数学：湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考试卷（解析版）

这是一份数学：湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. －1B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】，
故选：B．
2. 已知数列满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，则.
故选：D
3. 已知圆和点，若过点的5条弦的长度构成一个等差数列，则该数列公差的最大值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由已知圆的圆心为，半径为，因为，
所以点在圆内，且，
所以过点最短弦长为，最长弦长为直径长10，
从而公差.
故选：C
4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况．
A. 54B. 72C. 78D. 84
【答案】C
【解析】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况，
甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况，
总共的情况有.
故选：C．
5. 如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ）
A. 66B. 120C. 165D. 220
【答案】D
【解析】由题意可知：前10项分别为，
则
，
所以前10项的和为220.
故选：D．
6. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】可以看作动点与动点的之间距离，再求最小值，
画出与的图象，如下图，
函数的导函数为，在的切线斜率为，
且在切线方程为，即，
函数的导函数为，在的切线斜率为，
且在切线方程为，因为与平行，
所以与之间的距离为，可得.
故选:C．
7. 已知函数，数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分又不必要
【答案】B
【解析】由“为递增数列”可以得到，解得，
所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件，故选：B．
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
构造函数，所以，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，，结合函数单调性可得且；
再构造函数，
求导可得，
所以在上单调递增，因为，所以，
即，所以，也即，
综上：.
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列，其前项和记为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若是等差数列，且，则
B. 若是等差数列，且，则
C. 若是等比数列，且为常数，则
D. 若是等比数列，则也是等比数列
【答案】ACD
【解析】A选项中，当等差数列是常数列时，由，
就不能得到，
所以A是错误的；
B选项中，当等差数列是常数列时，，此时且，
当差数列公差不为0时，，此时，
所以B是正确的；
选项中，由公比不为1的等比数列前和公式得，
所以常数应该等于－2，所以是错误的；
D选项中，当时，，则就不是等比数列，所以D是错误的；
故选：ACD．
10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 各项系数之和为1B. 存在无理项
C. 常数项为400D. 的系数为－80
【答案】AD
【解析】由题意可知，
多项式展开式的通项为
，
即，
对于A，令，则，即为各项系数之和，故A正确；
对于B，因为展开式的通项公式中，所以不存在无理项，故B错误；
对于C，常数项中的次数为0，则或或，则
，故C错误；
对于D，的系数即的系数之和，表示为，故D正确.
故选：AD．
11. 已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的极值点为
B. 曲线与有且仅有两条公切线，并且斜率之积等于1
C. 若时，则
D. 若时，恒成立，则
【答案】BCD
【解析】对于A，函数的极值点是使函数取得极大值、极小值的x值， A错误；
对于B，令公切线与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，
而，则曲线在处的切线：，
曲线在处的切线：，则，
消去得，令函数，求导得，
显然函数在上单调递增，
而，
则存，使得，即有
当时，，递减；当时，，递增，
，
而，，
因此函数有2个零点，
即方程有且只有2个不等的正根，
于是曲线与有且仅有两条公切线，与曲线相切的切点为
，而曲线与关于直线对称，
则两条公切线关于直线对称，与曲线相切的切点为，
两条切线斜率的积为，B正确；
对于C，令，则，令，
显然在上单调递增，而，
则使得，即，且在上递减，在上递增，
从而，C正确；
对于D，恒成立，即恒成立，
而函数在R上单调递增，于是对恒成立，即恒成立，
令，求导得，当时，，递增；
当时，，递减，，因此，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 今天是星期四，那么天后是星期______．
【答案】三
【解析】
，
所以除以7余6，
故答案为：三．
13. 一个乒乓球从高的桌面上落下，每次反弹的高度都是原来高度的，则乒乓球至少在第______次着地时，它所经过的总路程会超过．
【答案】7
【解析】由题意得，第次着地时经过的总路程为
，
因为，
所以在第7次着地时它所经过的总路程会超过．
故答案为：7.
14. 曲线在点处的切线方程为______；若当时，恒成立，则的取值范围为______．
【答案】① ②
【解析】因为，所以，则，即切线的斜率为，
所以切线方程为：．
令，则，
所以当时，则在上单调递增，
当时，则在上单调递减，
所以，即恒成立，当且仅当时取等号，
所以恒成立，
原不等式可化简为，
即，
令，
，
又恒成立，所以在上单调递增．
在上恒成立，即在上恒成立，
所以．
故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 编号为的三个除编号外完全相同的盒子里，分别装有3个红球，2个白球；3个黄球，3个白球；4个黑球，5个白球.（所有球除颜色外完全相同）
（1）现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子的条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？
（2）现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？
解：（1）设“选到2号盒子”，“摸到的两个球都是白球”，
则.
（2）设“先选到第号盒子”“摸出白球”，
则．，，.
，
，即这个球来自2号盒子的概率为.
16. 已知等差数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
解：（1）设等差数列的首项为，公差为．
因为，所以，
化简得，所以
所以数列的通项公式为；
（2），
整理得，
所以，
整理得
17. 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若过原点可以作两条直线与函数的图象相切，求的取值范围．
解：（1）
当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，或．
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
当时，或．
所以和上单调递增，在上单调递减
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增
当时，在和上单调递增，在上单调递减
当时，在上单调递增．
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）设切点为，
则切线方程为
代入原点可得，
整理可得，
由题意可知方程有两个根，并且不是方程的根，
当时，方程化简为：，
令，
或且．
所以在和上单调递增，在和上单调递减．

由图象可知或，解得：或．
18. 已知数列的前项和为，且满足.数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围.
解：（1）对于数列，当时，，解得；
当时，，与原式作差可得，
所以是以为首项，2为公比等比数列，所以；
对于数列，当时，，解得，
时，，
与原式作差可得，
因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以.
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
两式作差可得，
所以，
所以恒成立，化简得.
当时，恒成立，所以，
当时，恒成立，所以.
综上可得：.
19. 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称夌克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数．
（1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
（2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
（3）已知，证明：．
解：（1）记，
则，
，
所以，
因为，
所以且，
，．
（2）令，
则，
恒成立，在递增，
在递增，
在递增，
，
即.
（3）由题，，
则，
则，
令，
易得在上递增，在上递减，从而，
即当且仅当时取等号），
，
即，
，
，得证．