数学：浙江省湖州市南浔区2024年中考二模试题（解析版）

这是一份数学：浙江省湖州市南浔区2024年中考二模试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列数中是无理数的是（ ）
A B. C. D. 1.001
【答案】A
【解析】是无理数，、、1.001是有理数，
故选：A．
2. 2024年4月30日神州十七号飞船返回舱成功着陆，带回了重量约的科学实验样品．数据31500用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】这个“堑堵”的俯视图是A图，
故选：A．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. “清明时节雨纷纷”是必然事件
B. 调查某地区的水质情况，适合全面调查
C. 从一个不透明且装有形状相同红球、黑球的袋子里摸出一个球，一定是红球
D. 教练想要了解几名运动员射击成绩的稳定性，需要了解他们成绩的方差
【答案】D
【解析】A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故A不符合题意；
B、调查某地区的水质情况，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、从一个不透明且装有形状相同的红球、黑球的袋子里摸出一个球，可能是红球，可能是黑球，故C不符合题意；
D、教练想要了解几名运动员射击成绩的稳定性，需要了解他们成绩的方差，故D符合题意；
故选：D．
5. 如图，，，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
6. 根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误；
B． ，故原选项错误；
C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确；
D．，故原选项错误；
故选C．
7. 小芳家新房装修，厨房采用彩色地砖和单色地砖搭配使用，彩色地砖24元/块，单色地砖12元/块，购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元，求购买的彩色地砖数和单色地砖数．若设彩色地砖数是，单色地砖数是，则列的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块
∴
∵买两种地砖共花去2220元
∴．
故方程组为；
故选：B．
8. 如图，一个零刻度落在点的量角器（半圆）的直径为，等腰直角三角尺的一顶点与点重合，它的斜边与半圆交于点，直角边与半圆交于点．若点在量角器上的读数为，则点在量角器上的读数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，，如图所示，
点C在量角器上的读数为，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
则点D在量角器上的读数为，
故选：C．
9. 如图1是我国传统的计重工具—秤，当秤钩处挂上物品，移动秤砣使得秤杆处于水平位置时即可称出物品的重量，这用到了杠杆原理（如图2杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．已知一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，已知秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，则关于的函数关系图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，
∴根据平衡条件可得：，
整理得：，
∴y是的正比例函数，
把代入得：，
∴图象经过点，
∴C选项的函数图象符合题意，
故选：C．
10. 龙龙设计了一个翻牌游戏：现有对应着编号为的150张数字牌，牌分为“正面”和“反面”两种状态，每翻一次改变相对应数字牌的状态，所有牌的初始状态为“反面”．第1次把所有编号是1的整数倍的数字牌翻一次，第2次把所有编号是2的整数倍的数字牌翻一次，第3次把所有编号是3的整数倍的数字牌翻一次，，第150次把所有编号是150的整数倍的数字牌翻一次．问最终状态为“正面”的数字牌共有（ ）
A. 9张B. 10张C. 11张D. 12张
【答案】D
【解析】所有牌的初始状态为“反面”，翻奇数次，则状态为“正面”，翻偶数次，则状态为“反面”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144；有12个数，故有12张牌被翻奇数次，为“正面”的状态；
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】=；
故答案为
12. 小文购买了4张主题是“立春”，“立夏”，“秋分”，“大寒”的邮票，将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），从中抽到一张邮票恰好是“立夏”的概率是______．
【答案】
【解析】∵一共有四张邮票，其中写有“立夏”的邮票有1张，并且每张邮票被抽到的概率相同，∴从中抽到一张邮票恰好是“立夏”的概率是，
故答案为：．
13. 如图，一圆形石拱桥的半径为，当水面宽为时，拱顶到水面的距离是______m．
【答案】8
【解析】根据题意得，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即石拱桥的桥顶到水面的距离为，
故答案为：8．
14. 如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连结并延长，交于点．已知，，则为______度．
【答案】
【解析】∵，平分，∴，
∵，∴；
故答案为：
15. 在平面直角坐标系中，当点不在坐标轴上时，我们定义的影子点为．已知点的坐标为，且满足方程组（为常数），若点的影子点是，已知点正好落在一次函数的图象上，则的值是______．
【答案】
【解析】∵，即
∴，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
∴点的影子点的坐标为，即点的坐标为，
将点代入一次函数得：，
解得：，
故答案为：．
16. 如图是由四个全等直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长，交于点，若，正方形和正方形的面积分别记为，则的值为______；的值为______．

