
【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．
8．（2022·湖北武汉·七年级期末）【学习概念】 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
【理解运用】（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
【拓展提升】 （2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．
9．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则_________；若，则______；
②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．
10．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
11．（2022·陕西·西安七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
12．（2022成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值； （3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
13．（2022·江西莲花县·七年级期末）乐乐对几何中角平分线的兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知°，射线分别是和的平分线；
（1）如图1，若射线在的内部，且，求的度数；
（2）如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为；
（3）若射线在的外部绕点旋转(旋转中，均指小于的角)，其余条件不变，请借助图3探究的大小，请直接写出的度数(不写探究过程)
14．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．
(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则______°
(2)如图②，若，，则______°
(3)如图③，在∠AOB内，若，则______°
(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（，），求此时∠MON的度数．
15．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，射线OC在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是的“倍分线”．
(1)如图，若，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且．
①当秒时，OC______的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是的“倍分线”，求t的值；
(2)如图，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转，且，两条射线相交于点C．CD、CE分别是的高和角平线，是否存在CE是的“倍分线”的情况？若存在，请求出与应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．

16．（2022·贵州铜仁·七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含，，和，，的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器刻度线重合，边AP与量角器刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，当边PB与刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．
(1)当时，__________；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．①当t为何值时，边PB平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
17．（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，直线与相交于点O，将一直用三角尺AOB的直角顶点与点O重合．(1)如图1，若°，试说明；
(2)小学时我们学习过，把一个图形绕着一个固定的点旋转某一角度，这个图形的形状和大小都不会发生改变．如图2，若°，OB平分，将三角尺AOB以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为秒．如果，0≤≤42，当为何值时，直线EF平分？
18．（2022·四川成都·七年级期末）点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
19．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）探索新知：
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
(1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；
深入研究：如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒．
(3)当t为何值时，射线是的“巧分线”；(4)若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时t的值．
20．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD＝∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
(1)如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝________．
(2)如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
(3)已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
专题08 角度中的动态模型
角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。
【知识储备】
1、角度旋转模型解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
2、常见的三角板旋转模型：
三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
模型1、旋转中的求值模型
例1．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图1，已知绕点在的内部转动，平分，平分．

(1)如图2，当与重合时，求的度数；
(2)请判断的大小是否随的位置的变化发生改变？并说明理由；：
(3)当时，求的度数．
【答案】(1)(2)不会随的运动而改变大小，理由见解析(3)的度数为或
【分析】（1）如图所示，，与重合，，平分，可求出，根据角平分线的性质可求出的度数，由此即可求解；
（2）根据角平分线的性质分别求出的度数，根据即可求解；（3）根据题意分别求出与的关系，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，，与OA重合，，平分，

，平分，，
∵平分，，
．
（2）解：不会随的运动而改变大小，理由如下：平分，
，
平分，，
，
不会随的运动而改变大小．
（3）解：∵，
由（2）可知，，，
或，
，或，
解得或，
或，
∴的度数为或．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的和差倍分的关系，理解图示，掌握角的和差倍分的计算，角平分线的性质是解题的关键．
例2．（2023·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持．
(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____；
(2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分；
(3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）根据计算；（2）计算的度数，得到，得出结论；（3）设，表示出，根据，求出，得出答案；
(1)解：点在同一直线上，，
，故答案为：；
(2)如图3，
， ，
∵，，∴，
∵，，∴，∴平分；
(3)如图4，设，则，∵，
∴，
∵，∴，解得，∴．
【点睛】本题考查角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键是结合图形准确表示角的和差．
模型2、旋转中的定值模型
例1．（2022·四川成都·七年级期末）已知，如图1，，分别为定角（大小不会发生改变）内部的两条动射线，，．
（1）求的度数；（2）如图2，射线分别为的平分线，当绕着点O旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的度数；（3）如图3，是外部的两条射线，且，平分，平分．当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）的大小不变为．
【分析】（1）由，可得，从而可求解 从而可得的大小；（2）由射线，分别为，的平分线，求解，从而可得的度数为；（3）先求解，再证明，结合角平分线性质求解，从而可得．
【详解】解：（1）∵，∴
∵，∴∴
（2）∵射线，分别为，的平分线，∴，
∴
∴∴的度数为．
（3）的大小不变为．理由如下：
∵，，∴，
，
∵∴
∵平分，平分∴
∴
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，角的和差运算，掌握以上知识是解题的关键．
例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．

