人教版七年级数学上册专题02数轴中的九类动态模型(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学上册专题02数轴中的九类动态模型(原卷版+解析)，共84页。

【知识储备】
①求A、B两点间的距离：若能确定左右位置：右—左；若无法确定左右位置：；
②求A、B的中点：；
③数轴动点问题主要步骤：
1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
模型1.左右跳跃模型（动态规律模型）
【模型解读】
例1．（2022·湖北鄂州·七年级期末）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为a，b，c，其中a满足，b满足，点P位于该数轴上．(1)求出a，b的值，并求出A，B两点之间的距离AB；
(2)设点C与点A的距离为24个单位长度，且，若PB＝2PC，求点P在数轴上对应的数p；
(3)设点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度……以此类推，问点P能移动到与点A或点B重合的位置吗？若能，请探究需要移动多少次才能重合？若不能，请说明理由．
例2．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
变式1．（2022·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（ ）次移动到的点到原点的距离为20.
A．7B．10C．14D．19
变式2．（2022·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；
（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
模型2.点的常规运动模型
【模型解读】
例1．（2023·江苏、·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．
（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．
变式1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式2.（2022·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．
（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
模型3.中点与n等分点模型
【模型解读】
例1．（2022·山东·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．

（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
例2．（2022·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10．
(2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）．
①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由．
变式1．（2022秋·成都市·七年级专题练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确B．只有乙正确C．只有丙正确D．三人均不正确
变式2．（2023·吉林·七年级期末）点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝ ；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值．
模型4.动态定值（无参型）模型
【模型解读】设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当计算结果中不含有未知数，则为定值。
例1．（2022·四川阿坝·七年级期末）如图：在数轴上点表示数点示数点表示数是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处。 ； ； ；
若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_ __表示的点重合；
点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为，则_ _，_ _，__ _；（用含的代数式表示）
请问:的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
例2．（2022秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值．（3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系．
变式1．（2023·江苏·七年级统考期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求线段AB的长；（2）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的根，在数轴上是否存在点M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由；
（3）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变的，如果不变请直接写出其值，如果是变的请说明理由．
变式2.（2022·福建·厦门市七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样 .
模型5.折线数轴（双动点）模型
【模型解读】
例1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
变式1．（2023·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
变式2．（2022·重庆·七年级期中）数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
模型6.动点往返运动模型
【模型解读】
例1．（2022秋·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④B．①③C．②③D．①②④
例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为 个单位长度．
（2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？
（3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？
变式1.（2022·陕西·西安七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝ ，b＝ ；（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 ；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？
变式2．（2022·江苏无锡·七年级期末）在数轴上，点A表示，点B表示20，动点P、Q分别从A、B两点同时出发．(1)如图1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它们的速度之比是2：3（速度单位：1个单位长度/秒），则点P的速度为 个单位长度/秒，点Q的速度为 个单位长度/秒；
(2)如图2，若在原点O处放一块挡板．P、Q均以（1）中的速度同时向左运动，点Q在碰到挡板后（忽略球的大小）改变速度并向相反方向运动，设它们的运动时间为t（秒），试探究：
①若点Q两次经过数轴上表示12的点的间隔是5秒，求点Q碰到挡板后的运动速度；
②若点Q碰到挡板后速度变为原速度的2倍，求运动过程中P、Q两点到原点距离相等的时间t．
模型7.线段和差且含参模型
【模型解读】
例1．（2022秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上点B表示数b，点C表示数c，且．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如：点A与点B之间的距离记作AB．
（1）求BC的值；（2）在数轴上有一动点M满足MB＋MC＝51，直接写出点M表示的数；
（3）动点A从数3对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度，同时点B，C在数轴上运动，点B，C的速度分别为每秒3个单位长度、每秒5个单位长度，运动时间为t秒．
①若点B向右运动，点C向左运动，BA＝ＢC，求t的值；
②若点B向右运动，点C向右运动，（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数使得的值在一定时间范围内不随t的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例2．（2022春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是．
(1)直接写______，______，______用含的代数式表示；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，
①问点运动多少秒时追上点？②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数；(3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
变式1．（2022秋·福建厦门·七年级校考期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．
(1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
变式2．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒．
(1)点A表示的有理数是______，点C表示的有理数是______，点P表示的数是______用含的式子表示．
(2)当___秒时，两点之间相距8个单位长度？(3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以个单位秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
模型8.数轴折叠（翻折）模型
【模型解读】
例1．（2022秋·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合．
(2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________；
(3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合．
变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合；
（2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
变式2．（2022·山东·七年级月考）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合；
（2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合；
（3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______；
（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______．
模型9.数轴上的线段移动模型
【模型解读】
例1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15．
（1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______；
（2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？
（3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？
变式1．（2022·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．
(1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）；
②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值．
变式2．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12．
（1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间．
课后专项训练
1．（2022·福建·厦门市七年级期末）在数轴上，点A对应的数是-6，点B对应的数是-2，点O对应的数是0.动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动。在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（ ）
A．PBB．OPC．OQD．QB
2．（2023·广西·七年级课时练习）如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过______秒，点P、点Q分别与原点的距离相等．
2．（2022·浙江·七年级期中）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝16，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为3，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为____．
3．（2022·江苏·苏州市七年级阶段练习）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）则木棒MN长为 _____cm．
