2023-2024学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.满足x≤3的最大整数x是
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，将线段AB绕一个点顺时针旋转90°得到线段CD，点A与点C，点B与点D是对应点，则这个点是( )
A. 点M
B. 点Q
C. 点P
D. 点N
4.若 x+1+1x−3有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x>−1且x≠3B. x≥−1且x≠3C. x≥1且x≠3D. x≠−1且x≠3
5.已知x−1x=1，则x2x4+2x2+1的值是( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
6.若不等式(a−1)x≤3的解集为x≥3(a−1)，则a的取值范围是( )
A. a<1B. a>1C. a>0D. a≤1
7.下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
8.如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B恰落在A′B′上，若∠A=30°，∠BCA′=45°，则∠A′BA的度数为( )
A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
9.如图A，B的坐标分别为(−2,1)，(0,−1).若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为(a,3)，(3,b)，则a+b的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.直线y=x−1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有( )
A. 8B. 4C. 5D. 7
11.若整数a使关于x的不等式组2x−a>06−2x>x有解，且最多有2个整数解，且使关于y的分式方程ayy−2+42−y=1的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为( )
A. −4B. 4C. −2D. 2
12.如图，一次函数y=x+ 2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为( )
A. 6+ 2B. 3 2C. 2+ 3D. 3+ 2
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.多项式ax2−a与多项式2x2−4x+2的公因式是 ．
14.把多项式2a3−2a分解因式的结果是______．
15.给出下列分式：①8bc6a、②a2+b2a+b、③4a2−b22a−b、④a−ba+b，其中最简分式是______(填序号)．
16.若分式x2x−1□xx−1运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为______.(请从“+、−、×、÷”中选择填写)
17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=3，AD=4，则点D到直线AB的距离是______．
18.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE.则BE的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(m−m+9m+1)÷m2+3mm+1，其中m= 3．
20.(本小题8分)
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)．

(1)先将△ABC向左平移2个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于y轴对称的图形△A2B2C2；
(2)写出点A2，B2，C2的坐标．
21.(本小题8分)
某商场购进一批甲、乙两种玩具共50件，且总费用不超过1000元，已知每件甲种玩具的进价为15元，每件乙种玩具的进价为25元，则甲种玩具至少要购买多少件？
22.(本小题10分)
(1)解不等式组1−12(3−x)(2)2024年是中国农历甲辰龙年.某商场用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具，面市后供不应求，商场又用6600元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了3元.求商场购进第一批“小金龙”每件的进价．
23.(本小题10分)
某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
(1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF/​/AD交CA的延长线于点F，交AB于点G.若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线．
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点A的坐标是(−5,0)，点B的坐标是(0,5)，点C是x轴上一点，AD⊥BC于D交y轴于点E．