(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；
(3)如图④，当______时，恰好平分；
(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不变，，理由见解析；
【分析】（1）如图，由题意可得：，而，，
再证明，而，再建立方程求解即可；（2）如图，证明，，再建立方程求解即可；（3）如图，证明，，同理：，而，可得，从而可得答案；
（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；
（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．
【详解】（1）解：如图，由题意可得：，而，∴，

∵平分，∴，而，∴，解得：；
（2）如图，∵，平分，∴，
∵，，∴，∴，解得：；
（3）如图，∵，恰好平分，∴，，
同理：，而，∴，解得：；
（4）如图，

∵，，∴，∵平分，∴，
∵，，∴，∵平分，∴，
而，
∴．
（5）如图，∵，，∴，

∵平分，∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的应用，熟练的画出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键．
模型3、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）
例1．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，在内部存在，平分，平分．(1)当在的内部，与不重合时．①如图1若，求的角度．②如图2，若，画出图形并探究与的数量关系．
(2)如图3，若旋转到的外部，平分，平分，则______
【答案】(1)①，②(2)或
【分析】（1）①根据，，平分，平分，
得到，，根据计算即可．②根据题意，得,
，整理求和计算即可．（2）画图分类计算即可．
【详解】（1）∵，，平分，平分，
∴，，
∴．
②与的数量关系是．
根据题意，得，
，
∵平分，平分，∴，，
∴，，
∴，，
∴，∴．
（2）如图，平分，平分，
∴，，

∴
=，
∵，，∴．如图，平分，平分，
∴，
，
∴
==
∵，，∴．故答案为：或．
例2．（2023·上海·七年级专题练习）（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线．当点P在斜边AB上移动时，∠DCE＝ °；
（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上：
①点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝ ；
②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ；③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ．
【答案】（1）45；（2）①90°；②∠BCN﹣∠ACM＝90°；③∠ACM+∠BCN＝270°
【分析】（1）根据角平分线定义得出，，根据，计算求解即可；
（2）①根据，计算求解即可；②由题意知，，进而可得，计算求解即可；③由题意知， ，，，对计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，∵，
∴，故答案为：45．
（2）①解：由题意知，，，
∴，故答案为：90°．
②解：由题意知，，，
∴，∴，故答案为：．
③解：由题意知， ，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线定义，与三角板有关的角的和差计算．明确角之间的数量关系是解题的关键．
模型4、旋转中的分类讨论模型
例1．（2023·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数；
(3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值．
【答案】(1)是；(2)，，，；(3)或或．
【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义；
（2）根据“幸福线”的定义可得当时，当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解．
（1）解：若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”；故答案为：是．
（2）解：由题意得：
∵，射线为的“幸福线”，
∴①当时，则有：；
②当时，则有；
③当时，则有；
④当时，则有：；；
综上所述：当射线为的“幸福线”时，∠AOC的度数为，，，；
（3）解：∵，
∴射线ON与OA重合的时间为（秒），
∴当时在与重合之前，如图所示：
∴°，°，
是的“幸福线”，则有以下三类情况：
①，即，（舍去），
②，即，，
③，即，；
④，即，（舍去）；
当时，在与重合之后，如图所示：
∴°，°，
是的“幸福线”，则有以下三类情况：
①，即，（不符合题意，舍去），
②，即，（不符合题意，舍去）；
③，即，；
④，即，不存在；
综上：或或．
【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键．
例2．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数．
（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°．
（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）
【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3）或
【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．
【详解】（1）如图，由与重合，

∵，，∴．
又∵平分，平分，∴，，
∴．故答案为：150°；75°；
（2）如图，∵平分，平分，
∴
+30°+30°+30°．
∴，∴．
（3）如图，

∵平分，平分，
∴，
，
∴=+60°-=；
如图，∵OE平分，平分，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有____________个“二倍点”．（2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____________条“二倍线”．
（3）如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”．

