2024年广东省广州市天河中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省广州市天河中学中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是( )
A. aB. bC. cD. d
2.如图是某个几何体的展开图，该几何体是( )
A. 三棱柱
B. 三棱锥
C. 四棱柱
D. 圆柱
3.下列计算正确的是( )
A. 12=3 2B. (−a2)2=−a4C. 3ab−ab=2D. 2−2=14
4.将直线y=3x沿y轴向上平移3个单位，得到的直线与y轴的交点坐标为( )
A. (3,0)B. (−3,0)C. (0,3)D. (0,−3)
5.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点O是内心，则∠BOC的度数是( )
A. 50°B. 100°C. 115°D. 120°
6.如图，点A(3,n)在双曲线y=3x上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C.线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是( )
A. 8
B. 6
C. 1+2 3
D. 4
7.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，则∠PBC的度数是( )
A. 22.5°B. 45°C. 25°D. 67.5°
8.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴交于A、B两点，弦CD⊥AB，AC与y轴相交于点P，若点A的坐标为(4a,0)，且AP=2PC.则弦CD的长为( )
A. 4a
B. −4a
C. −2 3a
D. −4 3a
9.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=−2.下列说法错误的是( )
A. c−3a>0
B. 4a−2b⩾m(am+b)(m为全体实数)
C. 4a2−2ab⩾at(at+b)(t为全体实数)
D. 若图象上存在点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，当n10.如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点.若AB= 3，AD=1.以下结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC=3− 32；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为12.其中正确结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.函数y= 2x−3的自变量x的取值范围是______．
12.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被一片草地隔开.若测得AB的长为1km，则M，C两点间的距离为______km．
13.不等式组2x−1>03x−114.如图，△ABC为等边三角形，AB=2 3，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则点P运动的路径长为______．
15.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B(1,0)，C(0,3).点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，则a的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
16.解方程：x(x−2)+x−2=0．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．
18.(本小题6分)
中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
(2)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
19.(本小题8分)
已知M=(1a−b−1a+b)÷ab2a2−b2．
(1)化简M；
(2)如图，a，b分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥的侧面积为24π，求M的值．
20.(本小题8分)
为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．
(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1千米)(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
21.(本小题8分)
如图，直线y=kx+2与双曲线y=1.5x相交于点A、B，已知点A的横坐标为1．
(1)求直线y=kx+2的解析式及点B的坐标；
(2)以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC.求经过点C的双曲线的解析式．
22.(本小题10分)
如图，BD是矩形ABCD的对角线．
(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F.若直线CF与⊙A相切于点G．
①求证：四边形AEFG是正方形；
②求tan∠ADB的值．
23.(本小题12分)
平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−3ax+1与y轴交于点A．