(1)如图1，图中与△BOC全等的三角形是______；
(2)如图1，小明过点O作OM⊥AE于M，ON⊥BC于N，证明了DO平分∠ADC，请写出证明过程；
(3)如图2，若点C在线段AO上，过点B作BF⊥BC，使BF=BC，连接AF交y轴于点G，若点G的坐标为(0,74)，请直接写出OC的长．
26.(本小题10分)
解不等式：2(5x+3)≤x−3(1−2x)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：满足x≤3的最大整数x是3，
故选：C．
根据不等式x≤3得出选项即可。
本题考查了一元一次不等式的整数解和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的概念“中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合”判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：连接AC、BD，
作AC和BD的垂直平分线，
由图形可知，两条垂直平分线交于点M，
即点M为旋转中心，
故选：A．
连接AC、BD，作AC和BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求．
本题考查了旋转中心的确定，解题关键是掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得：x+1≥0且x−3≠0，
解得：x≥−1且x≠3，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不等于零是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵x−1x=1，
∴(x−1x)2=1，
∴x2+1x2=3，
原式的倒数为x4+2x2+1x2=x2+2+1x2=3+2=5，
∴原式=15，
故选：C．
结合完全平方公式和分式运算的法则先求原式的倒数，然后再计算．
本题考查分式的混合运算，掌握分式运算法则和完全平方公式的结构是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵不等式(a−1)x≤3的解集为x≥3(a−1)，
∴a−1<0，
∴a<1．
故选：A．
先根据题意判断出a−1的符号，进而可得出结论．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠A′=∠A=30°，∠BCA′=45°，
∴∠CBB′=∠BCA′+∠A′=45°+30°=75°，
∵BC=B′C，
∴∠B′=∠CBB′=75°，
∴∠ABC=∠B′=75°，
∴∠A′BA=180°−∠ABC−∠CBB′=180°−75°−75°=30°，
故选：A．
根据旋转的性质可得∠A′=∠A=30°，利用三角形外角的性质求出∠CBB′，再根据等腰三角形的性质和旋转的性质求出∠ABC，进而可得∠A′BA的度数．
本题考查了旋转的性质，等边对等角，熟知旋转前后的对应边和对应角都相等是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由A(−2,1)的对应点A1的坐标为(a,3)知，线段AB向上平移了2个单位，
由B(0,−1)的对应点B1的坐标为(3,b)知，线段AB向右平移了3个单位，
则a=−2+3=1，b=−1+2=1，
∴a+b=1+1=2，
故选：B．
由已知得出线段AB向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出a、b的值，从而得出答案．
此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
10.【答案】D
【解析】解：如图，对于直线y=x−1，
当x=0时，y=−1；
当y=0时，x=1，
∴直线y=x−1与两个坐标轴的交点分别为A(0,−1)，B(1,0)；
若以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，
则与x轴有两个交点，与y轴有一个交点(点A除外)；
若以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，
则与x轴有一个交点(点B除外)，与y轴有两个交点；
∴以AB为腰的等腰△ABC有6个；
若以AB为底，作AB的垂直平分线，与坐标轴交于原点O，
综上所述，满足条件的点C最多有7个，
故选：D．
运用分类讨论的数学思想，分AB为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断，即可解决问题．
该题主要考查了等腰三角形的判定问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，分AB为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．
11.【答案】D
【解析】解：2x−a>0①6−2x>x②，
解①得：x>a2，
解②得：x<2，
∴不等式组的解集为：a2∵关于x的不等式组2x−a>06−2x>x有解，且最多有2个整数解，
∴−1≤a2<2，
∴−2≤a<4，
分式方程ayy−2+42−y=1，
去分母得：ay−4=y−2，
∴y=2a−1，
∵y是整数，且y≠2，
∴a−1=−1或±2，
∴a=−1，3，
−1+2=2．
故选：D．
表示出不等式组的解集，根据解集中最多有2个整数解，确定出a的范围，再由分式方程的解为整数，确定出整数a的值，求出之和即可．
本题主要考查解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组以及解分式方程是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=x+ 2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y= 2，令y=0，则x=− 2，
则A(− 2,0)，B(0, 2)，
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= ( 2)2+( 2)2=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= AD2+CD2= 2x，
由题意易得∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD= BC2−CD2= 3x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x= 3x，
解得：x= 3+1，
∴AC= 2x= 2( 3+1)= 6+ 2，
故选：A．
根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
13.【答案】(x−1)
【解析】【分析】
根据公因式定义，对两个多项式分别因式分解后，即可找出它们的公因式．
本题考查了公因式的定义以及因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【解答】
解：①ax2−a=a(x2−1)=a(x+1)(x−1)；
②2x2−4x+2=2(x2−2x+1)=2(x−1)2；
∴它们的公因式为：(x−1)，
故答案为：(x−1)．
14.【答案】2a(a+1)(a−1)
【解析】解：2a3−2a
=2a(a2−1)
=2a(a+1)(a−1)，
故答案为：2a(a+1)(a−1)．
先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法和公式法，掌握a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．
15.【答案】②④
【解析】解：①8bc6a=4bc3a，原分式不是最简分式；
②a2+b2a+b，是最简分式；
③4a2−b22a−b=(2a−b)(2a+b)2a−b=2a+b，原分式不是最简分式；
④a−ba+b，是最简分式；
故答案为：②④．
直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
16.【答案】−或÷
【解析】解：x2x−1+xx−1=x2+xx−1，
x2x−1−xx−1=x2−xx−1=x(x−1)x−1=x，
x2x−1⋅xx−1=x3(x−1)2，
x2x−1÷xx−1=x2x−1⋅x−1x=x，
故答案为：−或÷．
分别计算出+、−、×、÷时的结果，从而得出答案．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17.【答案】 7
【解析】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=3，AD=4，
∴CD= AD2−AC2= 7，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC= 7．
故答案为： 7．
作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出CD的长，根据角平分线的性质解答即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18.【答案】256
【解析】解：设CE=x，
∵DE是线段AB的垂直平分线且AC=3，
∴BE=AE=AC+CE=3+x，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
在Rt△ACE中，
∵BE²=BC²+CE²，
∴(3+x)²=4²+x²，
解得：x=76，
∴BE=3+76=256，
故答案为：256．
△BCE是直角三角形，即满足勾股定理BC²+CE²=BE²，设CE=x，由线段垂直平分线的性质得，BE=AE=3+x，代入BE²=BC²+CE²，即可解决问题．
本题考查了线段的垂直平分线的性质和勾股定理的应用，解本题关键利用线段垂直平分线的性质和勾股定理建立方程．
19.【答案】解：(m−m+9m+1)÷m2+3mm+1
=m(m+1)−(m+9)m+1⋅m+1m(m+3)
=m2+m−m−91⋅1m(m+3)
=(m+3)(m−3)m(m+3)
=m−3m，
当m= 3时，原式= 3−3 3=1− 3．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求．