（4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒5°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值．（5）在（4）的条件下，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒10°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，同时射线也停止旋转．请直接写出当射线是的“二倍线”时的值．
【答案】（1）3；（2）3；（3）5或10或；（4）10或15或20；（5）t的值为或或或或15
【分析】（1）找到线段AB的中点、三等分点即可判断；（2）根据角平分线的性质、三等分角的概念即可判断；（3）根据（1）问结论即可判断，即当运动10、20和30时，求出t即可；（4）根据（2）问结论列出方程即可，即当运动角50°，75°，100°时，求出t即可；（5） 此时ON共运动210°，分为六种情况讨论：、、，列出方程即可求解．
【详解】（1）当C为中点时：AB=2AC=2BC，当C为靠近B的三等分点时，AC=2BC，
当C为靠近A的三等分点时，BC=2AC；
（2）共有三种情况，当OC为角平分线时，，
当OC为三等分角平分线时，或；
（3）当C为中点时：AB=2AC=2BC，此时BM=15=2t，解得t=，
当C为靠近B的三等分点时，AC=2BC，此时BM=10=2t，解得t=，
当C为靠近A的三等分点时，BC=2AC，此时BM=20=2t，解得t=，
综上所述，t的值为5或10或；
（4）当OC为角平分线时，，此时，即，解得，
当OC为三等分角平分线时，当，此时，解得
当，此时，解得；
综上所述，t的值为10或15或20；
（5）此时ON共运动150°，ON共可运动15s，此时OM共运动150°，OM共可运动30s，
∴t的取值范围为，
当OM在∠AON外部时，如图：

OM、ON重合时，，
①∠AOM=∠AON，解得；
②∠AOM=∠AON，解得；
③∠AOM=∠AON，解得；
当OM在∠AON内部时，如图：
①∠AOM=∠AON，解得；
②∠AOM=∠AON，解得；
③∠AOM=∠AON，解得(舍去)；
综上所述，t的值为或或或或15．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的性质，线段中点的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．

(1)若，求的度数；(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，并说明理由；②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案（2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，，
，
平分，；
（2）解：①，理由如下：
根据题意可得：，，，
平分，，
，；
②画出图如图所示：
，
则，，
，
整理得：，，
，，
，，．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键．
3．（2022·湖北武汉·七年级统考期末）已知150°．（1）如图1，若60°，为内部的一条射线，，平分，求的度数．（2）如图2，若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值．（3）如图3，为射线的反向延长线上一点，将射线绕点顺时针以的速度旋转，旋转后OB对应射线为，旋转时间为秒（），平分，为的三等分线，且，若，则的值为_______（直接填写答案）．
【答案】（1）；（2）；（3）或15
【分析】（1）先根据角的和差倍分求出的度数，再根据角平分线的定义求出，然后根据角的和差即可得；（2）设，先根据角平分线的定义得出，再根据角的和差化简所求式子的分子分母即可得；（3）先依题意，找到两个临界位置：在AO的反向延长线上；与重合；然后根据角平分线的定义、角的和差倍分求解即可得．
【详解】（1）如图1，
平分，
故的度数为；

（2）设则
∴
故的值为2；
（3），旋转速度为射线OB旋转到OA即停止转动,由题意得，
平分
因
则有两个临界位置：在AO的反向延长线上，此时；与重合，此时因此，分以下三种情况分析：
①如图3-1，当时
则
解得，符合题设
②如图3-2，当时
则
解得，符合题设
③如图3-3，当时
则
解得或，均不符题设，舍去
综上，t的值为3或15 故答案为：3或15．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），依据题意，找出两个临界位置，从而分三种情况讨论是解题关键．
4．（2022•江北区期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．
（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
【解题思路】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOD的度数可得∠BOD，再根据∠DOC＝90°可得∠BOC；
（2）当分两种情况：∠AOB与∠DOC有重叠部分时和当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时．
【解答过程】解：（1）若∠AOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；
（2）∠AOC与∠BOD互补．当∠AOB与∠DOC有重叠部分时，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，
当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°．
5．（2022•洪山区期末）将一副直角三角板ABC，ADE，按如图1叠加放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如图1，点F在直线AC上，且位于点A的左侧，求∠FAD的度数；
（2）将三角板ADE从图1位置开始绕A点顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．
①当三角板ADE旋转至如图2的位置时，求∠MAN的度数．
②若三角板ADE的旋转速度为每秒5°，且转动到∠DAC＝180°时停止，运动时间记为t（单位：秒），试根据不同的t的值，求∠MAN的大小（直接写出结论）．
【解题思路】（1）先根据三角板的度数得到∠DAC的度数，再用180°﹣∠DAC即可；
（2）①由角平分线的定义可得∠MAE=12∠BAE，∠NAC=12∠CAD，再根据∠MAN＝∠MAE+NAC﹣∠CAE，整理可得∠MAN的度数；②当0＜t＜9，9＜t＜39和t＝39时，分情况讨论．
【解答过程】解：（1）∵∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝45°﹣30°＝15°，∴∠FAD＝180°﹣15°＝165°．
（2）①∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
∴∠MAE=12∠BAE，∠NAC=12∠DAC，
∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE=12（∠BAE+∠DAC）﹣∠CAE
=12（∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE=12×75°＝37.5°；
②设∠CAE＝α，Ⅰ．当0＜t＜9时，AE在∠BAC内部，