4．（2023·陕西·七年级期末）【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
5．（2023·广东广州·七年级校考期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．
（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
6．（2022秋·重庆·七年级校考期中）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等．
(1)则a=______，b=_______．(2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段O处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数，记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中AO、OC、CB代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿CB方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中：①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少．
②是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（2023·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：
(1)则m = _________ ，n = _________ ；
(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，
当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度；②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗?(3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由．
8．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0．（1）a＝ ，b＝ ；（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB＝PC，请求出点P对应的数；（3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB﹣mOM为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
9．（2022·四川·成都市七年级阶段练习）如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，且．（1）线段的长为 ；（2）点在数轴上所对应的数为，且是方程的解，在线段上是否存在点使得?若存在，请求出点在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；（3）在(2)的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，点为线段的中点，点为线段的中点，若，求的值．
10．（2022·北京西城·七年级校考期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是的奇点．
例如，点A表示的数为，点B表示的数为1．表示0的C点到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点是的奇点；又如，表示的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是的奇点，但点D是的奇点．（1）P、Q为数轴上两点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为7．则数_______所表示的点是的奇点；数_______所表示的点是的奇点；
（2）M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，．现有一动点H从点M出发向右运动，当H点运动到数轴上的什么位置时，H、M、N中恰有一个点为其余两点的奇点？
11．（2022秋·江苏·七年级期末）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为 ，点P表示的数为 ．（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．）
12．（2022秋·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数．
(1)___________；___________；___________；(2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？(3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒．①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
13．（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
14．（2022秋·广西·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．

（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
15.（2022·江西南昌·七年级校考期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．
(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____．
(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？
(3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点．
①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示）②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
专题02 数轴中的九类动态模型
数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（注意：要检验解是否符合动点的运动时间范围）。
【知识储备】
①求A、B两点间的距离：若能确定左右位置：右—左；若无法确定左右位置：；
②求A、B的中点：；
③数轴动点问题主要步骤：
1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
模型1.左右跳跃模型（动态规律模型）
【模型解读】
例1．（2022·湖北鄂州·七年级期末）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为a，b，c，其中a满足，b满足，点P位于该数轴上．(1)求出a，b的值，并求出A，B两点之间的距离AB；
(2)设点C与点A的距离为24个单位长度，且，若PB＝2PC，求点P在数轴上对应的数p；
(3)设点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度……以此类推，问点P能移动到与点A或点B重合的位置吗？若能，请探究需要移动多少次才能重合？若不能，请说明理由．
【答案】(1)a=8，b=-14，AB=22(2)点P对应数为-18或者
(3)第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合，不能移动到与点B重合理由见解析
【分析】（1）根据平方的非负性和解一元一次方程即可求出a、b从而求出AB；
（2）先求出C点表示的数，然后根据PB=2PC，得到，，由此求解即可；
（3）根据题意可知，每两次运动点P向右移动2个单位长度，点P第（k为正整数）次移动后，P在原点左边距离原点的位置，由此求解即可．
(1)解：∵，∴，∴；
∵，∴，∴，∴；
(2)解：∵，∴，∵点C与点A的距离为24个单位长度，∴点C表示的数为-16，
∵PB=2PC，∴，，∴，
∴或，解得或；
(3)解：由题意可知，每两次运动点P向右移动2个单位长度，
∵点A表示的数为8，∴点P在第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合；
根据题意可知点P第（k为正整数）次移动后，P在原点左边距离原点的位置，
∴，解得不符合题意，∴点P不能运动到B点；
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，解一元一次方程，数轴上的动点问题，熟知相关知识是解题的关键．
例2．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．
【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，
x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，
∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意；
∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，
故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．
变式1．（2022·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（ ）次移动到的点到原点的距离为20.
A．7B．10C．14D．19
【答案】C
【分析】次数的序号为奇数的点在点A的右边，各点所表示的数依次增加3，序号为偶数的点在点A的左侧，各点所表示的数依次减少3，用n的代数式表示出一般规律，即可解答．
【详解】解：第1次点A向右移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1+3=4；
第2次从点B向左移动6个单位长度至点C，则C表示的数为46=2；
第3次从点C向右移动9个单位长度至点D，则D表示的数为2+9=7；
第4次从点D向左移动12个单位长度至点E，则E表示的数为712=5；
第5次移动后表示的数为5+15=10；第6次移动后表示的数为1018=8；…；
当移动次数为奇数时，对应的数是4，7，10，…，第n次移动后表示的数是，
当时，解得，n=（不符合题意，舍去）．当移动次数为偶数时，对应的数是2，5，8，…，
第n次移动后表示的数是，当时，解得，n=14．故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给点的运动关系，探索出对应点所表示数的一般规律是解题的关键．
变式2．（2022·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；
（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒．
【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（2）先根据路程=速度×时间求出7秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（3）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．
【详解】解：（1）∵4×2.5=10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，Q处于：1-2+3-4=4-6=-2；
（2）∵4×7=28，∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；
（3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得n=95，
∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560，
∴时间=4560÷4=1140(秒)；
②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，解得n=96，
∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656，
∴时间=4656÷4=1164(秒) ．
【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解．
模型2.点的常规运动模型
【模型解读】
例1．（2023·江苏、·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．
（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．
【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t．
【分析】（1）由题意根据数轴上动点向正方向移动用加法以及两点间距离公式进行分析计算；
（2）根据题意点P的移动时间为t秒列出代数式即可；
（3）根据题意分当0≤t≤8时，当8＜t≤12时，当12＜t≤20时三种情况进行分析即可.
【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为：，
点Q对应的数为：，P、Q两点间的距离为：，
故答案为：－5, －11； 6．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．故答案为：－10＋t．
（3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16；
当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；
当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式表示动点以及两点间距离公式，运用数形结合思维和分类讨论思维进行分析是解题的关键.
