2024年甘肃省康县阳坝镇初级中学九年级下学期模拟数学试题（原卷版+解析版）

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1. 4的平方根是（ ）
A. 16B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴4的平方根是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根，如果，那么x叫做a的平方根，熟记平方根的定义是解题的关键．
2. 如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，那么点表示的数是( )．

A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用数轴结合点位置进而得出答案．
【详解】解：∵数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，
∴点表示的数是：3
故选D．
【点睛】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．
3. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4. 已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A. B. 2a=3bC. D. 3a=2b
【答案】B
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：由得，3a=2b，
A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意；
B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意；
C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
5. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得解．
【详解】解：去分母得：，
解得，
经检验是分式方程的解．
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
6. 如图，足球图片正中黑色正五边形的内角和是( )．
A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式即可求出结果．
【详解】解：黑色正五边形的内角和为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：D．
8. 如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得，且
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
9. 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
【详解】连接DC，
∵
∴∠DOC=90°，OD=1，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选B．
【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．
10. 如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为( )．

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3．
∴，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或3，
因为，即，
所以．
故选B．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解：_____．
【答案】．
【解析】
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
12. 将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．
【答案】 ①. ②. ③. 内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可．
【详解】解：一副三角板如图摆放，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案：；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．
13. 如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品A被传送___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是弧长的计算，传送带上的物品A被传送的距离等于转动轮旋转的弧长，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解： 传送带上的物品A被传送的距离等于转动轮旋转的弧长，
(cm)．
故答案为：
14. 函数中，自变量x取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数不小于零，分母不为零即可求解．
【详解】由题意得：
解得：
故答案为：．
15. 将二次函数化成的形式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
16. 如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=_____．
【答案】
【解析】
【分析】通过∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了．
【详解】∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=90°，
∴OA2+OC2=AC2．
∴OA2+OA2=（2）2．
∴OA=．
故⊙O的半径为．
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共7小题，共46分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，难度不大，属于基础题型．解题的关键在于熟悉运算法则和因式分解．
19. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
20. 已知：在中，．
(1)求作：的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则 ．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】(1)作线段的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
(2)在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：(1)如图即为所求．

(2)设线段的垂直平分线交于点．
由题意，
在中，，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）

【答案】“龙”字雕塑的高度为．
【解析】
【分析】在和中，分别求得和的长，据此求解即可.
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴,
答：“龙”字雕塑的高度为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22. 2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：．“解密世园会”、．“爱我家，爱园艺”、．“园艺小清新之旅”和．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
(1)李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】(1)由概率公式即可得出结果；
(2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，
∴在四条线路中，李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是；
(2)画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，
∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
23. 为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学生)的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
分析数据：
应用数据：
(1)由上表填空：a= ，b= ，c= ，d= ．
(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
(3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
【答案】(1) 11 ， 10 ， 78 ， 81 ；(2)90人；(3) 八年级总体水平较好
【解析】
【分析】(1)根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
(2)利用样本估计总体思想求解可得；
(3)答案不唯一，合理均可．
【详解】解：(1)由题意知，
将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，
∴其中位数，
八年级成绩的众数，
故答案为11，10，78，81；
(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有(人)；
(3)八年级的总体水平较好，
∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，
∴八年级得分高的人数相对较多，
∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好(答案不唯一，合理即可)．
【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
24. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)已知点，过点作平行于轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点，交反比例函数上的图象于点．若，结合函数图象直接写出的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)根据图象可解．
【详解】解：(1)∵反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于两点，
∴，
∴，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为；
(2)由图象可得：当时，．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
25. 如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．

【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】(1)连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线；
(2)连接，推出是等边三角形，得到，求得，得到，于是得到结论．
【详解】(1)证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
(2)解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26. 已知正方形，，为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：；
【类比应用】
（2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质以及题意证明即可得出结论；
（2）根据已知条件证明，然后证明为等腰直角三角形即可得出结论；
（3）先证明，得出为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出的长度，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，，，三点共线，
∴,
∵，
∴，
∴,
在和中，
,
∴,
∴;
（2）∵，四边形是正方形，
∴,,
∴,
∵，，
∴,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
即；
（3）过点D作于点H，连接BD，
∵，
∵，
∴，
∵,
∴，
在和中，
,
∴,
∴，，
∵且,
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，,
∴,
∵是正方对角线，
∴,
∵
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
∴在中，,
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键．
27. 如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
【答案】（1））y=﹣x2+2x+3
（2）（，）
（3）当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【小问1详解】
解：将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得
二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；
【小问2详解】
若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
∴
∴点P的纵坐标，
当时，即
解得（不合题意，舍），
∴点P的坐标为
【小问3详解】
如图2，
P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，
解得，
直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
OA=1，

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ



当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，，即P点的坐标为
当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
b
2
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
八年级
78
80.5