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)若−1≤x≤3，y有最大值为3，求a的值；
(3)已知点P(0,2)、Q(a+2,1)，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
24.(本小题12分)
如图，在等腰△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC，D是边AC中点，E是线段AD上的一动点，边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等腰直角三角形；
(2)延长FA，交射线BE于点G．
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数：如果不能，请说明理由；
②若AB= 3+3，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了有理数大小的比较方法，数轴以及绝对值的定义．根据数轴的特征，以及绝对值的含义即可判断出这四个数绝对值的大小．
【解答】
解：根据绝对值的定义，距离原点越远绝对值越大可知这四个数中，绝对值最大的是a．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，
故选：A．
通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、 12=2 3，故该项不正确，不符合题意；
B、(−a2)2=a4，故该项不正确，不符合题意；
C、3ab−ab=2ab，故该项不正确，不符合题意；
D、2−2=14，故该项正确，符合题意；
故选：D．
根据幂的乘方与积的乘方法则、算术平方根的性质、合并同类项的方法、负整数指数幂法则进行解题即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、算术平方根、合并同类项、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：将直线y=3x沿y轴向上平移3个单位，得到的直线y=3x+3，
当x=0时，y=3，
∴平移后的直线与y轴的交点坐标为(0,3)，
故选：C．
根据一次函数平移的性质，可得平移后的解析式，进一步即可求出直线与y轴交点坐标．
本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数平移的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，
∴∠OBC=∠ABO=12∠ABC=25°，∠OCB=∠ACO=12∠ACB=40°，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−25°−40°=115°，
故选：C．
由点O是△ABC的内心，求得∠OBC=12∠ABC=25°，∠OCB=12∠ACB=40°，则∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=115°，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的内心的定义、三角形内角和定理等知识，求得∠OBC=12∠ABC=25°，∠OCB=12∠ACB=40°是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵点A(3,n)在双曲线y=3x上，
∴n=1，
∴A(3,1)，
∴OC=3，AC=1．
∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=3+1=4．
故选：D．
先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC=3，AC=1，再根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和线段中垂线的性质，将求△ABC的周长转换成求OC+AC是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由正方形ABCD，菱形BEFD，
得∠DBC=45°，∠PBC=12∠DBC=12×45°=22.5°．
故选：A．
由正方形ABCD，菱形BEFD，即可得∠DBC=45°，∠PBC=12∠DBC=12×45°=22.5°．
本题主要考查了正方形的性质，解题关键是正确应用菱形的性质．
8.【答案】D
【解析】解：连接OC，CD交AB于E点，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
∵点A的坐标为(4a,0)，
∴OC=OA=−4a，
∵OP//CE，
∴OAOE=APPC=2PCPC=2，
∴OE=12OA=−2a，
在Rt△OCE中，CE= OC2−OE2= (4a)2−(−2a)2=−2 3a，
∴CD=2CE=−4 3a.
故选：D．
连接OC，CD交AB于E点，如图，先根据垂径定理得到CE=DE，再利用平行线分线段成比例定理得到OE=12OA=−2a，然后利用勾股定理计算出CE，从而得到CD的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了坐标与图形性质、平行线分线段成比例定理和勾股定理．
9.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线x=−2，
∴−b2a=−2，
∴b=4a，代入原解析式得：y=ax2+4ax+c，
由图象可得：当x=−1时，y>0，
即：a×(−1)2+4a×(−1)+c>0，