变式1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B对应的数是x，∵点A对应的数为8，且AB=12，
∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确；
由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，
当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，
∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，
当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
变式2.（2022·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．
（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．
故答案是：-4或-16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
模型3.中点与n等分点模型
【模型解读】
例1．（2022·山东·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．

（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；
（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）根据幸福中心的定义即可求解．
【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；
故答案为：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，
∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：
8-2-4+（8-2+1）=6，
故当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．
例2．（2022·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10．
(2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）．
①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或(2)①2秒中后点P为线段的中点；②或
【分析】(1)分计算即可．
（2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为，
根据点P为线段的中点，得到，化简计算即可．
②分两种情况计算求解即可．
【详解】（1）因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x，P到A点、B点距离的和为10，
当时，则，解得，符合题意；
当时，则，解得，符合题意；
当时，则，不符号题意，故或．
（2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为，
因为点P为线段的中点，所以，解得．
②因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，所以，
当时，则，解得．
当时，则，解得．
当或时，点P为线段的三等分点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，线段的中点即线段上一点把线段分成相等的两条相等，线段的三等分点，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
变式1．（2022秋·成都市·七年级专题练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确B．只有乙正确C．只有丙正确D．三人均不正确
【答案】A
【分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段的长度，判定即可．
【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图：
甲说法正确；
当点C在射线AB上运动时，如下图：
乙说法不正确；
当点C在射线BA上运动时，如下图：
丙说法不正确 故选A
【点睛】此题考查数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解．
变式2．（2023·吉林·七年级期末）点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝ ；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值．
【答案】（1）d＝3；（2）d的值为3或；（3）所求d的值为0或4；（4）所求t的值为或5．
【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；
（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论；
（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝AB；②AP＝AB两种情况进行讨论；
（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．
【详解】（1）当t＝1时，AP＝1，BQ＝2，
∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝3，即d＝3．故答案为3；
（2）线段AB的中点表示的数是：＝1．
①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，
BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点，此时d＝PQ＝PA＝3；
②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1×＝，
则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值为3或；
（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：
①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，则d＝PQ＝0；
②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，
∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，
∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值为0或4；
（4）当d＝5时，分两种情况：
①P与Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝；
②P与Q相遇之后，∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，
∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值为或5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，理解题意，分清动点P与动点Q的运动方向、运动速度与运动时间，从而正确进行分类讨论是解题的关键．
模型4.动态定值（无参型）模型
【模型解读】设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当计算结果中不含有未知数，则为定值。
例1．（2022·四川阿坝·七年级期末）如图：在数轴上点表示数点示数点表示数是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处。 ； ； ；
若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_ __表示的点重合；
点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为，则_ _，_ _，__ _；（用含的代数式表示）
请问:的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．
【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据在左边两个单位长度处，在右边个单位处即可得出a、c的值；（2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；
（3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用数轴上两点间的距离即可求出AB、AC、BC的值；
（4））将（3）的结论代入中，可得出的值不会随着时间的变化而变化，即为定值，此题得解．
【详解】（1）b是最大的负整数，
在左边两个单位长度处，在右边个单位处，
（2）将数轴折叠，使得点与点重合
（3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动t秒钟过后，根据得：，，
又，，
点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，
，，；
（4）由（3）可知：，
的值为定值21．
故答案为：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．
【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键．
例2．（2022秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值．（3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系．
【答案】（1）3，5，8；（2）不会，理由见解析；（3）当t<1时，AB+BC=AC；当t大于或等于1，且t小于或等于2时，BC+AC=AB；当t>2时，AB+AC=BC
【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度；
（2）求出BC和AC的值，然后求出2BC−AC的值，判断即可；
（3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系．
【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，故答案为：3，5，8；
（2）2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变．设运动时间为t秒，
则2BC−AC＝2[6＋5t−（1＋2t）]−[6＋5t−（−2−t）]＝12＋10t−2−4t−8−6t＝2，
故2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）由题意得，AB＝t＋3，BC＝5−5t（t＜1时）或BC＝5t−5（t≥1时），
AC＝8−4t（t≤2时）或AC＝4t−8（t＞2时），
当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5−5t）＝8−4t＝AC；
当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t−5）＋（8−4t）＝t＋3＝AB；
当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t−8）＝5t−5＝BC．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离．
变式1．（2023·江苏·七年级统考期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求线段AB的长；（2）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的根，在数轴上是否存在点M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由；
（3）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变的，如果不变请直接写出其值，如果是变的请说明理由．
【答案】（1）线段AB的长为5；（2）存在，当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB；（3）的值不变，为.
【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点M在数轴上对应的数是m，由MA+MB＝BC+AB确定出M位置，即可做出判断；
（3）设N点所表示的数为n，就有NA=n+3，NB=n﹣2，根据条件就可以表示出NQ＝NA＝，BP＝NB＝（n﹣2），再代入求出其值即可．
【详解】（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，∴a+3=0，b﹣2=0，∴a=﹣3，b=2，
∴AB=|﹣3﹣2|=5．答：线段AB的长为5；
（2）存在，∵x+1＝x﹣2，∴x=﹣6，∴BC=8．
设点M在数轴上对应的数是m，
∵MA+MB＝BC+AB，∴|m+3|+|m﹣2|＝×8+5，
令m+3=0，m﹣2=0，∴m=﹣3或m=2．
①当m≤﹣3时，﹣m﹣3+2﹣m=9， m=﹣5；
②当﹣3＜m≤2时，m+3+2﹣m=9（舍去）；
③当m＞2时，m+3+m﹣2=9，m=4．
∴当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB；
（3）设N点所表示的数为n，∴NA=n+3，NB=n﹣2．
∵NA的中点为Q，∴NQ＝NA＝，
P为NB的三等分点且靠近于B点，∴BP＝NB＝（n﹣2），
∴×-×(n-2)=，故的值是不变的．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离的运用，去绝对值的运用，解答时灵活运用两点间的距离公式求解是关键．
变式2.（2022·福建·厦门市七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样 .
【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由见解析.
【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示，，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值为常量，即可得出结论.
【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；
（2）设3秒后点C对应的数为x，则，，∵CA=CB，∴，
当，无解；
当，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒，
∴点C的速度为每秒1个单位长度；
（3）的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒，
则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t；
点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，
∴，为定值，即的值没有发生变化.
【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.