【答案】13
【解析】设，则，，
由全等三角形的性质可知，，
由勾股定理可知，，
由正方形的性质可知，，
则，
延长交于，则，
∴，
则，则，，
∴，，

∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
故答案为：13；．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）原式；
（2）原式．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
解：（1）∵点是直线与反比例函数交点，
∴点坐标满足一次函数解析式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵轴，
∴，轴，
∴，
令，则，∴，∴，
∴，∴的面积为6
19. 如图，在平行四边形中，，，且．
（1）求证：平行四边形为菱形；
（2）以点为圆心，长为半径作，交于点．若，，求图中阴影部分面积．（结果保留）
（1）证明：在平行四边形中，，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵，，∴，
在菱形中，，∴，则，
∴阴影部分面积．
20. 如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．
（1）求出遮阳棚前端到墙面的距离；
（2）已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？
（结果精确到0.01，参考数据：，，，）
解：（1）如图：过点M作，垂足为N，
在，米，，
，
∴米．
答：遮阳棚前端M到墙面的距离为米．
（2）如图：过点E作，垂足为H，
在，米，，
∴米，
∵米，∴米，
由（1）可知米，
∵米，米，米，
在中，米，
米．
答：加装的前挡板的宽度的长是米．
21. 某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取20名，进行满意度调查打分（满分10分，只打整数分），并对分数整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
（ⅰ）甲民宿20名顾客的满意度分数为：
（ⅱ）乙民宿20名顾客的满意度分数条形统计图如下图所示：
乙民宿抽取的顾客满意度分数条形统计图
甲、乙民宿满意度分数统计表
（ⅲ）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、9分及9分以上人数所占百分比如上表所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出上述表中的的值；
（2）五一假期期间，共有80人入住甲民宿，60人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有多少人？
（3）根据以上表中信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？用尽可能多的统计量说明理由．
解：（1）由题意可知9分及9分以上人数所占百分比，
乙民宿顾客满意度分数出现次数最多的是8分，共出现5次，因此甲民宿顾客满意度分数的众数是8分，即，
将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是8分，即，
故：，，；
（2）人，
答：入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有50人；
（3）甲民宿，理由：甲民宿顾客满意度分数的平均数、9分及9分以上的人数都比乙民宿顾客满意度分数的平均数、9分及9分以上的人数要大，因此选择甲民宿．
22. 数学兴趣小组在对一张矩形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索．已知矩形纸片的边长，，折痕始终经过点．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）计算折法一中的长度．
（2）请根据折法二完成下列任务：
①任务一：求证是等腰三角形；
②任务二：计算的长度．
解：（1）在矩形中，，
∵，，则，，
∴，
由折叠可知，，
∵点的落点恰好落在对角线上
∴；
（2）①证明：在矩形中，，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②在矩形中，，，，
由折叠可知，，，
即：，
又∵，
∴，
设，则，
在中，，即：，
解得：，
∴．
23. 已知二次函数．
（1）若它的图象经过点和点．
①求该二次函数的表达式；
②当自变量的值满足时，求的取值范围．
（2）若它的图象经过点，，，且，求的取值范围．
解：（1）①将点和点代入，
得：，解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵，
∴当时，；当时，；当时，；
则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，；
（2）∵图象经过点，，，
∴对称轴是直线，
当时，，即图象经过点，
∵，即抛物线开口向下，
∴在对称轴直线左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧是随的增大而减小．
∵图象经过点，，且，
∴，，在对称轴直线的左侧或两侧．
①当，在对称轴直线的左侧，
∵也在对称轴直线的左侧，且，
∴，
∴；
②，在对称轴直线的两侧，
∴在左侧，，在右侧．
∵，离对称轴越近，函数值越大
∴，
∴；
综上，或．
24. 如图，已知在等腰三角形中，，过点作射线，点是延长线上的一个动点，连结，交于点．

（1）求证：；
（2）如图2，过点作，分别交于点和点，连结，交于点，连结．已知．
①若与相切，求的长；
②是否存在点，使得四边形是平行四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①连接交于，连接，则，
∵，
∴垂直平分，则，
∴，
又∵，
∴，
∴，

∵与相切，
∴，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
则，
∴；
②存在，使得四边形是平行四边形，理由如下：
连接交于，连接，
由①可知，垂直平分，，
∴，，
∵，
∴，，，则
∴，
∴，即垂直平分，
∴，
当四边形是平行四边形时，，，即，
∴，
∴，
∴，
由①可知，，，，设，
∴，则，
设的半径为，则，
又∵，
∴，即：，
∵，分别为，的中点，
∴，
在中，，即：，
解得：或，

当时，即，则，此时，不符合题意舍去；
当时，即，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，解得：．民宿
平均分
众数
中位数
9分及9分以上
人数所占百分比
甲
7.85
9
8
乙
7.75
折法一
折法二
如图1，点在上运动，将矩形沿着向上折叠，使得点的落点恰好落在对角线上．
如图2，当点运动到点处，将矩形沿着对角线向上折叠，使得点落在处，交于点．