∴c−3a>0，故A正确；
∵x=−2时，函数有最大值4a−2b+c≥am2+bm+c，
即4a−2b⩾m(am+b)，故B正确；
∵t为全体实数时，4a−2b⩾t(at+b)，a<0，
∴4a2−2ab≤at(at+b)(t为全体实数)，故C错误；
由题意得：x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，
从图象上看，由于二次函数具有对称性，x1、x2关于直线x=−2对称，
∴当且仅当n<−2当n即m的取值范围为−5故选：C．
由抛物线的对称轴得出b=4a，由图象可得，当x=−1时，y>0，即可判断A；利用二次函数的最值即可判断B；根据二次函数的最值以及a的符号即可判断C；利用二次函数的对称性即可判断D．
本题主要考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA=CA，DA=EA，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
BA=CA∠BAD=∠CAEDA=EA
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，故①正确；
设∠ABD=∠ACE=x，∠DBC=45°−x，
∴∠EMB=∠DBC+∠BCM=∠DBC+∠BCA+∠ACE=45°−x+45°+x=90°，
∴BD⊥CE，故②正确；
当点E在BA的延长线上时，如图：
同理可得∠DMC=90°，
∴∠DMC=∠EAC，
∵∠DCM=∠ECA，
∴∠DCM∽△ECA
∴MCAC=CDEC，
∵AB= 3=AC，AD=1=AE，
∴CD=AC−AD= 3−1，CE= AE2+AC2=2，
∴MC 3= 3−12，
∴MC=3− 32，故③正确；
④以A为圆心，AD为半径画圆，如图：
∵∠BMC=90°，
∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，
∴∠ADM=∠DME=∠AEM=90°，
∵AE=AD，
∴四边形AEMD是正方形，
∴MD=AE=1，
∵BD= AB2−AD2= ( 3)2−12= 2，
∴CE=BD= 2，BM=BD−MD= 2−1，
∴MC=CE+ME= 2+1，
∴△MBC的面积为12×( 2+1)×( 2−1)=12，故④正确，
故选：D．
证明△BAD≌△CAE可判断①，由三角形的外角的性质可判断②，证明∠DCM∽∠ECA，有MC 3= 3−12，即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，可得四边形AEMD是正方形，在Rt△MBC中，MC=CE+EM= 2+1，然后根据三角形的面积公式可判断④．
本题考查等腰直角三角形的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，最短路径等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．
11.【答案】x≥32
【解析】解：∵2x−3≥0，
∴x≥32．
故答案为：x≥32．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】0.5
【解析】解：连接CM，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵点M是AB的中点，AB=1km，
∴CM=12AB=0.5(km)，
∴M，C两点间的距离为0.5km，
故答案为：0.5．
连接CM，利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
13.【答案】1和2
【解析】解：由2x−1>0，得：x>12，
由3x−1则不等式组的解集为12所以不等式组的整数解为1和2．
故答案为：1和2．
先分别解不等式，求出不等式组的解集，即可得出整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】4π3
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2 3，
∴∠PAB+∠PAC=60°，
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP=60°，
∴∠APC=120°，
∴P的运动路线是弧AC，如图所示，
过O作OH⊥AC于H，连接OC，OA，
∴AH=12AC=12×2 3= 3，
∵OA=OC，
∴∠OAH=∠OCH，
∵∠AOC=360°−2×120°=120°，
∴∠OAH=12×(180°−120°)=30°，
∴OH= 33AH=1，
∴OB=2OH=2，
∴弧AC的长=120π×2180=4π3．
∴点P运动的路径长为4π3．
故答案为：4π3．
由等边三角形的性质推出AC=AB=2 3，∠PAB+∠PAC=60°，得到∠PAC+∠ACP=60°，求出∠APC=120°，得到P的运动路线是弧AC，过O作OH⊥AC于H，连接OC，OA，由垂径定理得到AH=12AC= 3，求出∠AOC=120°，得到∠OAH=30°，求出OH= 33AH=1，得到OB=2OH=2，由弧长公式求出弧AC的长，.即可得到点P运动的路径长．
本题考查等边三角形的性质，圆周角定理，弧长的计算，垂径定理，含30度角的直角三角形，关键是求出∠APC=120°，得到P的运动路线是弧AC．
15.【答案】3+ 172【解析】解：将点B(1,0)，C(0,3)代入y=x2+bx+c，
∴1+b+c=0c=3．
∴b=−4c=3．
∴二次函数为y=x2−4x+3．
∴抛物线的对称轴是直线x=−−42=2．
①当a>0时，如图所示，过点C作CG⊥AC交x=2于点G，当点Q与点G重合时，△ACQ是直角三角形，当∠AQC=90°时，△ACQ是直角三角形，