模型5.折线数轴（双动点）模型
【模型解读】
例1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或
【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为；
（2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案；
（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．
【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，故答案为：12；
（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，∴当点M、N都运动到折线段上，
即时，M表示的数是，N表示的数是，
∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴，解得，
故答案为：，，；
（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，
∴，即，∴或，
解得或，由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C，
∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当，即M在从点O运动到点C时，，即，
∴或，解得或，
当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故答案为：或；8或．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论．
变式1．（2023·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
【答案】(1)2.5(2)15(3)
【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间；
（2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间；（3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，∴BC=1-(-9)=10(个单位)，
∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒，
∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)；
（2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)，
∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，
∴动点P从点A运动至D点需要的时间为6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)；
（3）设运动时间为t秒，①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等；
②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)，
∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在；
③当3∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的数是或；
④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t，
∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合题意，舍去)，
综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题关键是用含t的代数式表示动点表示的数，据运动过程分类讨论．
变式2．（2022·重庆·七年级期中）数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或 或
【分析】（1）当秒时，求出点和点在数轴上相距的长度单位，点和点在数轴上相距的长度单位，据此求出、和谐距离即可；
（2）分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，分别列出方程，然后求解即可；
（3）分六种情况：①当点在，点在上运动时， ②当点在，点在上运动时，③当点，点在上运动时， ④当点在，点在上运动时， ⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，⑥当点在，点在上运动，且点返回时，分别列出方程，然后求解即可．
【详解】解：（1）当秒时，点和点在数轴上相距个长度单位，
即点在数轴上表示的点是
点和点在数轴上相距个长度单位，即点在点的位置上，在数轴上表示的点是12，
则、和谐距离是：个单位长度；
（2）如图示：
点运动到点位置时，用的时间是：秒，
当点在折线数轴上运动4秒时，则在上的运动时间是秒，在上的运动时间是秒，
则，∴，设点，点在在上的运动时间是，
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，
依题意得：，解得：，∴总用时是：秒；
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，
依题意得：，解得：，∴总用时是：秒；
综上所述，当运动秒或秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：根据题意可知，点在上的运动，并没返回时，使用的时间是秒，点在上的运动，使用的时间是秒，
可得，点在到达点时，继续返回运动了2秒，
①当点在，点在上运动时，依题意得：解得：，不合题意，舍去；
∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点在上运动，
②当点在，点在上运动时，依题意得：解得：；
③当点，点在上运动时，依题意得：解得：；
④∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点到达点，
当点在，点在上运动时，无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故不存在这样的时间；
⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，依题意得：
解得：，不合题意，舍去；
⑥当点在，点在上运动，且点返回时，依题意得：
解得：；
综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间是：或或；
【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，利用分类讨论思想，对题目进行分析解答是解题的关键．
模型6.动点往返运动模型
【模型解读】
例1．（2022秋·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④B．①③C．②③D．①②④
【答案】D
【分析】设C点在数轴上对应的数为，根据题意可得，求得；根据题意分时间段讨论两小球的位置，分别求解即可．
【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则，
当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则
解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确；
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为
当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时，
点表示数的为，②正确；
当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为
当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动
则，，，③错误；
当时，，，由题意得，，解得，不符题意；
当时，，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，当时，，
由题意得，，解得，此时三点重合，成立；
当时，，由题意得，，解得，不符题意；
当时，，由题意得，，解得，不符题意；
④正确 故选：D
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可．
例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为 个单位长度．
（2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？
（3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？
【答案】（1）14；（2）5秒；（3） 秒或3.5秒或秒.
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点的距离；
（2）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可；
（3）首先求出点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒，此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13，再设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等，或相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等，根据PM＝PN列出方程，进而求解即可．
【详解】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，
∴A、B两点的距离为6﹣（﹣8）＝14．故答案为14；
（2）设经过x秒点M与点N相距54个单位．
依题意可列方程为：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5．
答：经过5秒点M与点N相距54个单位；
（3）点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒，
此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13．
设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等．
依题意可列方程为：t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝，
设从开始运动后，相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等．
依题意可列方程为：（2t+6）﹣t＝t﹣[13﹣6（t﹣3.5）]，解得t＝．
答：从开始运动后，经过秒或3.5秒或秒点P到点M、N的距离相等．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．
变式1.（2022·陕西·西安七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝ ，b＝ ；（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 ；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；
（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．
【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，故答案为：≥9，12．
（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，
当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，
当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，
根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；
当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，
根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，
综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
变式2．（2022·江苏无锡·七年级期末）在数轴上，点A表示，点B表示20，动点P、Q分别从A、B两点同时出发．(1)如图1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它们的速度之比是2：3（速度单位：1个单位长度/秒），则点P的速度为 个单位长度/秒，点Q的速度为 个单位长度/秒；
(2)如图2，若在原点O处放一块挡板．P、Q均以（1）中的速度同时向左运动，点Q在碰到挡板后（忽略球的大小）改变速度并向相反方向运动，设它们的运动时间为t（秒），试探究：
①若点Q两次经过数轴上表示12的点的间隔是5秒，求点Q碰到挡板后的运动速度；
②若点Q碰到挡板后速度变为原速度的2倍，求运动过程中P、Q两点到原点距离相等的时间t．
【答案】(1)2，3(2)①12个单位长度/秒；②2秒或秒
【分析】（1）设P、Q的速度分别为2x，3x，由两点路程之和=两点之间的距离，列方程即可求解；
（2）解：①点Q第一次经过表示12的点开始到达原点用时4秒，再次到达表示12的点用时1秒，即可求解；②分两种情况：当P、Q都向左运动时和当Q返回向右运动时即可求解.