∠BAE＝45°﹣α，∠CAD＝30°﹣α，所以∠MAN=12（45°﹣α）+12（30°﹣α）+α＝37.5°；
Ⅱ．当9＜t＜39时，AE在∠BAC外部，
∠MAN＝∠NAC+∠BAC﹣∠BAM=12（30°+α）+45°−12（45°+α）＝37.5°；
Ⅲ．当t＝39时，∠DAC＝180°，
若M、N在直线DC同侧，则∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠BAM=12×165°＝82.5°，
∠CAN=12×180°＝90°，∠NAB＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝82.5°﹣45°＝37.5°；
若M、N在直线DC异侧，
则∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠EAM=12×165°＝82.5°，
∠DAN=12×180°＝90°，∠NAE＝90°﹣30°＝60°，∴∠MAN＝82.5°+60°＝142.5°；
综上所述，不论t为何值时，∠MAN的大小为37.5°或142.5°．
6．（2022•绵阳七年级期中）如图1，摆放一个三角形纸板ODE，边OD在正东方向的射线上，点A，B分别在正西，正东方向上，∠COF＝30°，现将三角形纸板ODE从图1位置开始绕点O以每秒5度的速度逆时针方向匀速旋转，设旋转的时间为t秒，在旋转一周的过程中．
（1）当t＝5时，求∠AOD的度数，并写出点D的方向角；
（2）如图2，当三角形纸板ODE旋转至△OD1E1时，边OE1恰好落在射线OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并写出点F的方向角；
（3）当旋转至△OD2E2时，OE2所在直线平分∠AOC，求t的值．
【解题思路】（1）根据∠AOD＝180°﹣∠BOD，求出∠BOD即可．
（2）如图2中，设∠BOD1＝x°．想办法构建方程求出x即可解决问题．
（3）分两种情形：当OE2线段平分∠AOC时，当线段OE2的反向延长线平分∠AOC时，分别求解即可．
【解答过程】解：（1）因为三角形纸板ODE绕点O旋转的速度为每秒5度，
所以当t＝5时，∠BOD＝25°，此时，点D在北偏东65°方向上，
又∠AOD+∠BOD＝180°，所以∠AOD＝180°﹣∠BOD，即∠AOD＝180°﹣25°＝155°．
（2）如图2中，设∠BOD1＝x°．
因为OD1平分∠BOC，所以∠BOC＝2x°，∠COD1＝x°，
因为∠COF＝30°，所以∠D1OF＝∠COD1+∠COF＝x°+30°＝（x+30）°，
又OF平分∠AOD1，即∠AOF＝∠D1OF，
因为∠AOF+∠D1OF+∠BOD1＝180°，即2∠D1OF+∠BOD1＝180°，
所以2（x+30）°+x°＝180°，化解得3x°＝120°，解得x＝40，
所以三角形纸板ODE运动的时间t=405=8（秒），所以∠AOF＝∠D1OF＝40°+30°＝70°，
由90°﹣70°＝20°，得点F的方向角为北偏西20°．
（3）如图3中，
由（2）得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2x°＝180°﹣2×40°＝100°，且∠D1OF＝∠DOE＝70°，
又∠COE＝∠BOC﹣∠DOE＝80°﹣70°＝10°，
当OE2线段平分∠AOC时，OE旋转的角大小为12∠AOC+∠COE=50°+10°=60°，
所以三角形纸板ODE旋转的时间为t=605=12（秒），
当线段OE2的反向延长线平分∠AOC时，OE旋转的角大小为60°+180°＝240°，
所以三角形纸板ODE旋转的时间为t=2405=48（秒）．
综上，当OE所在直线平分∠AOC时，t＝12秒或48秒
7．（2022•镇海区七年级期中）新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】（1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 ；
【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．
【解题思路】（1）根据幸运线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；
（3）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可．
【解答过程】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，
②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，
③设∠AOC＝x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x＝45°，解得x＝30°，
故答案为：15°或22.5°或30°；
（3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，
若OA是射线OM与ON的幸运线，则∠AON=12∠MON，即60﹣15t=12（60+5t），解得t=127；
∠AON=13∠MON，即60﹣15t=13（60+5t），解得t=125；
∠AON=23∠MON，即60﹣15t=23（60+5t），解得t=1211；
当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，
若ON是射线OM与OA的幸运线，则∠AON=12∠MOA即15t﹣60=12×20t，解得t＝12（舍）；
∠AON=13∠MOA，即15t﹣60=13×20t，解得t=365；
∠AON=23∠MOA，即15t﹣60=23×20t，解得t＝36（舍）；
故t的值是127或125或1211或365．
8．（2022·湖北武汉·七年级期末）【学习概念】 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
【理解运用】（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
【拓展提升】 （2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．
【答案】（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．
【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；
（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．
【详解】解：（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，
∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；
②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”
又∵ ∠MPQ≠∠NPQ ∴此题有两种情况
Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时

∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；
Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时
∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α ∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α
综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．
（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，
设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，
①当时，如图：∴，解得：；

②当，即时，如图：∴，解得：；
③当，如图：∴，解得：；
④当，如图：
∵，，∴，解得：；
∵的最大值为：，∴不符合题意，舍去；综合上述，t=，4，5秒．
【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．
9．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则_________；若，则______；
②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．
【答案】(1)①，；②，理由见解析
(2)，理由见解析 (3)
【分析】(1) ①先计算∠ACE的大小，再根据∠ACB=∠ACE+∠BCE计算即可；先根∠ACB=∠ACE+∠BCE计算∠ACE的大小，再根据∠DCE=∠ACD-∠ACE计算即可；
②根据∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，可得∠ACB+∠DCE =∠BCE+∠ACD；
（2）根据∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF =∠FAG-∠GAD，可得∠GAC+∠DAF =∠CAD+∠FAG．
（3）根据∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，计算∠AOD+∠BOC即可．
（1）解：①∵，
∴∠ACE=∠ACD- ＝90°-35°＝55°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°+55°＝145°，故答案为：145°；
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB＝140°，∴∠ACE=140°-90°=50°，
∵∠DCE=∠ACD-∠ACE，∴∠DCE=90°-50°=40°，故答案为：50°．
②∠ACB与∠DCE数量关系为∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠ACD-∠ACE=∠BCE+∠ACD=180°．
（2）∠GAC与∠DAF的数量关系，∠GAC+∠DAF =120°，理由如下：
∵∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF =∠FAG-∠GAD，
∴∠GAC+∠DAF=∠CAD+∠GAD +∠FAG-∠GAD=∠CAD+∠FAG=60°+60°=120°．
（3）∠AOD+∠BOC=α+β.理由如下：
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD，=∠AOB+∠COD＝α+β．
【点睛】本题考查了角和差关系，一般与特殊的思想，熟练掌握角的运算，理解角的和与差的关系是解题的关键．
10．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
【答案】(1)是；(2)40°或60°或80°；(3)或或3．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，故答案为：是．
（2）解：∵射线OC在∠AOB内部，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，∴∠AOC =∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．故答案为： 40°或60°或80°．
（3）解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，∴t=．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，∴t=．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，∴t=3．
综上所述：t=或或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
11．（2022·陕西·西安七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10；(2)或秒；(3)或；
【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
（1）解：作∠AOB的角平分线OG∵∠AOB=60°，∴∠AOG=∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，此时OP的运动时间t=（秒）；故答案为：10；
（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°①如图所示：∴4t+60+5t=90，∴t=；

