2024-2025学年河北省承德市高二上学期期中数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省承德市高二上学期期中数学质量检测试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．若直线与圆交于两点，则（ ）
A．1B．C．2D．
5．求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A．B．
C．或D．
6．如图所示，在长方体中，，，点是棱的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为B．直线的斜率为
C．直线不经过第三象限D．直线的一个方向向量为
10．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ）
A．，B．离心率为
C．的面积为12D．的外接圆面积为
11．在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．平面平面
D．点E到平面的距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若圆关于直线对称，则 ．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 .
14．若直线l：与曲线C：只有一个公共点，则实数m的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.
(1)求证：；
(2)求线段的长.
16．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
17．已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
18．在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF.
(1)若M为EC的中点，证明：∥平面ABC；
(2)证明：平面平面BCD；
(3)若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长.
19．已知，圆．
(1)若圆与圆外切，求实数k的值；
(2)求圆心的轨迹方程；
(3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
答案
1．【正确答案】D
【详解】由，可知椭圆的焦点在轴上，且，
则，故椭圆焦点的坐标为.
故选：D.
2．【正确答案】A
【详解】过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：A.
3．【正确答案】B
【详解】依题意可得，解得，
则直线方程为，
而方程，即，
所以两条平行线间的距离为.
故选：B.
4．【正确答案】D
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
所以.
故选：D.
5．【正确答案】C
【详解】由题意可知，，
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为.
综上所述，椭圆的标准方程为或.
故选：C.
6．【正确答案】C
【分析】
连接，设点到平面的距离为，则知所求距离为；利用体积相等，即可构造方程求得，从而求得结果.
【详解】
连接，
设点到平面的距离为，
为中点，点到平面的距离为；
，，，
又，，
，，解得：，
点到平面的距离为.
故选：C.
方法点睛：本题考查立体几何中点到面的距离的求解，求解此类问题的基本方法是将问题转化为三棱锥的高的求解问题，从而利用体积桥的方式求得所求距离.
7．【正确答案】A
【详解】由题意得，，令，则
∵，∴，
即，∴，,
在△中，，
在△中，，
∴，
∴.
故选：A.
8．【正确答案】D
【详解】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，可得，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，可得，
所以，
设直线与平面所成角的为，
则.
故选：D.

9．【正确答案】CD
【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；
通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误.
【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误；
因为直线，故斜率，截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确；
取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确.
故选：CD
10．【正确答案】ABD
【详解】由，得椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距，
由是椭圆上的点，得，而，
对于A，，，A正确；
对于B，离心率为，B正确；
对于C，，得为直角三角形，，
，C错误；
对于D，由选项C知，的外接圆直径为线段，则该圆半径为，面积为，D正确.
故选：ABD
11．【正确答案】ACD
【分析】检验所给定的正方体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；求出点到平面距离判断D作答.
【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
对于A，，显然，
即平行于平面，而平面，因此平面，A正确；
对于B，，，即有不垂直于，
而平面，因此不垂直于平面，B错误；
对于C，，而，显然，
，即平面，
于是平面，而平面，因此平面平面，C正确；
对于D，，，设平面的一个法向量，
则，令，得，又，
所以点E到平面的距离，D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】/0.25
【详解】圆的圆心为，
依题意，点在直线上，即，解得，
此时圆，即，符合题意，
所以.
故
13．【正确答案】
【详解】由题意可知：，
又因为，即，可得，
所以该椭圆的离心率是.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由曲线，整理可得，
则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图：

由图可得直线与圆相切，则，解得，
由图可得直线的方程为；
由图可得直线过，可得方程；
由图可得直线过，可得方程.
由图可得.
故答案为.
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明异面直线的垂直关系；
（2）利用空间向量的坐标运算求线段的长度.
【详解】（1）
因为直三棱柱中，平面,
平面,所以,且,
所以原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则,
所以,
则，所以.
（2）因为,所以,则.
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意，设圆心，半径，
∵圆M经过点，∴，
∵圆M与直线相切，
∴圆心到直线的距离，
∴，化简，解得，
则圆心，半径，
所以圆M的方程为．
（2）由题意，圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离由，解得，
则直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）
直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）
由，，得，.
因为M为EC的中点，F为AB中点，，所以，且.
所以四边形BCMF为平行四边形，所以.
又平面ABC，平面ABC，所以∥平面ABC.
（2）
因为平面平面BCEF，平面平面，，所以平面BCEF.
又平面BCEF，所以.
由，，，得.
又，所以平面DEB.
又平面BCD，
所以平面平面BCD.
（3）由（2），得EF，EC，ED两两垂直，则可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则.
设（），则.
设平面BNE的法向量为.
由，
令，得.
易知平面ABF的法向量为.
所以，
解得，此时，
所以，即DN的长为.
19．【正确答案】(1)或
(2)
(3)存在，且的方程为或
【详解】（1）圆
，
，
所以圆的圆心为，半径.
圆的圆心为，半径为，
由于圆与圆外切，所以，
解得或.
（2）由（1）得，即，
消去得，
所以圆心的轨迹方程为.
（3）设直线交圆于两点，设到直线的距离为，
则，假设存在符合题意的定直线，
则，
即圆心与直线的距离恒为，
而圆心的轨迹方程为，
所以可设直线的方程为，且，
解得或，
所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或.