(1)解：设P、Q的速度分别为2x，3x，
由题意，得：6（2x+3x）=20-（-10），解得：x=1，故2x=2，3x=3，故答案为：2，3；
(2)解：①，．
答：点Q碰到挡板后的运动速度为12个单位长度/秒．
②当P、Q都向左运动时，解得：．
当Q返回向右运动时，解得：．
答：P、Q两点到原点距离相等时经历的时间为2秒或秒．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
模型7.线段和差且含参模型
【模型解读】
例1．（2022秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上点B表示数b，点C表示数c，且．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如：点A与点B之间的距离记作AB．
（1）求BC的值；（2）在数轴上有一动点M满足MB＋MC＝51，直接写出点M表示的数；
（3）动点A从数3对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度，同时点B，C在数轴上运动，点B，C的速度分别为每秒3个单位长度、每秒5个单位长度，运动时间为t秒．
①若点B向右运动，点C向左运动，BA＝ＢC，求t的值；
②若点B向右运动，点C向右运动，（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数使得的值在一定时间范围内不随t的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）45；（2）-18或33；（3）①或；②存在，n=3或-3
【分析】（1）根据非负性可求出答案；（2）分三种情况：当点M在点B的左侧；当点M在点B，C之间时；当点M在点C的右侧时；进行讨论可求M点表示的数；
（3）①用t的代数式表示AB，BC，列出等式可求解；②用t的代数式表示AB，AC，代入代数式可求解．
【详解】（1）∵，∴b=-15，c=30，∴BC=30-（-15）=45；
（2）当点M在点B的左侧，
∵MB＋MC＝51，∴MB＋MB+BC＝51，∴MB=3，∴点M点表示的数为-15-3=-18；
当点M在点B，C之间时，
∵MB＋MC＝BC=45≠51，∴不存在点M，使MB＋MC＝51；
当点M在点C的右侧时,
∵MB＋MC＝51，∴BC+MC+MC=51，∴MC=3，
∴点M点表示的数为30+3=33；综上所述，M点表示的数为-18或33；
（3）①∵AB=BC，∴|（3+2t）-（-15+3t）|=|（3+2t）-（30-5t）|∴或．
②∵=-，
原式=(3+n)t+27-18n或者(3-n)t+27+18n，且的值不随时间t的变化而改变，
∴3+n=0，3-n=0，∴存在，n=3或者-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，数轴上的中点公式，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可．
例2．（2022春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是．
(1)直接写______，______，______用含的代数式表示；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，
①问点运动多少秒时追上点？②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数；(3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；； (2)①点运动秒时追上点；②点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或
(3)存在常数，使得的值为定值，该定值为
【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出，的值，由点的出发点、运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出值；（2）当运动时间为秒时，点表示的数为．
根据点，表示的数相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
根据点，两点之间的距离为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出点表示的数；（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，的值，进而可得出，结合的值为定值，即可求出的值，进而可得出该定值为．
（1）解；，，，，．
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒，
，故答案为：，，；
（2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为．
依题意得：，解得：，故点运动秒时追上点．
依题意得：，即或，解得：或．
当时，；当时，．
综上：点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或；
（3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，，，
．
的值为定值，，，
存在常数，使得的值为定值，该定值为．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、列代数式、一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，，的长度．
变式1．（2022秋·福建厦门·七年级校考期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．
(1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)存在符合条件的k，k=6．
【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c；
（2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x；
（3）假设存在符合条件的k，表示，再利用整式的性质求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，∴，
又∵，∴．∴；
（2）解：由题意得：，∴，
当时，，当时，，综上：或；
（3）解：假设存在符合条件的k，经过t秒，点A表示的数为，点B表示的数为，且A，B都在点C右侧，∴，，
∴，
∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变，
∴，∴，∴存在符合条件的k，．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②用含t的代数式表示出的值．
变式2．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒．
(1)点A表示的有理数是______，点C表示的有理数是______，点P表示的数是______用含的式子表示．
(2)当___秒时，两点之间相距8个单位长度？(3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以个单位秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，(2)或(3)，这个定值为
【分析】（1）设点B表示的数为，则点A表示的数为，由数轴可知，求出，根据算出点C表示的数，再由点P的运动速度和时间求出点P表示的数即可；
（2）分点P在点B左边和点P在点B右边两种情况进行解答即可；
（3）根据题意先将点A、点B和点C表示的数用t表示出来，再算出、、并代入中，合并同类项即可解答．
【详解】（1）解：设点B表示的数为，则点A表示的数为，
∵点A和点B间距个单位长度，∴，解得：，∴点A表示的有理数是，
∵，∴点C表示的有理数是，
∵动点P从点A出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
∴点P表示的数是，故答案为：，，；
（2）解：①当点P在点B左边时，，
∵两点之间相距8个单位长度，∴，解得：，
②当点P在点B右边时，，
∵两点之间相距8个单位长度，∴，解得：，
∴当或秒时，两点之间相距8个单位长度，故答案为：或；
（3）解：存在常数，使得为一个定值，理由如下：
由题意可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
则，，，
，
∵要使得为一个定值，∴，解得：，
∴，∴，这个定值为．
【点睛】本题考查的是数轴的知识，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键．
模型8.数轴折叠（翻折）模型
【模型解读】
例1．（2022秋·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合．
(2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________；
(3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合．
【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒
【分析】（1）设表示的点与x表示的点重合，根据1表示的点与表示的点重合，得到折痕过原点，根据对称点到对称轴的距离相等得到，解得；（2）①根据表示的点与3表示的点重合，得到折痕经过数表示的点，设5表示的点与数x表示的点重合，得到，解得；②设点A表示的数为x，则，解得，点B表示的数为；
（3）设t秒，得到点E表示的数为，点F表示的数为，当1表示的点与表示的点重合时，得到折痕过原点，根据点E与点F也恰好重合，得到，解得．
【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合
∵1表示的点与表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，即原点，
∴，∴∴表示的点与3表示的点重合；故答案为：3
（2）①∵表示的点与3表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，
设5表示的点与数x表示的点重合，则，∴；故答案为：；
②设点A表示的数为x，则点B表示的数为，
，∴，，故答案为：，6；
（3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为，
∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点，
∴点E与点F也恰好重合时，，∴．
【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握对称点到对称轴的距离相等，中点坐标公式．
变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合；
（2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009
【分析】（1）由表示1的点与表示-1的点重合，即可找出与表示-5的点重合的点表示的数；
（2）①由表示1的点与表示-5的点重合，即可找出与表示13的点重合的点表示的数；
②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，根据重合两点表示的数之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合，
∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5．
（2）①∵表示1的点与表示-5的点重合，
∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17．
②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，
根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009．
答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009．
【点睛】本题考查了数轴、折叠的性质以及一元一次方程的应用，根据折叠的性质找出重合两点表示的数之和相等是解题的关键．