(2)点A2(3,5)，B2(3,0)，C2(6,3)．
【解析】(1)根据平移的性质作图可得△A1B1C1，根据轴对称的性质作图可得△A2B2C2．
(2)由图可得点A2，B2，C2的坐标．
本题考查作图−平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移和轴对称的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：设甲种玩具至少要购买x件，由题意得，
15x+25(50−x)≤1000，
解得：x≥25．
∴甲种玩具至少要购买25件．
故答案为：25．
【解析】设甲种玩具至少要购买x件，根据甲、乙两种玩具的进价表示出甲乙两种商品的进价之和不超过1000元建立不等式求出x的值即可求出结论．
本题考查一元一次不等式的运用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)1−12(3−x)解第一个不等式得：x>−1，
解第二个不等式得：x≤4，
∴原不等式组的解集为−1在数轴上表示如下：

(2)设商场购进第一批“小金龙”每件的进价为x元，则购进第二批“小金龙”每件的进价为(x+3)元，
由题意得：6600x+3=3000x×2，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意，
答：商场购进第一批“小金龙”每件的进价为30元．
【解析】(1)求出两个不等式的解集，即可解决问题；
(2)设商场购进第一批“”每件的进价为x元，则购进第二批“小金龙”每件的进价为(x+3)元，根据“商场用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具，面市后供不应求，商场又用6600元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍”，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的解法，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每个甲商品的进价为x元，则每个乙商品的进价为(x+2)元，
依题意得：80x=100x+2，
解得：x=8，
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意，
∴x+2=8+2=10．
答：每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元．
(2)设购进m个乙商品，则购进(3m−5)个甲商品，
依题意得：3m−5+m≤95，
解得：m≤25．
答：商场最多购进乙商品25个．
【解析】(1)设每个甲商品的进价为x元，则每个乙商品的进价为(x+2)元，利用数量=总价÷单价，结合用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲商品的进价，再将其代入(x+2)中即可求出乙商品的进价；
(2)设购进m个乙商品，则购进(3m−5)个甲商品，根据购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，

∵E是BC中点，
∴BE=CE，
在△BEG和△CEH中，
BE=CE∠BEG=∠CEHGE=EH，
∴△BEG≌△CEH(SAS)，
∴∠BGE=∠H，BG=CH，
∴∠BGE=∠FGA=∠H，
∵CF=BG，
∴CH=CF，
∴∠F=∠H=∠FGA，
∵EF/​/AD，
∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠FGA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠BAC．
【解析】延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证△BEG≌△CEH，即可求得∠F=∠FGA，即可求得∠CAD=∠BAD，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BEG≌△CEH是解题的关键．
25.【答案】△AOE
【解析】(1)解：∵点A的坐标是(−5,0)，点B的坐标是(0,5)，
∴OA=OB=5，
∵AD⊥CB，
∴∠ADB=∠AOE=90°，
∵∠AEO=∠BED，
∴∠OAE=∠OBC，
在△AOE和△BOC中，
∠OAE=∠OBCAO=BO∠AOE=∠BOC，
∴△AOE≌△BOE(ASA)，
故答案为：△AOE；
(2)证明：如图1中，过点O作OM⊥AE于M，ON⊥BC于N，
(1)可知，∠OBC=∠OAE，OA=OB，
∵OM⊥AE，ON⊥BC，
∴∠OMA=∠ONB=90°，
在△BON和△AOM中，
∠ONB=∠AMO∠OBN=∠OAMOB=OA，
∴△BON≌△AOM(AAS)，
∴ON=OM，
∴DO平分∠ADC．
(3)解：过点F作FH⊥y轴，垂足为H，可得，∠FHB=90°，
∵BF⊥BC，
∴∠CBF=90°，
∠CBO+∠FBG=90°，
∠HFB+∠FBG=90°，
∴∠CBO=∠HFB，
在△BOC和△FHB中，
∠BOC=∠FHB∠OBC=∠FBHBC=FB，
∴△BOC≌△FHB(AAS)，
∴FH=OB=OA，HB=OC，
在△AOG和△FHG中，
∠AOG=∠FHG∠AGO=∠FGHGA=GF，
∴△AOG≌△FHG(AAS)，
∴OG=GH=74，
OH=72，
OC=BH=OB−OH=5−72=32．
(1)根据ASA证明△AOE≌△BOE(ASA)，可得结论；
(2)如图1中，过点O作OM⊥AE于M，ON⊥BC于N，证明△BON≌△AOM(AAS)，推出ON=OM，可得结论；
(3)过点F作FH⊥y轴，垂足为H，证明△BOC≌△FHB(AAS)，推出FH=OB=OA，HB=OC，证明△AOG≌△FHG(AAS)，推出OG=GH=74，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26.【答案】解：2(5x+3)≤x−3(1−2x)，
去括号，得10x+6≤x−3+6x，
移项，得10x−x−6x≤−6−3，
合并同类项，得3x≤−9，
系数化为1，得x≤−3．
【解析】先去括号、移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得到不等式的解集．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．