设AC交x=2于点H，
∵直线AC的解析式为y=−x+3，
则H(2,1)，
∴CH= 22+(3−1)2=2 2．
∴∠CHG=∠OCH=45°，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴HG= 2CH= 2×2 2=4．
∴G(2,5)，
设Q(2,q)，则AQ2=12+q2，CQ2=22+(q−3)2=q2−6q+13，
∵AC2=32+32=18，
∴18=q2−6q+13+12+q2，
解得：q=3− 172(舍去)或q=3+ 172．
∴Q(2,3+ 172).
∵△QAC是锐角三角形，
∴3+ 172②当a<0时，如图所示，
同理可得AQ2+QC2=AC2，
即18=q2−6q+13+12+q2，
解得：q=3− 172或q=3+ 172(舍去)．
由(2)可得AM⊥AC时，M(2,−1)
∴−1综上所述，当△QAC是锐角三角形时，
3+ 172故答案为：3+ 172依据题意，先求出二次函数的解析式，再求得当△OAC是直角三角形时的a的值，进而观察图象，即可求解，分a>0和a<0两种情况讨论，分别计算即可求解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
16.【答案】解：x(x−2)+x−2=0，
(x−2)(x+1)=0，
x−2=0或x+1=0，
∴x1=2，x2=−1．
【解析】【分析】
把方程的左边分解因式得到(x−2)(x+1)=0，得到x−2=0或x+1=0，求出方程的解即可．
【点评】
本题主要考查解一元二次方程−因式分解法，把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
17.【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD是△ABC边BC上的高，AD是∠BAC的角平分线
∴∠CAD=∠BAD，∠ADC=∠ADB=90°
又∵BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠CBE=∠CAD
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
【解析】由AB=AC，判断出三角形ABC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．
考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
18.【答案】80 16 90°
【解析】解：(1)接受问卷调查的学生共有40÷50%=80(人)．
条形统计图中m的值为80−20−40−4=16．
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为360°×2080=90°．
故答案为：80；16；90°．
(2)列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为212=16．
(1)用条形统计图中“基本了解”的人数除以扇形统计图中“基本了解”的百分比可得接受问卷调查的学生人数；用接受问卷调查的学生人数分别减去“非常了解”“基本了解”“不了解”的人数，可得m的值；用360°乘以“非常了解”的人数所占的百分比，即可得出答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到2名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)M=(a+b)−(a−b)(a+b)(a−b)⋅(a+b)(a−b)ab2
=2b(a+b)(a−b)⋅(a+b)(a−b)ab2
=2ab；
(2)由题意得：12×2πa×b=24π，
则ab=24，
∴M=224=112．
【解析】(1)根据分式的混合运算法则化简即可；
(2)根据扇形面积公式求出ab，代入计算即可．
本题考查的是圆锥的计算、分式的化简求值，掌握扇形面积公式是解题的关键．
20.【答案】解：(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°=CDBC，BC=80千米，
∴CD=BC⋅sin30°=80×12=40(千米)，
AC=CDsin45∘=40 22=40 2(千米)，
AC+BC=80+40 2(千米)，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走80+40 2千米；
(2)∵cs30°=BDBC，BC=80(千米)，
∴BD=BC⋅cs30°=80× 32=40 3(千米)，
∵tan45°=CDAD，CD=40(千米)，
∴AD=CDtan45∘=401=40(千米)，
∴AB=AD+BD=40+40 3≈40+40×1.73=109.2(千米)，
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC−AB=136.4−109.2=27.2(千米)．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．
【解析】(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
(2)在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
21.【答案】解：(1)∵点A在双曲线y=1.5x上，且点A的横坐标为1，
∴点A的纵坐标为1.51=32，
∴点A(1,32)，
∵点A(1,32)在直线y=kx+2上，
∴k+2=32，
∴k=−12，
∴直线AB的解析式为y=−12x+2，