变式2．（2022·山东·七年级月考）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合；
（2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合；
（3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______；
（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______．
【答案】（1）-4；（2）5；（3）或．
【分析】（1）根据对称，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到4的对称点；
（2）若数﹣1表示的点与数3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，从而找到-3的对称点；根据对应点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再找到点表示的数；从而求解；
（3）先得到A点与对称中心的距离，再进一步得到折线与数轴的交点表示的有理数
【详解】（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则4表示的点与-4表示的点重合，故答案为：-4
（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与5表示的点重合，故答案为：5
（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，此时若A在交点左边，折线与数轴的交点表示的有理数是，若A在交点右边，折线与数轴的交点表示的有理数是．故答案为：或
【点睛】此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系，注意：数轴上的点和数之间的对应关系，即左减右加
模型9.数轴上的线段移动模型
【模型解读】
例1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15．
（1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______；
（2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？
（3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？
【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t=23或25
【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度；
(2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出;
(3) 分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12，∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10；
∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15，∴点C在数轴上表示的数是15-1=14．
∴BC=14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24；
（2）设运动时间为a秒时B、C相遇，
此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a
∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8
此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2
(3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10-t，点C在数轴上表示的数为14-2t
∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2=
综上所述：当BC=1时，t=23或25；
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数．
变式1．（2022·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．
(1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）；
②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值．
【答案】(1)m＝4，n＝5(2)①；②6s或11s
【分析】（1）根据非负数的性质可得答案；（2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可．
(1)解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0，
∴a＝﹣5，b＝﹣1∴m＝-1-（-5）=4
又因为c＝3，d＝8∴n＝8-3=5∴m和n的长度分别为4和5；
(2)解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．∴t＝s，故答案是：；
②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4，设t秒重叠2个单位长度，
可得4t＝3t+4+2，解得t＝6，m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13，
可得4t＝3t+13﹣2，解得t＝11，综上t＝6s或11s．
【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键．
变式2．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12．
（1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间．
【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6．
【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可；
（2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可；
（3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可.
【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，
∴点H表示的数为：，
∵两点之间的距离为12，∴点D表示的数为：，
∵长方形的长是4个单位长度，∴点A表示的数为：，故答案为：；
（2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x；
①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，则有，解得x＝2 ；
②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，则有7﹣3x＝﹣9+4x解得：x＝
综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ；
（3）设长方形ABCD运动的时间y为秒，
①当重叠部分为长方形EFCD时，
DE=−7+2y−5= 2y−12∴ 2(2y−12) = 6，解得：y = 7.5；
②当重叠部分为长方形CDHG时
HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y，∴ 2(24−2y) = 6，解得：y =10.5；
综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6.
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键.
课后专项训练
1．（2022·福建·厦门市七年级期末）在数轴上，点A对应的数是-6，点B对应的数是-2，点O对应的数是0.动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动。在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（ ）
A．PBB．OPC．OQD．QB
【答案】C
【分析】设运动时间为t秒，根据题意可知，，，然后分分类讨论：①当动点P、Q在点O左侧运动时，②当动点P、Q运动到点O右侧时，利用各线段之间的和、差关系即可解答.
【详解】解：设运动时间为t秒，
由题意可知：，，，，
①当动点P、Q在点O左侧运动时，
，
∵，∴；
②当动点P、Q运动到点O右侧时，
，
∵，∴，
综上所述，在运动过程中，线段PQ的长度始终是线段OQ的长的整数倍，故选：C.
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，解题时注意分类讨论的运用.
2．（2023·广西·七年级课时练习）如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过______秒，点P、点Q分别与原点的距离相等．
【答案】20或2
【分析】分两种情况进行解答，即点P在原点的左侧，点P在原点的右侧，根据到原点的距离相等，列方程求解即可．
【详解】解：设运动的时间为t秒时，点P、点Q分别与原点的距离相等，
①当点P在原点的左侧时，有17-4t=3+3t，解得，t=2，
②当点P也在原点的右侧时，即点P追及到点Q，
有4t=20+3t，解得，t=20，故答案为：20或2．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间的距离的计算方法是解决问题的关键．
2．（2022·浙江·七年级期中）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝16，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为3，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为____．
【答案】－5
【分析】设PQ＝x，则点B表示的数为x＋3，点A表示的数为x﹣13，则可得AB的中点的代数式，当点Q移动到线段AB的中点时，进而可求得答案．
【详解】解：设PQ＝x，则点B表示的数为x＋3，点A表示的数为x＋3﹣16＝x﹣13，
∵AB的中点可表示为（x＋3＋x﹣13）÷2＝x﹣5，
∴当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为x﹣5﹣x＝﹣5，故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了数轴，理解两点之间的距离是解题的关键．
3．（2022·江苏·苏州市七年级阶段练习）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）则木棒MN长为 _____cm．
【答案】5
【分析】由数轴观察知三根木棒长是20-5＝15(cm)，则此木棒长为5cm．
【详解】解：由数轴观察知三根木棒长是20-5＝15(cm)，则此木棒长为15÷3＝5(cm)，故答案为：5．
【点睛】本题考查了数轴，数形结合是解决本题的关键．
4．（2023·陕西·七年级期末）【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
【答案】（1）3π+3，=；（2）5或5 π；（3）MN长为π-1；（4）D点表示的数为：或或或
【分析】（1）根据圆周率伴侣线段定义得出线段之间的关系，代值求解，根据定义分别得出AC、BD与AB的关系判断AC与BD的关系；（2）根据圆周率点定义，分两种情况，得到AM与BM的关系，代值求解；（3）设OM=x，由定义得MC=πx，根据OC=OM+MC列方程求解；（4）根据点D是线段OE的圆周率点和点E是线段OD的圆周率点，得出四种线段之间的关系，代值求解.
【详解】解：（1）∵AC=3，BC=π AC，∴AB=AC+BC=3π+3；
∵点D、C都是是线段的圆周率点且不重合，
∴BC=π AC ，AD=πBD，∴AB=AC+BC=BD+AD，
∴AB=AC+π AC，AB=BD+πBD，
∴AC= ，BD=，∴AC=BD.
