2024湖北省云学名校联盟高二上学期期中联考数学试题含解析

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时长：120分钟 满分：150分
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. “”是“与直线平行”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行得到方程，经检验后得到，从而得到答案.
【详解】由题意得，解得，
当时，两直线为与，此时两直线重合，舍去；
当时，两直线为和，此时两直线不重合，满足要求，
故“”是“与直线平行”的充要条件.
故选：C
2. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.
【详解】上半部分电路畅通的概率为：，
下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，
畅通的概率为：.
故选:A．
3. 已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若，则这样的直线l的条数为（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】C
【解析】
【分析】当弦AB在双曲线右支上时，可得出的最小距离是通径，计算出通径的值与比较可判断满足条件的直线数.当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为4，与比较可判断满足条件的直线数.
【详解】由双曲线，可得：，
当弦AB在双曲线右支上时，通径最短，长度为，
因为，此时符合条件的直线有两条；
当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为，，
故在同一支上时有两条直线，在两支上时有一条直线，
故选：C．
4. 设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A，若，则与可能会相交或平行，故选项A错误；
对于选项B，若，且，根据线面垂直可知，.故选项B正确；
对于选项C，若，则可能会平行、相交或异面，故选项C错误；
对于选项D，若，则与可能会相交或平行，故选项D错误.
故选：B
5. 点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆的定义与三角形两边之差小于第三边的性质即可得解.
【详解】依题意，设为椭圆的左焦点，
因为椭圆，则，，
所以，
故选：D．
6. 若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，分析可知，直线与圆有公共点，根据直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.
【详解】令，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
即的取值范围是.
故选：B.
7. 已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设弦的中点为，则，由弦的值求出，即可得到点在以为圆心，1为半径的圆上，从而求出的最小值，即可得解.
【详解】圆，即，圆心，半径,
设弦的中点为，则,，且，
所以，
所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以，
所以的最小值为.

