数学：河北省唐山市滦南县2023-2024学年高二下学期期中质量检测试卷（解析版）

这是一份数学：河北省唐山市滦南县2023-2024学年高二下学期期中质量检测试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.条形码贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷.
3.非选择题必须用黑色墨迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案;不准使用笔或涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的.）
1. 已知函数f（x）在处的导数为12，则（ ）
A. -4B. 4C. -36D. 36
【答案】B
【解析】根据题意，函数在处的导数，
则，
故选：B
2. 函数单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,
令，解得，所以单调递减区间为.
故选：A.
3. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A. 35B. 34
C. 31D. 30
【答案】C
【解析】从这七个点任意选取三个点有个，
其中共线的四点中有个不能构成三角形，
所以不同的三角形个数有31个，
故选：C.
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 200B. 210C. 220D. 240
【答案】B
【解析】依题意，，而展开式中的系数为，
所以的展开式中的系数为210.
故选：B
5. 数形结合是非常重要数学思想，以函数为例，数是解析式，形是图像．现有函数 ，则它的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当则有x=0 或，排除A，C，
，则有 显然方程有两个根 ，
且 ，有两个极值点，排除B，
故选：D.
6. 某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（ ）
A. 51种B. 45种C. 48种D. 42种
【答案】A
【解析】若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有种情况，
若这两个人选报的另外的学科不同，则共有种情况，
若三个人全部都报名数学竞赛，则共有种情况，
所以不同的参赛方案有：种情况，
故选：A．
7. 函数恰有个单调区间的必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
当时，由，解得，函数有两个单调区间；
当时，由，解得，
即，此时函数恰有3个单调区间；
当时，，解得，即，
此时函数恰有3个单调区间．
综上所述是函数恰有3个单调区间的充要条件，分析可得是其必要不充分条件．
故选：．
8. 若函数，且，设，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 的大小不能确定
【答案】A
【解析】由题意可得，
设，则
因为，
所以恒成立，故在上单调递减，
所以，
所以当时，，为减函数，
所以，即，故选：A
二、多选题：本题共3小题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. ，则
【答案】AC
【解析】A选项，，故A正确；
B选项，因为，
，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，，则，D错误．
故选：AC．
10. 若，其中为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】依题意，令，
对于A，，A错误；
对于B，是按展开的第4项系数，因此，
B正确；
对于C，，，
所以，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
11. 观察图象，下列结论错误的有（ ）
A. 若图中为图象，则在处取极小值
B. 若图中为图象，则两个极值点
C. 若图中为图象，则在上单调递增
D. 若图中为图象，则的解集为
【答案】ABCD
【解析】对于A，若图中为图象，，且在左右均为增，A错；
对于B，若图中为图象，则在和上递减，在和上递增，所以有两个极小值点和一个极大值点，B错；
对于C，若图中为图象，则时，已知图象与正负相同，所以，单调递减，C错；
对于D，若图中为图象，则 时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以的解集为，D错.
故选：ABCD
三、填空题:本题共3小题（每小题5分，共15分）
12. 若函数满足，则_____________
【答案】1
【解析】因为，
所以，则，解得：，
则，则.
故答案为：1.
13. 已知的展开式中的系数为，则实数的值为______.
【答案】2
【解析】，
的展开式通项为，
所以的展开式通项为，
令，可得，
由题意可得，解得.
故答案为：.
14. 已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个命题：
①；
②；
③；
④
其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号）
【答案】①③．
【解析】的定义域为，，
所以有，
所以有即，
即，所以有；，
因为，
所以有．
四、解答题:本题共5小题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. （1）一场班级元旦晚会有有2个唱歌节目和；2个相声节目1和2．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目．一共有多少种可能（结果用数字表示）？并列出所有可能的排列．
（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示）
（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
解：（1）歌唱节目记为，相声节目记为1，2，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：．共4种
（2）甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，
故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有（种）．
（3）选2名男教师与2名女教师，共有(种)，选3名男教师与1名女教师，共有(种)，
所以共有60+20=80（种）．
16. 从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知（），且二项展开式中，____．
（1）求的值；
（2）①求二项展开式的中间项；
②求的值．
解：（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二项展开式的中间项为．
②二项式展开式的通项公式为，
所以、、、、为正数，、、、为负数．
在中，令．
再令，可得，
∴．
17. 某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入费t（单位:百万元），可增加销售额约为（单位:百万元）（）.
（1）该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大?
（2）该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费（单位:百万元），可增加的销售额为（单位:百万元）.请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大.（注:收益=销售额-投入）
解：（1）设收益为，
则有，，
所以当百万元时，公司获得的收益最大.
（2）设此时的收益为，
则，，
所以，
令，解得，或（舍），
又当时，；当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，取最大值，
即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，将该公司由此获得收益最大.
18. 已知函数，
（1）若，且对于任意，恒成立，求实数k的取值范围；
（2）令，若至少存在一个实数，使成立，求实数k的取值范围．
解：（1）由，可得，
若，则；若，则；
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当，即时，在上单调递增，
则，即符合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
则，解得；
综上所述：实数k的取值范围为．
（2）若，则，
可得，
故原题意等价于至少存在一个实数，使成立，
构造，则对恒成立，
故在上单调递增，则，可得，
故实数k的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上最小值.
解：（1）由题意得：定义域为，，
①当时，，，
的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知：当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
①当，即时，在上单调递减，；
②当，即时，在上单调递增，
；
③当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
，，
当，即时，；
当，即时，；
综上所述：当时，；当时，.