（2）设线段AB中点为C，当点M在线段AC之间时，如图1
∵点M是线段的圆周率点，∴BM=π AM ，
∵,∴AM+π AM=5+5π∴AM=5；
当点M在线段BC之间时，如图2
∵点M是线段的圆周率点，∴AM=π BM ，
∵，∴π BM+BM=5+5π，∴BM=5，∴AM=5 π.
综上所述，AM长为5或5 π.
（3）如图，由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，设M点离O点近，且OM=x，
∴MC=πOM=πx∴x+πx=π+1，解得x=1，
∴OM=1，∴OM=CN=1∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1.
（4）根据题意得点C表示的数为π+2，设点D表示的数为x，
如图1，若OD=πDE，∴x=π(π+2-x)，
解得，x=，∴D点表示的数为：；
如图2，若DE=πOD，∴ π+2-x= πx，
解得，x=，∴D点表示的数为：；
如图3，若OE=πDE，∴π+2=π(x-π-2)，
解得，x=，∴D点表示的数为：；
如图4，若DE=πOE，∴x-π-2=π(π+2)，
解得，x=，∴D点表示的数为：.
综上所述：D点表示的数为：或或或.
【点睛】本题主要考查了新定义题目，根据定义，借助数轴和一元一次方程求解，读懂题目，用新思路解决问题是解答此题的关键.
5．（2023·广东广州·七年级校考期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．
（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
【答案】（1）DP的长为5cm或10cm；（2）①5秒；②3秒、秒或10秒.
【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可.
(2) ①由题意列出t+2t=15，解得即可.
②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可.
【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5
当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10
（2）①当点P与点Q重合时，t+2t=15，即t=5.
②当点P是线段AQ的三等分点时,AQ=15-2t
或或或
解得t=3或t=或t=10.
【点睛】本题考查的知识点是线段的计算，解题的关键是熟练的掌握线段的计算.
6．（2022秋·重庆·七年级校考期中）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等．
(1)则a=______，b=_______．
(2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段O处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数，记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中AO、OC、CB代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿CB方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中：
①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少．
②是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)①②或或或14
【分析】（1）首先化简多项式，然后根据值与字母x取值无关，列出关于a和b的方程求解即可；
（2）①由题可知，点M和N相遇在线段上于Q处，根据运动时间相等，可列出方程求解即可；
②分别求出点M和N的运动时间，结合点M和点N的不同位置，根据列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
∵关于x、y的多项式的值与字母x取值无关，
∴，∴解得，故答案为：．
（2）解：①由题意得，C表示的数为4，，，
由题可知，M和N两点相遇在线段于Q处，设
则，解得则Q表示的数为，
故M和N的相遇点Q所对应的数为；
②存在，理由如上：∵∴点M从A到O所需时间为：
∵∴点M从O到C所需时间为：
∵∴点N从B到C所需时间为：
点N从C到O所需时间为：
点N从O到A所需时间为：
点N返回时，
点N从A到O所需时间为：
点N从O到C所需时间为：
点N从C到B所需时间为：
由此再分类讨论如下：点N由B向A运动时，
（1）当点M在上时，点N在上运动，此时
此时；
∴解得；
（2）当点N在上时
①点M在上且点M和点N相遇前，，
，
∴解得；
②点M在上，且M和N相遇后，即，
此时，，
∴，无解；
③当点M在上时，即，
此时，，
∴，解得，不符合题意；
（3）当点N在上，即，
，
，
∴，解得，不符合题意．
当点N从点A向点B运动时，点M由点C向右运动，
①点N在上时，即，
，
，
∴，解得，不符合题意；
②当点N在上时，即，
，
，
∴，解得，
③当点N在上时，即，
，
，∴，解得．
综上所述，符合题意的t的值为：或或或14．
【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏．
7．（2023·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：
(1)则m = _________ ，n = _________ ；
(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，
当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度；
②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗?
(3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10，(2)①4；②64岁(3)存在，使得的值与它们的运动时间无关
【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）①由题意可得，即可求解；②同①求出爷爷比小阳大的岁数，然后设出未知数，建立方程求解即可；（3）分别表示出，进而用含t的式子表示出，再根据的值与它们的运动时间无关，即令含t的式子的系数为0进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，∴，
∴，故答案为：10，；
（2）解：①由题意得：，
∴，∴玩具火车的长为4个单位长度，故答案为：4；
②同①可知爷爷比小阳大岁，设爷爷的年龄为x岁，则小阳的年龄为岁，
由题意得，解得，∴爷爷的年龄是64岁；
（3）解：由题意可得， ，
∴，
∵的值与它们的运动时间无关∴，∴，
∴存在，使得的值与它们的运动时间无关；
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想．
8．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0．（1）a＝ ，b＝ ；（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB＝PC，请求出点P对应的数；（3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB﹣mOM为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）−10，5；（2）−15或−5；（3）3，40
【分析】（1）根据两个非负数的和为零则它们均为零的性质即可求得a与b的值；
（2）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧和点P在线段AB之间两种情况考虑，利用数轴上两点间的距离即可列方程解决；（3）求出三个点运动t秒后在数轴上的位置，由数轴上两点间的距离可得3AM+2OB﹣mOM关于t的式子，根据此式即可求得m的值及定值．
【详解】（1）∵|a+10|≥0，（b﹣5）2≥0，且|a+10|+（b﹣5）2＝0
∴a+10=0，b－5=0即a=−10，b=5故答案为：−10，5
（2）设点P对应的数为x当点P在点A的左侧时，则，，
由题意得： 解得：
当点P在线段AB之间时， 则，，
由题意得：解得：
综上所述，点P对应的数为−15或−5
（3）存在，理由如下：当点A、B、M运动t秒时的距离分别为2t、3t、5t，此时点A、B、M在数轴上的位置分别为−10+2t、5+3t、5t
则，，
所以
由题意，当，即m=3时，3AM+2OB﹣mOM为定值40．
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的解法，多项式的定值问题等知识，关键与难点是数轴上表示两个数的两个点间的距离．注意方程思想的运用．
9．（2022·四川·成都市七年级阶段练习）如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，且．（1）线段的长为 ；（2）点在数轴上所对应的数为，且是方程的解，在线段上是否存在点使得?若存在，请求出点在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；（3）在(2)的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，点为线段的中点，点为线段的中点，若，求的值．
【答案】（1）10；（2）存在，点对应的数为2，见解析；（3）的值为6或16
【分析】（1）根据题意求出和的值，进而即可求出线段的长；
（2）由题意先解出x，再根据题意求出点在数轴上所对应的数；（3）根据题意先求出、初始位置对应数，再根据题意运动时间为秒以及，建立关系式，并求出t值即可.