②如图所示：此时 4t+5t-60=90，∴t=
∵OQ停止运动时间t=，∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为或秒；
（3）解：存在；①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则，解得：；
②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：则，解得：；
综合上述，或；
【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系．
12．（2022成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值； （3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
【答案】（1）6，0.5；（2）的值为；（3）的值为或
【分析】（1）由题意根据分针每60分钟转动一圈，时针每12小时转动一圈进行分析计算；
（2）由题意与在同一直线上即与所围成的角为180°，据此进行分析计算；
（3）根据题意分当时以及当时两种情况进行分析求解.
【详解】解：（1）由题意得分针每分钟转动：；
时针每分钟转动：.故答案为：6，0．5.
（2）当与在同一直线上时，
时针转了度，即; 分针转了度，即
∴ 解得， ∴的值为．
（3）①当时， ∵ ; ∴∴；
②当时，∵ ; ∴∴；
∴综上所述，符合条件的的值为或.
【点睛】本题考查钟表角的实际应用，根据题意熟练掌握并运用方程思维进行分析是解答此题的关键.
13．（2022·江西莲花县·七年级期末）乐乐对几何中角平分线的兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知°，射线分别是和的平分线；
（1）如图1，若射线在的内部，且，求的度数；
（2）如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为；
（3）若射线在的外部绕点旋转(旋转中，均指小于的角)，其余条件不变，请借助图3探究的大小，请直接写出的度数(不写探究过程)
【答案】（1）50°；（2）50°；（3）50°或130°
【分析】（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC度数，求和即可得出答案；
（2）根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；（3）分两种情况：①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；②射线OE，OF，2个都在∠AOB外面，根据角平分线定义得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠AOB=100°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC=15°，∠FOC=∠BOC=35°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=15°+35°=50°；
（2）∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=×100°=50°；故答案为：50°．
（3）①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，如图3①，

∴∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=×100°=50°；
②射线OE，OF2个都在∠AOB外面，如图3②，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=×260°=130°．
∴∠EOF的度数是50°或130°．
【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
14．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．
(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则______°
(2)如图②，若，，则______°
(3)如图③，在∠AOB内，若，则______°
(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（，），求此时∠MON的度数．
【答案】(1)80 (2)80 (3) (4)或
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，，则；
（2）根据角平分线的定义得到，，而，则，所以；
（3）与（2）一样得到，，则；
（4）反向延长、得到、，然后分类讨论：当、在内部；当、在内部，可计算得到；
当、在内部，可计算得到；当、在内部，可计算得到．
（1）解：、是的三等分线，，
射线、分别平分和，
，，；故答案为80；
（2）解：射线、分别平分和，
，，，
，，
，；故答案为80；
（3）解：射线、分别平分和，
，，，
，，，
，；故答案为；
（4）解：反向延长、得到、，如图，
当、在内部，
，
设，则，，，
；
当、在内部，可计算得到；
当、在内部，可计算得到；
当、在内部，可计算得到．
【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
15．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，射线OC在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是的“倍分线”．
(1)如图，若，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且．
①当秒时，OC______的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是的“倍分线”，求t的值；
(2)如图，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转，且，两条射线相交于点C．CD、CE分别是的高和角平线，是否存在CE是的“倍分线”的情况？若存在，请求出与应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)①是；②6或12或8(2)存在是的“倍分线”的情况，理由见解析，与应满足的数量关系为：或或
【分析】（1）①设∠BOC=15t，当t=2时，∠BOC=30°，且∠AOB=60°=2∠BOC，符合题意．
②设∠BOC=15t，则OA分成的三个角为∠AOB=60°，∠BOC=15t，∠AOC=15t-∠AOB，分类计算即可．
（2）运用定义和分类思想计算即可．
（1）①当时，在内部，且，
，是的“倍分线”，故答案为：是；
②（Ⅰ）当在内部且时，

，，；
（Ⅱ）当在内部且时，如图：
，，；
（Ⅲ）当在内部且时，如图：
，，
综上所述，的值为6或12或8；
（2）存在是的“倍分线”的情况，理由如下：
（2）存在是的“倍分线”的情况，理由如下：如图：

由已知可得：，，
，
当时，如图：，，
当时，如图： ，整理得：，

当时，如图：，整理得，
综上所述，与应满足的数量关系为：或或．
【点睛】本题考查了新定义角的计算问题，正确理解定义，熟练掌握分类计算的标准是解题的关键．
16．（2022·贵州铜仁·七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含，，和，，的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器刻度线重合，边AP与量角器刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，当边PB与刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．
(1)当时，__________；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．①当t为何值时，边PB平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)85(2)①当t=时，边PB平分∠CPD；②当t=或t=时，∠BPD=2∠APC．
【分析】（1）当t=5秒时，计算出边BP旋转的角度的大小即可得出结论；
（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，利用角平分线的定义可得∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，利用含t的代数式分别表示出∠MPB和∠BPD的度数，列出关于t的方程，解方程即可求解；
②设时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得结论．
（1）解：当t=5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为：10°×5=50°，
∴∠BPD= 180°-（45°+50°）=85°，故答案为：85；
（2）解：①如图1所示：
由题意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．
∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，
由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：
10°t+45°+30°+2°t=180°，解得，t=，∴当t=时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD=2∠APC．
∵运动时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：