联立直线AB和双曲线的解析式得，y=1.5xy=−12x+2，
解得，x=1y=32(点A的纵横坐标)或x=3y=12，
∴B(3,12)；
(2)如图，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于D，过点C作CE⊥BF于E，
∴∠D=∠F=∠CEF=∠CEB=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC，
∴AC=BC，
∴△ACD≌△BCE(AAS)，
∴AD=BE，CD=CE，
设点C(m,n)，
∵A(1,32)，B(3,12)，
∴AD=n−32，CD=m−1，BE=3−m，CE=n−12，
∴n−32=3−mm−1=n−12，
∴m=52n=2，
∴C(52,2)，
设过点C的双曲线的解析式为y=k′x，
∴k′=2×52=5，
∴过点C的双曲线的解析式为y=5x．
【解析】(1)将点A的横坐标代入双曲线的解析式中，求出点A的纵坐标，在将点A的坐标代入直线AB的解析式中，求出k，最后联立直线AB的解析式和双曲线的解析式，得出方程组求解，即可得出点B的坐标；
(2)过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于D，过点C作CE⊥BF于E，得出∠DCE=90°，进而判断出∠ACD=∠BCE，即可利用AAS判断出△ACD≌△BCE，得出AD=BE，CD=CE，设点C(m,n)，求出AD=n−32，CD=m−1，BE=3−m，CE=n−12，进而建立方程组求解得出点C的坐标，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形求出点C的坐标是解本题的关键．
22.【答案】(1)解：1.过点A作AE⊥BD于点E，
2.以点A为圆心，AE的长为半径画圆⊙A，
则⊙A与BD相切．
(2)①证明：由作法知：⊙A与BD相切，
∴AE⊥BD，
∵直线CF与⊙A相切于点G，
∴CG⊥AG．
∵CF⊥BD，
∴四边形AEFG为矩形，
∵AE=AG，
∴四边形AEFG为正方形；
②设正方形AEFG的边长为m，则AE=EF=m．
设∠ADB=α，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABD+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠ADB=α．
∴BE=AE⋅tanα=mtanα．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠CDB=∠ABD，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD=90°∠ABD=∠CDBAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF=mtanα．
∴DE=EF+DF=m+mtanα．
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADB=AEDE，
∴tanα=mm+mtanα，
∴tan2α+tanα−1=0．
∴tanα=−1± 52．
∵tanα>0，
∴tanα= 5−12．
【解析】(1)1.过点A作AE⊥BD于点E，2.以点A为圆心，AE的长为半径画圆⊙A，利用圆的切线的判定定理即可得出⊙A与BD相切于点E；
(2)①利用圆的切线的性质定理得到AE⊥BD，CG⊥AG，利用矩形的判定定理得到四边形AEFG为矩形，再利用同圆的半径相等和正方形的判定定理解答即可；
②设正方形AEFG的边长为m，则AE=EF=m.设∠ADB=α，利用直角三角形的边角关系定理得到BE=AE⋅tanα=mtanα；利用矩形的性质和全等三角形的判定与性质得到BE=DF=mtanα，则DE=EF+DF=m+mtanα，最后再利用直角三角形的边角关系定理得到tanα=mm+mtanα，解关于tanα的方程即可得出结论．
本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，基本作图，圆的有关性质，圆的切线的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，熟练掌握圆的切线的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)令x=0，则y=1，
∴A(0,1)，
∵y=ax2−3ax+1=a(x−32)2+4−9a4，
∴抛物线的对称轴为x=32．
(2)∵y=ax2−3ax+1=a(x−32)2+4−9a4，
∴抛物线顶点坐标为(32,4−9a4)，
①当a>0时，抛物线开口向上，
∵32−(−1)>2−32，
∴x=−1时，y=a+3a+1=4a+1为最大值，
即4a+1=3，
解得a=12．
②当a<0时，抛物线开口向下，
x=32时，y取最大值．
∴4−9a4=3，
解得a=−89．
综上所述，a=12或a=−89．
(3)∵抛物线y=ax2−3ax+1的对称轴为x=32．
设点A关于对称轴的对称点为点B，
∴B(3,1)．
∵Q(a+2,1)，
∴点Q，A，B都在直线y=1上．
①当a>0时，如图，

当点Q在点A的左侧(包括点A)或点Q在点B的右侧(包括点B)时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∴a+2≤0或a+2≥3．
∴a≤−2(不合题意，舍去)或a≥1．
②当a<0时，如图，当Q在点A与点B之间(包括点A，不包括点B)时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．

∴0≤a+2<3．
∴−2≤a<1．
又∵a<0，
∴−2≤a<0．
综上所述，a的取值范围为−2≤a<0或a≥1．