【详解】解：（1）∵∴，
∵点和点在数轴上对应的数分别为和，∴线段的长为.故答案为：10.
（2）∵解得， 即点在数轴上对应的数为14．
∵点在线段上．∴
∵ ∴ 解得： ∴14-12=2即点对应的数为2.
（3）由题意知，、分别为、的中点，∴、初始位置对应数为0，11．
对应的数是 对应的数是 又∵在上， 在上，
∴可知的速度在处向右，速度为6个单位/秒， 的速度在11处向右速度为5个单位/秒，
运动秒后，对应的数为：， 对应的数为：，
∵ ∴ 解得，或16， 的值为6或16.
【点睛】本题考查一元一次方程在数轴上动点问题中的应用及偶次方和绝对值的非负性，掌握相关基础知识并数形结合进行分析是解题的关键．
10．（2022·北京西城·七年级校考期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是的奇点．
例如，点A表示的数为，点B表示的数为1．表示0的C点到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点是的奇点；又如，表示的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是的奇点，但点D是的奇点．
（1）P、Q为数轴上两点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为7．则数_______所表示的点是的奇点；数_______所表示的点是的奇点；
（2）M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，．现有一动点H从点M出发向右运动，当H点运动到数轴上的什么位置时，H、M、N中恰有一个点为其余两点的奇点？
【答案】（1）4，；（2），，，
【分析】（1）由题意直接根据奇点的定义可得的奇点则有和的奇点则有，进而分析计算即可；（2）根据题意分H是的奇点、H是的奇点、N是的奇点、N是的奇点四种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：（1）设奇点为W，奇点所表示的数为x，
的奇点则有，即，解得：，
的奇点则有，即，解得：，故答案为：4，；
（2）设H所表示的数为y，当H是的奇点，得，即，解得：，
当H是的奇点，得，即，解得：，
当N是的奇点，得，即，解得：,
当N是的奇点，得，即，解得：.
综上可得当H点为，，，，H、M、N中恰有一个点为其余两点的奇点.
【点睛】本题考查数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．
11．（2022秋·江苏·七年级期末）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为 ，点P表示的数为 ．（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．）
【答案】（1），；（2）①9秒；②点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，；（3）当时，为定值，定值为：
【分析】（1）结合题意，根据数轴、代数式的性质分析，即可得到答案；
（2）①根据题意，列方程并求解，即可得到答案；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析，结合题意，通过列方程并求解，即可得到；再结合数轴和代数式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意得：运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：，，；且＜＜；结合数轴的性质列代数式，得当时，为定值，从而完成求解．
【详解】（1）∵已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边
∴B表示的数为：；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒
∴点P表示的数为： 故答案为：，；
（2）①根据题意，得： ∴，即点P运动9秒时追上点Q；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析；
相遇前相距6个单位长度，依题意得： ∴ ∴此时点P表示的数为：；
相遇后相距6个单位长度，依题意得： ∴ ∴此时点P表示的数为：；
∴点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，；
（3）运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：，，；
根据题意得：＜＜∴，，
∴
当，即时，为定值，定值为：．
【点睛】本题考查了数轴、代数式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、代数式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
12．（2022秋·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数．
(1)___________；___________；___________；
(2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？
(3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒．
①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)(2)2个
(3)①t为或时，②存在，当时，的值不随t的变化而改变
【分析】（1）根据点在数轴上的位置，直接写出点代表的数即可；（2）利用数轴上两点间的距离公式进行计算即可；（3）①先根据题意列出代数式，再利用两点间的距离进行求解即可；②根据题意，列出代数式，再求出，使的系数为0，求出即可．
【详解】（1）解：由数轴可知：；
（2）解：设将点B向左移动个单位长度，则此时表示的数字为：
由题意得：，解得：；
∴为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动2个单位长度．
（3）解：由题意的：点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，
①到达时用的时间为：秒，∴表示的数为：，
当在左侧时：，解得：；
当在右侧时：，解得：；
∴t为或时，点P与点Q距离3个单位长度．
②存在，由题意得：，，
∴，
∵的值不随t的变化而改变，∴，∴．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，以及数轴上两点间的距离公式．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，利用方程思想进行求解，是解题的关键．
13．（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，答案：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．答案－4或－16；
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，
当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，
当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；
第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，
当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，
N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2022秋·广西·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．

（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）根据幸福中心的定义即可求解．
【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；故答案为：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：8-2-4+（8-2+1）=6，
故当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．
15.（2022·江西南昌·七年级校考期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．
(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____．
(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？
(3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点．
①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示）②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)，14，24 (2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2
(3)①；；②MN的长是定值，
【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长；
（2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可；
（3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解；
②用两点间距离公式即可求解．
【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且，
所以，所以点B表示的数是；因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且，
所以，所以点C表示的数是14，点B与点C的距离是（单位长度），
所以线段BC的长为24个单位长度，故答案为：，14，24．
（2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是，
根据题意得，解得，所以，
答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是．
（3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：，
∵M为中点，∴点M对应的数为：，
t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：，
∵N为中点，∴点N对应的数为：，故答案为：；；
②线段的长为定值，
∵点M对应的数为，点N对应的数为；
∴，∴线段的长为定值．
【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系．