人教版高考数学一轮复习考点规范练12函数与方程含答案

考点规范练12　函数与方程

1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)

A.,0 B.-2,0 

C. D.0

答案  D

解析  当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;

当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.

综上可知,函数f(x)的零点只有0,故选D.

2.函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标所在的区间为(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

答案  B

解析  函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-的零点.

由于f(x)在区间(0,+∞)内的图象是连续的,且f(x)是单调递增的,又f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 3->0,得f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.

3.若函数f(x)的图象在R上是连续的,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)在区间(0,1)内一定有零点,在区间(1,2)内一定没有零点

B.f(x)在区间(0,1)内一定没有零点,在区间(1,2)内一定有零点

C.f(x)在区间(0,1)内一定有零点,在区间(1,2)内可能有零点

D.f(x)在区间(0,1)内可能有零点,在区间(1,2)内一定有零点

答案  C

解析  由题知f(0)f(1)<0,根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)内一定有零点,又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)内是否有零点.

4.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是(　　)

A.3 B.2 C.1 D.0

答案  C

解析  由x3-6x2+9x-10=0,得x3=6x2-9x+10,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x3和y=6x2-9x+10的图象,由图知两个函数图象只有一个交点.故选C.

5.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则(　　)

A.a<b<c B.c<b<a

C.c<a<b D.b<a<c

答案  A

解析  ∵ea=-a,∴a<0,∵ln b=-b,且b>0,

∴0<b<1,

∵ln c=1,∴c=e>1,故选A.

6.若f(x)是奇函数,且x0是函数y=f(x)+ex的一个零点,则下列函数中,-x0一定是其零点的是 (　　)

A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1

C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1

答案  C

解析  由已知可得f(x0)=-,则f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是函数y=exf(x)-1的零点.

7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,若函数y=f(x+1)-1为奇函数,则函数f(x)的零点个数为 (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案  B

解析  ∵f(x)=x3+ax2+bx+1,

∴f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+1-1=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)x+1+b+a.

∵函数y=f(x+1)-1为奇函数,∴a=-3,b=2.

∴f(x)=x3-3x2+2x+1.

∴f'(x)=3x2-6x+2=3(x-1)2-1=3.

经分析可知f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增,且f>0,f>0,

∴函数f(x)的零点个数为1,故选B.

8.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是(　　)

A.1<x1<2,x1+x2<2

B.1<x1<2,x1+x2<1

C.x1>1,x1+x2<2

D.x1>1,x1+x2<1

答案  A

解析  函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1).

在同一平面直角坐标系中作出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图).

当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当0<-b<2时,由图可知1<x1<2,x1+x2<2.

9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为              (　　)

A.8 B.-8 

C.0 D.-4

答案  B

解析  ∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),

∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.

∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.

∵f(x)在区间[0,2]上单调递增,

∴f(x)在区间[-2,0]上单调递增,综合以上条件得函数f(x)的示意图如图所示.

由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.

10.(2021福建厦门二模)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))的所有零点之和为　　　　　. 

答案 

解析  当x≤0时,由x+1=0,得x=-1,由f(x)=-1,可得x+1=-1或log2x=-1,

∴x=-2或x=;

当x>0时,由log2x=0,得x=1,由f(x)=1,可得x+1=1或log2x=1,∴x=0或x=2;

∴函数y=f(f(x))的所有零点为-2,,0,2,所有零点的和为-2++0+2=.

11.若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案  (0,1]

解析  当x>0时,由f(x)=ln x=0,得x=1.

因为函数f(x)有两个不同的零点,所以当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点.

令f(x)=2x-a=0,得a=2x.

因为当x≤0时,0<2x≤20=1,

所以0<a≤1.

所以实数a的取值范围是0<a≤1.