【解析】(1)令x=0可求点A坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴．
(2)根据抛物线开口方向及对称轴为直线x=32，分类讨论x=−1时y取最大值或抛物线顶点纵坐标为最大值．
(3)由点P为顶点，点Q在直线y=1上运动，通过数形结合求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解．
24.【答案】(1)证明：如图：

∵∠ABC=120°，∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=120°−15°=105°，
∵边BC关于BE对称的线段为BF，
∴∠EBF=∠EBC=105°，BC=BF，
∴∠ABF=∠EBF−∠ABE=105°−15°=90°，
∵AB=BC，
∴AB=BF，
∴△ABF是等腰直角三角形；
(2)解：①△BGF能为等腰三角形，理由如下：
连接EF，如图：

∵边BC关于BE对称的线段为BF，
∴BF=BC，∠BFE=∠C，∠BEF=∠BEC，∠CBE=∠FBE，
设∠BEF=∠BEC=α，
∵∠BAC=∠C=(180°−∠ABC)÷2=(180°−120°)÷2=30°，
∴∠BFE=∠C=30°，
∴∠BFE=∠BAC=30°，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠BAF=∠BEF=α，
∵BA=BC，
∴BA=BF，
∴∠BFA=∠BAF=α，
∴∠AFE=∠BFA−∠BFE=α−30°，
∴∠BGF=∠BEF−∠AFE=α−(α−30°)=30°，
∵D为AC中点，E在线段AD上，
∴∠CBE>12∠ABC，即∠CBE>60°，
∴∠CBE>∠BGF，
∴∠FBE>∠BGF，
∴FG>BF，即FG，BF不可能是等腰三角形BGF的腰；
∵∠BAF>∠BGF，
∴∠BFA>∠BGF，
∴BG>BF，即BG，BF不可能是等腰三角形BGF的腰；
若GF，GB是等腰三角形BGF的腰，如图：

∴∠GBF=∠GFB=(180°−∠BGF)÷2=(180°−30°)÷2=75°，
∵AB=BF，
∴∠BAF=∠GFB=75°，
∴∠ABE=∠BAF−∠BGF=75°−30°=45°；
综上所述，△BGF能为等腰三角形，此时∠ABE的度数是45°；
②如图，连接CG，由①知：∠BGF=30°，

∵△BCG与△BFG关于直线BG对称，
∴△BGC≌△BGF，∠BGC=∠BGF=30°，
∴S△BGC=S△BGF，
∵BC=AB= 3+3，
∴点G在以BC为弦，所对的圆周角为30°的圆弧上运动，
设G所在圆弧的圆心为O，过点O作OH⊥BF于H，交优弧于点G′，连接OC，如图，

当点G位于点G′时，△BCG底边BC上的高最大，故△BCG的面积最大，
∵OH⊥弦BC，
∴BH=CH，即OH垂直平分BH，
∴BG′=CG′，∠BG′H=12∠BG′C=12∠BGC=15°，
∵OG′=OC，
∴∠OCG′=∠OG′C，
∴∠COH=∠OCG′+∠OG′C=30°，
∴OC=2CH=BC= 3+3，OH=CH⋅tan∠OCH= 3+32×tan60°=3+3 32，
∴S△BCG′=12BC⋅G′H=12×( 3+3)×( 3+3+3+3 32)=21+12 32，
∴△BGF面积最大值是21+12 32，
此时，点E的位置如图所示，过点E作EK⊥AB于K，

∵∠BAC=30°，
∴EK=12AE，AK= 32AE，
∵BG=CG，∠BGC=30°，
∴∠GCB=∠GBC=75°，
∴∠ABE=∠ABC−∠GBC=120°−75°=45°，
∴△BEK是等腰直角三角形，
∴BK=EK=12AE，
∵AK+BK=AB，
∴ 32AE+12AE= 3+3，
∴AE=2 3；
答：△BGF面积最大值是21+12 32，此时AE的长为2 3．
【解析】(1)由∠ABC=120°，∠ABE=15°，得∠EBC=∠ABC−∠ABE=105°，而边BC关于BE对称的线段为BF，有∠EBF=∠EBC=105°，BC=BF，故∠ABF=∠EBF−∠ABE=90°，因AB=BC，所以AB=BF，从而△ABF是等腰直角三角形；
(2)①连接EF，证明∠BFE=∠BAC=30°，可得A、E、B、F四点共圆，从而求出∠BGF=30°，由D为AC中点，E在线段AD上，知∠CBE>12∠ABC，即∠CBE>60°，可得FG>BF，即FG，BF不可能是等腰三角形BGF的腰；证明∠BFA>∠BGF，知BG>BF，即BG，BF不可能是等腰三角形BGF的腰；若GF，GB是等腰三角形BGF的腰，可得∠GBF=∠GFB=(180°−∠BGF)÷2=75°，从而可得∠ABE=∠BAF−∠BGF=45°；
②如图，连接CG，由∠BGF=30°，可得∠BGC=∠BGF=30°，又S△BGC=S△BGF，BC=AB= 3+3，知点G在以BC为弦，所对的圆周角为30°的圆弧上运动，设G所在圆弧的圆心为O，过点O作OH⊥BF于H，交优弧于点G′，连接OC，可得当点G位于点G′时，△BCG底边BC上的高最大，故△BCG的面积最大，求得∠COH=∠OCG′+∠OG′C=30°，可得OC=2CH=BC= 3+3，OH=CH⋅tan∠OCH= 3+32×tan60°=3+3 32，即得S△BCG′=12BC⋅G′H=21+12 32，从而知△BGF面积最大值是21+12 32，过点E作EK⊥AB于K，证明△BEK是等腰直角三角形，可得 32AE+12AE= 3+3，即得AE=2 3．
本题考查几何变换综合应用，涉及等腰三角形的性质，轴对称的性质，圆的性质，解直角三角形等，正确地作出辅助线是解题的关键．男
男
女
女
男
(男，男)
(男，女)
(男，女)
男
(男，男)
(男，女)
(男，女)
女
(女，男)
(女，男)
(女，女)
女
(女，男)
(女，男)
(女，女)