2024年广东省广州市天河区新昌学校中考数学一模试卷（解析版）

这是一份2024年广东省广州市天河区新昌学校中考数学一模试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了如下表所示等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若与y互为倒数，则y等于（ ）
A．﹣B．﹣5C．D．5
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（3a+b）2＝9a2+b2B．3a3+2a3＝5a6
C．a2•a4＝a8D．（2a2b）3＝8a6b3
3．（3分）著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.218×109B．2.18×108C．2.18×109D．218×106
4．（3分）点P（x，y）在第四象限，且|x|＝3，|y|＝5，则点P关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（3，﹣5）B．（﹣3，﹣5）C．（﹣5，﹣3）D．（3，5）
5．（3分）已知三角形三边的长都是整数，且周长是12，则三边的长不可能是（ ）
A．2，5，5B．3，3，6C．3，4，5D．4，4，4
6．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，添加一个条件，不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．EC＝FCB．AE＝AFC．∠BAF＝∠DAED．BE＝DF
8．（3分）如图，已知点A（2，2），将线段OA向左平移三个单位长度，则线段OA扫过的面积为（ ）
A．3B．6C．3D．6
9．（3分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，且边BC与y轴交于点M，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A，若CM＝2BM且S△OBM＝，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）分解因式：2a2﹣8＝ ．
13．（3分）如图，AO⊥OC，点B，O，D在同一条直线上，若∠1＝15°，则∠2的度数是 ．
14．（3分）二次函数y＝（k﹣1）x2﹣k的图象开口向 ．
15．（3分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1，x2，则x1•x2＝ ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED＝AB，∠E＝∠CPD．
求证：BC＝EF．
19．（6分）先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
20．（6分）某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
（1）在统计表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
22．（10分）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，进市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积xm2之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为100元/m2．
（1）请直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，如果甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
（3）在（2）的条件下，若种植总费用不小于123000元，求出甲种花卉种植面积的范围是多少？
23．（10分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离．
24．（12分）已知，△ABC内接于⊙O，AD、BD为⊙O的弦，且∠ACB+2∠ABD＝180°；
（1）如图1，求证：AD＝BD；
（2）如图2，过B作⊙O的切线交AC的延长线于E，求证：∠ABD＝∠EBD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD，若∠E＝2∠DBC，BD＝3CD，BE＝6，求CE的长度．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D．
（1）当a＝﹣1，m＝1时．
①求点D的坐标；
②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标．
（2）当m＝时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E．试判断直线AD是否经过点E？请说明理由．
2024年广东省广州市天河区新昌学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵与y互为倒数，
∴y＝5．
故选：D．
2． 解：A、原式＝9a2+6ab+b2，不符合题意；
B、原式＝5a3，不符合题意；
C、原式＝a6，不符合题意；
D、原式＝8a6b3，符合题意．
故选：D．
3． 解：218000000＝2.18×108．
故选：B．
4． 解：∵|x|＝3，|y|＝5，，
∴x＝±3，y＝±5，
∵点P（x，y）在第四象限，
∴x＞0，y＜0，
∴x＝3，y＝﹣5，
∴P（3，﹣5），
∴点P关于y轴对称点的坐标是（﹣3，﹣5）．
故选：B．
5． 解：A．∵5+2＞5，∴可以构成三角形，不合题意；
B．∵3+3＝6，∴不能构成三角形，符合题意；
C．∵3+4＞5，∴可以构成三角形，不合题意；
D．∵4+4＞4，∴可以构成三角形，不合题意；
故选：B．
6． 解：甲、丙、丁射击成绩的平均环数较大，
∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差，
∴丁比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是丁，
故选：D．
7． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
当BE＝DF时，由“SAS”可证△ABE≌△ADF；
当EC＝FC时，则BE＝DF，由“SAS”可证△ABE≌△ADF；
由∠BAF＝∠DAE时，则∠BAE＝∠DAF，由“ASA”可证△ABE≌△ADF；
当AE＝AF时，不能判定△ABE≌△ADF；
故选：B．
8． 解：∵点A（2，2），将线段OA向左平移三个单位长度，
∴线段OA扫过的面积为3×2＝6，
故选：B．
9． 解：∵CM＝2BM，S△OBM＝，
∴S△COM＝2S△OBM＝2×＝，
∴S△COB＝S△COM+S△COM＝，
∴S正方形OABC＝，
设BM＝m，则CM＝2m，
∴OC＝OA＝3m，
∴（3m）2＝，
过点A作AD⊥x轴于点D，则∠OCM＝∠ODA＝90°，
∵∠COM+∠AOM＝90°，∠AOM+∠AOD＝90°，
∴∠COM＝∠AOD，
∴△OCM∽△ODA，
∴，即，
∴，
设OD＝3a，AD＝2a，则A（3a，2a），
在Rt△OAD中，OD2+AD2＝OA2，
∴（3a）2+（2a）2＝（3m）2，
∴13a2＝，
∴a2＝，
∴k＝3a•2a＝6a2＝6×＝，
故选：D．
10． 解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），
∴﹣，
∴，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，
故①正确，符合题意；
②∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
∴﹣，
∴，
∴a＝b，
由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；
③∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，
则，
，
∴d2＞d1，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0，
∴b2﹣4ac+12a＜0，
∴b2﹣4ac＜﹣12a，
∴4ac﹣b2＞12a，
∵，
∴m＜3，
故④正确，符合题意．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：原式＝．