此时，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（120°-12°t），解得：t=，
因为当t=时，运动的情况刚好同解答图的图1，
此时∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：
此时，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（12°t-120°），解得：t=．
当PB在PD的右侧时，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，则12°t-135°=2（12°t-120°），解得：t=，
此时PB在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去．
综上所述，当t=或t=时，∠BPD=2∠APC．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用，设运动的时间为t，用含t的代数式表示出∠APC与∠BPD的值是解本题的关键．
17．（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，直线与相交于点O，将一直用三角尺AOB的直角顶点与点O重合．(1)如图1，若°，试说明；
(2)小学时我们学习过，把一个图形绕着一个固定的点旋转某一角度，这个图形的形状和大小都不会发生改变．如图2，若°，OB平分，将三角尺AOB以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为秒．如果，0≤≤42，当为何值时，直线EF平分？
【答案】(1)见解析(2)3或39
【分析】（1）利用同角的余角相等即可得到结论；（2）根据角平分线定义求出∠BOE=30°，分两种情况①当OE平分时，②当OF平分时，列方程解答即可．
（1）解：∵， ∴，∴；
（2）∵OB平分，， ∴，
①当OE平分时，则旋转之后，∠BOE=∠AOB=45°，
∴OB旋转的度数为， ∴，解得t=3；
②当OF平分时，OB旋转的度数为45°+150°=195°，∴， 解得 t=39，
综上所述，t=3或39．
【点睛】此题考查了同角的余角相等的性质，角平分线的定义，旋转角的计算，列一元一次方程解决几何问题，正确掌握各知识点并熟练应用是解题的关键．
18．（2022·四川成都·七年级期末）点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
【答案】（1）∠MOC＝25°；（2）∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∠NOB＝70°．
【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数．
（2）根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度数，由∠NOM=90°，可得∠BON的度数，从而可得∠CON的度数．（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC=∠AOM，从而可得∠NOC的度数，由∠BOC=65°，从而得到∠NOB的度数．
【详解】（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，
∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，
即∠BON＝40°，∠CON＝25°；
（3）∵∠NOC＝∠AOM，∴∠AOM＝4∠NOC．
∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，
∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，
∴4∠NOC+∠NOC＝25°，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．
【点睛】本题考余角和补角及旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量．
19．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）探索新知：
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
(1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；
深入研究：如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒．
(3)当t为何值时，射线是的“巧分线”；(4)若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时t的值．
【答案】(1)是(2)或或(3)9或12或18(4)或4或6
【分析】（1）根据巧分线定义即可求解；（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；
（3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；
（4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．
【详解】（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；填“是”或“不是”故答案为：是；
（2），
①当是的角平分线时，；
②当是三等分线时，较小时，；
③当是三等分线时，较大时，；
故答案为：或或；
（3）依题意有：①当时，如图所示：，解得；
②当时，如图所示：，解得；
③当时，如图所示：，解得．
故当t为9或12或18时，射线是的“巧分线”；
（4）依题意有：
①当时，如图所示：，解得；

②当时，如图所示：，解得；
③当时，如图所示：，解得．
故当t为或4或6时，射线是的“巧分线”．
【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．
20．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD＝∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
(1)如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝________．
(2)如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
(3)已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1)20°(2)旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角
(3)在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角，旋转的时间为秒或30秒或90秒，理由见解析
【分析】（1）根据内半角的定义，即可求解；（2）根据旋转的性质可得：，，再根据内半角的定义，即可求解；
（3）分三种情况讨论，利用一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB＝70°，∴∠COD＝∠AOB=35°，
∵∠AOC＝15°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD=20°；
（2）解：根据题意得：，，
∴，，
∵∠COB是∠AOD的内半角，∴，∴，解得：，
即旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；
（3）解：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角，理由如下：设三角板绕顶点O旋转时间为秒，则，
如图1，∠BOC是∠AOD的内半角时，则，

∴，解得：；
如图2，∠BOC是∠AOD的内半角时，则，
∴，，
∴ ，解得：；
如图3，∠AOD是∠BOC的内半角时，则，
根据题意得：，，
∴，解得：；
综上所述，在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD构成内半角时，旋转的时间为秒或30秒或90秒．
【点睛】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键．