故选：A．
8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在，中分别利用勾股定理可求得答案.
【详解】如图．设，，则，
，在中由勾股定理：
，解得：，
在中，由勾股定理：
解得：，所以，
所以渐近线方程为：.
故选：A．
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的2分，有选错的得0分．）
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
B. 直线的一个方向向量为
C. 若点和点关于直线对称，则
D. 过点的直线l分别交x，y的正半轴于A，B，则面积的最小值为8
【答案】BC
【解析】
【分析】由截距式方程可判断A；由直线的方向向量可判断B；由点关于直线对称可判断C；直线l方程可设为：，过，所以，表示出面积，由基本不等式可判断D.
【详解】A选项中的直线不能表示截距为0的直线，故A选项错误．
B选项中的直线的一个方向向量为，与平行．故B选项确．
C选项中AB被已知直线垂直平分，满足，即，故C选项正确．
D选项中直线l方程可设：，过，所以：，
故：，∴，当且仅当时等号成立，
，故D选项错误．
故选：BC.
10. 甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件
B. 事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件
C. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件
D. 事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件
【答案】AC
【解析】
【分析】根据互斥事件及相互独立事件的概念，即可判断出选项A、B和C的正误，对于选项D，利用相互独立的概率公式即可判断出结果的正误.
【详解】对于选项A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，所以选项A正确；
对于选项B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，所以选项B错误；
对于选项C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，所以选项C正确．
对于选项D，至少一人投6点的事件为M，则，
甲投1点且乙没投得2点事件为N，则为，，，故选项D错误．
故选：AC.
11. 如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线所成角的余弦值为B. 点到距离为
C. 直线与平面平行D. 三棱锥的体积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算A；利用点到直线距离公式计算B；利用线面平行的判定定理判定C；借助C中的线面平行，利用等体积法判定D.
【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为原点，
以，，所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，
如图所示：
因为、、分别为、、的中点，
则、、、，
对于A，，，，
设直线与直线所成角为，
所以，故A正确；
对于B，，，
所以，，
所以，
所以点到AF距离为，故B错误；
对于C，连接、，，
在正方体中，因为、分别为、的中点，则，
又易得，所以，故、、、四点共面，
又因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，故C正确；
对于D，因为平面，
∴，故D正确.
故选：ACD
12. 已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 的面积是B. 的内切圆的半径为
C. 点M的纵坐标为2D. 若点P是C上的一动点，则的最大值为6
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据椭圆定义，余弦定理，三角形面积公式可求得答案；对B，在A选项基础上，，可求得；对C，在A选项基础上，由可求得；对D，由向量可得，，两式平方化简得，当最大时，得解.
【详解】如图所示，令
A选项，设，，由椭圆定义得，
又由余弦定理可得，解得，，故A选项正确；
B选项，由，可得：，故B选项正确；
C选项，由，可得：，即，故C选项错误；
D选项，因为，所以，即，①
同理，，可得，②两式相减可得，
，故D选项正确．
故选：ABD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况，焦点在轴上，焦点在轴上，两种情况，分别代入即可求解.
【详解】当双曲线为时，，．
当双曲线为时，，．
故答案为：或.
14. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果.
【详解】因为，，，且，，共面，
所以，又，得到，，，解得，
故答案为：.
15. 已知直线l：与x轴交于点M，圆O：，P为直线l上一动点，过P点引圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线的距离最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆方程相减可得弦的直线方程为，即可根据判定弦AB的直线恒过定点，由两点距离公式即可求解.
【详解】设，则过P点作圆的两条切线，则在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
又在圆O：，两圆相减可得弦直线方程为，
又因为：P在直线l上，故：，
故：切点弦的直线恒过定点，点到直线的最
大距离为．
故答案为：
16. 已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据新定义求得仿射变换后圆的方程及点坐标，求得的面积最大值，结合定义即可求出的面积的最大值.
【详解】，，，有仿射变换，
椭圆方程变换为：，
变换为，如图所示：
所以：
而：，所以：，即的最大面积为1．
故答案为：1.
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 已知直线l：，．
（1）证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标；
（2）直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）变形给定方程，求出定点坐标即得.
（2）按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.
【小问1详解】
方程变形为：，
由解得，显然对任意实数，当时，方程恒成立，
所以直线l恒过定点．
【小问2详解】
由（1）知直线l过点，
当截距为0时，即直线l过原点，直线l方程为：；
当截距不为0时，设直线l方程为：，则有，解得，
此时直线l的方程为：，
所以直线l的方程为：或．
18. 已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）解法1：设，，由中点坐标公式可得，再将点P代入圆O的方程即可得出答案；解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ，由题意可得点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，即可得出答案.
（2）讨论直线斜率存在或不存在，设出直线方程，设圆心Q到直线l的距离为d，由代入求解即可得出答案.
【小问1详解】
解法1：设，，由中点坐标公式可得：
解得：
由于点P在圆O：上，所以：，
代入可得：
化简可得点Q的轨迹方程为：．
解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ，
∵Q为的中点，∴，
∴点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为：
．
【小问2详解】
当k不存在时，直线l的方程为．此时圆心Q到直线l的距离为
所以：满足条件．
当k存在时，直线l的方程为，设圆心Q到直线l的距离为d，
则，所以：
而Q到直线l的距离为，解得：
此时直线l方程为：．
综上：满足条件的直线l的方程为：或，
19. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．
①现计划从第一组和第二组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自不同组的概率．
②若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．
【答案】（1）平均数为，第25百分位数为63
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组解出，然后分别计算出平均数和百分位数即可；
（2）①先利用分层抽样的方法计算样本，然后利用古典概型概率求解，然后根据题意计算方差即可.
【小问1详解】
由题意可知：，
解得，
可知每组的频率依次为：，
所以平均数等于，
因为，
设第25百分位数为，
则，
解得，
第25百分位数为63．
【小问2详解】
①根据分层抽样，和的频率比为，
故在和中分别选取1人和5人，分别编号为A和1，2，3，4，5，
则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：
，，，，A5，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，
共15个，即，
记事件B“两人来自不同组”，则B包含的样本点有，，，，共5个，
即，所以
②设第二组、第四组的平均数与方差分别为，，，，
且两组频率之比为，
成绩在第二组、第四组平均数
成绩在第二组、第四组的方差
，
故估计成绩在第二组、第四组的方差是．
20. 已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点；
①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围；
②若，求此时直线l的方程．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）根据渐近线设双曲线方程，由经过的点代入方程即可求解；
（2）运用分类讨论思想，联立直线与双曲线方程，根据条件及韦达定理即可求解.
【小问1详解】
因为双曲线的渐近线为，
可设双曲线的方程为：
又点在双曲线上，所以：
双曲线的方程为：.
【小问2详解】
①当k不存在时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意．
当k存在时，直线l的方程可设为：，设，
联立双曲线方程：,
由题意：，∴，
所以直线l的斜率的取值范围为．
②由，可得：
当直线l与x轴重合时，，，此时，不满足条件；
直线l的方程设为：，
联立方程可得：，
，
由，可得：代入上式可得：，
，解得：，故：．
此时直线l的方程为：或．
21. 如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为，PC的中点．

（1）证明：；
（2）若PC与AB所成角正切值为，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】第一问用线面垂直的性质即可推出线线垂直，第二问合理利用条件，建立空间直角坐标系，用向量方法求解即可.
【小问1详解】
因为，面面ABCD
面面ABCD，所以面PAD
面PAD，所以．
【小问2详解】

因为，，所以
又面面ABCD，面面ABCD
所以面ABCD，面ABCD，故
另，，故四边形DEBC为平行四边形，
以E原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设
，，，
，
设异面直线AB与PC所成的角为α，由题：，则
，∴
因为面ABCD，故：面ABE的法向量为
设面FBE的法向最为，，，
，取，则，
设面BEF与面ABCD所成的锐二面角为θ，则，
所以：，即二面角的大小为．
22. 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．

（1）求椭圆C的方程；
（2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）①恒过定点；②.
【解析】
【分析】（1）根据已知焦点三角形周长，由椭圆定义及其离心率求椭圆参数即可得方程；
（2）①设直线AD且，，，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合A，B，共线有，整理化简求参数m，即可确定定点；②由直线AD所过定点，结合并将韦达公式代入化简，应用基本不等式求面积最大值，注意取值条件.
【小问1详解】
由题的周长，可得，
又，则，，故椭圆的方程为．
【小问2详解】
①由题，设直线AD为且，，，，
联立方程可得：，化简可得：
，
所以，，
因为A，B，共线，则有，化简可得，
即，化简可得恒成立．
∴，即直线AD的方程为恒过定点．
②设直线AD恒过定点记为，
由上，可得，
所以，·
，
令，则，
当且仅当，即时，取等号．
∴面积的最大值为．