故答案为：．
12． 解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2），
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
13． 解：∵∠1＝15°，∠AOC＝90°，
∴∠COB＝75°，
∴∠2＝180°﹣∠COB＝105°．
故答案为：105°．
14． ∵y＝（k﹣1）x2﹣k为二次函数，
∴2﹣k＝2，
∴k＝0，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2，
∵﹣1＜0，
∴该二次函数的图象开口向下．
故答案为：下．
15． 解：根据题意得x1•x2＝﹣4．
故答案为﹣4．
16． 解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：
在y＝x+中，令x＝0得y＝,
∴C(0,),OC＝,
在y＝x+中令y＝0得x+＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA•cs30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：原式＝1﹣（2﹣）﹣2﹣2×
＝1﹣2+﹣2﹣
＝﹣3．
18． 证明：∵AB∥DF，
∴∠B＝∠CPD，∠A＝∠FDE，
∵∠E＝∠CPD．
∴∠E＝∠B，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
∴BC＝EF．
19． 解：
＝•
＝，
当x＝0时，
原式＝＝﹣．
或者，当x＝2时，
原式＝＝﹣1．
20． 解：（1）抽取的学生人数为：10÷＝50（人），
∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15，
∴a＝50﹣20﹣15﹣10＝5，
故答案为：5，0.4，15；
（2）∵A段的男生比女生少1人，A段的学生共有5人，
∴男生2人，女生3人，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有12种，
∴恰好选到1名男生和1名女生的概率＝＝．
21． （1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），
∴a+＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝（x＞0），
得：3＝，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点C的坐标为（4，）．
22． 解：（1）当0≤x≤300是，设y＝kx，根据题意得300k＝39000，
解得k＝130；
∴y＝130x；
当x＞300时，设y＝k1x+b，
根据题意得，，
解得，
∴y＝80x+15000．
∴y＝；
（2）设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为（1200﹣a）m2．
∴，
∴200≤a≤800，
当200≤a≤300时，W1＝130a+100（1200﹣a）＝30a+120000．
当a＝200 时．Wmin＝126000 元
当300＜a≤800时，W2＝80a+15000+100（1200﹣a）＝135000﹣20a．
当a＝800时，Wmin＝119000 元
∵119000＜126000
∴当a＝800时，总费用最少，最少总费用为119000元．
此时乙种花卉种植面积为1200﹣800＝400m2．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2 和400m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元．
（3）根据题意得135000﹣20a≥123000，
解得a≤600．
∴甲种花卉种植面积的范围是200≤a≤600．
23． 解：（1）如图所示：点C即为所求；
（2）①证明：∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵C是点A关于BD的对称点，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
②过B点作BF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD＝5，
∵E是BC的中点，OA＝OC，
∴BC＝2OE＝13，
∴OC＝＝12，
∴OA＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝13，
∴BF＝×12×5×2×2÷13＝，
故点E到AD的距离是．
24． （1）证明：如图1，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∵∠ACB+2∠ABD＝180°，
∴∠ADB+2∠ABD＝180°，
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD；
（2）证明：如图2，
作直径BF，连接DF，
∴∠BDF＝90°，
∴∠F+∠DBF＝90°，
∵BE是⊙O的切线，
∴BF⊥BE，
∴∠EBF＝90°，
∴∠EBD+∠DBF＝90°，
∴∠EBD＝∠F，
∵＝，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠EBD＝∠BAD，
由（1）知，∠BAD＝∠ABD，
∴∠EBD＝∠ABD；
（3）解：如图3，
由（2）知：∠EBD＝∠BAD，
∴∠EBD﹣∠CBD＝∠BAD﹣∠CAD，
∵＝，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠EBC＝∠BAC，
设∠DBC＝∠DAC＝α，∠EBC＝∠BAC＝β，
∴∠E＝2α，∠ABD＝∠BAD＝α+β，
∴∠ABC＝∠DBC+∠ABD＝2α+β，
∵∠ACB＝∠E+∠EBC＝2α+β，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
在AC上截取AG＝BC，
∵AD＝BD，
∴△DAG≌△DBC（SAS），
∴CD＝DG，∠ADG＝∠BDC，
∴∠ADG+∠BCG＝∠BDC+∠BDG，
∴∠ADB＝∠CDG，
∵＝＝1，
∴△CDG∽△BDA，
∴＝＝，
∴CG＝AB＝，
∴BC＝AG＝AC＝AB，
∵∠E＝∠E，∠EBC＝∠BAC，
∴△EBC∽△EAB，
∴＝＝，
∴＝，
∴EC＝4．
25． 解：（1）①当a＝﹣1，m＝1时，y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+；
∴点D的坐标为（﹣，）；
②∵y＝﹣x2﹣x+2，当y＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝0，解得x＝﹣2或1，故点A的坐标为（﹣2，0），
设直线AD的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
∴直线AD的表达式为：y＝x+3，
∵F为线段AD上一动点，
设点F的横坐标为t，
∵FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，
∴点P的横坐标也为t，点P的纵坐标为﹣t2﹣t+2，
∴P（t，﹣t2﹣t+2），H（t，0）
∴PH+OH＝﹣t2﹣t+2﹣t＝﹣（t+1）2+3，
∴当t＝﹣1时，PH+OH有最大值，
当t＝﹣1时，y＝×（﹣1）+3＝
∴F（﹣1，）；
（2）直线AD经过点E，理由：
∵m＝，
∴y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am＝a（x+）2﹣，
∴D（﹣，﹣），
则y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am＝a（x﹣）2﹣，
∴E（，﹣），
令y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am＝a（x+）2﹣＝0，解得x＝﹣2或，
∴A（﹣2，0）
设直线AD的表达式为：y＝mx+n，则，解得，
∴直线AD的表达式为y＝﹣x﹣，
当x＝时，y＝﹣x﹣＝﹣，
∴点E在直线AD上
∴直线AD经过的点E．
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
分段
成绩范围
频数
频率
A
90～100
a
m
B
80～89
20
b
C
70～79
c
0.3
D
70分以下
10
n