高考数学第一轮复习第二章 §2.7　对数与对数函数

这是一份高考数学第一轮复习第二章 §2.7　对数与对数函数，共16页。试卷主要包含了反函数等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．lgab·lgba＝1，＝eq \f(n,m)lgab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则lga(MN)＝lgaM＋lgaN.( × )
(2)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(3)函数y＝lgaeq \f(1＋x,1－x)与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．( × )
(4)函数y＝lg2x与y＝的图象重合．( √ )
教材改编题
1．函数y＝lga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
答案 (3,2)
解析 ∵lga1＝0，
令x－2＝1，∴x＝3，
∴y＝lga1＋2＝2，
∴原函数的图象恒过定点(3,2)．
2．计算：(lg29)·(lg34)＝ .
答案 4
解析 (lg29)·(lg34)＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝4.
3．若函数y＝lgax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ .
答案 eq \f(1,2)或2
解析 当a>1时，lga4－lga2＝lga2＝1，
∴a＝2；
当0∴a＝eq \f(1,2)，综上有a＝eq \f(1,2)或2.
题型一 对数式的运算
例1 (1)设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10) B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 2a＝5b＝m，
∴lg2m＝a，lg5m＝b，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5
＝lgm10＝2，
∴m2＝10，
∴m＝eq \r(10)(舍m＝－eq \r(10))．
(2)计算：lg535＋2eq \r(2)－lg5eq \f(1,50)－lg514＝ .
答案 2
解析 原式＝lg535－lg5eq \f(1,50)－lg514＋(eq \r(2))2
＝lg5eq \f(35,\f(1,50)×14)＋
＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
教师备选
计算：eq \f(1－lg632＋lg62·lg618,lg64)＝ .
答案 1
解析 原式＝eq \f(1－2lg63＋lg632＋lg6\f(6,3)·lg66×3,lg64)
＝eq \f(1－2lg63＋lg632＋1－lg632,lg64)
＝eq \f(21－lg63,2lg62)＝eq \f(lg66－lg63,lg62)＝eq \f(lg62,lg62)＝1.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1 (1)已知a>b>1，若lgab＋lgba＝eq \f(5,2)，ab＝ba，则a＋b＝ .
答案 6
解析 设lgb a＝t，则t>1，因为t＋eq \f(1,t)＝eq \f(5,2)，
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
所以a＋b＝6.
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .
答案 4
解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0C．0答案 A
解析 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，lgab)，由函数图象可知－1(2)若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为 ．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
解析 若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则函数y＝4x和函数y＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有交点，
由图象知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0教师备选
已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，则＋ln x2的值为( )
A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2
C．2 D．4
答案 C
解析 根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，
函数f(x)＝ex＋x－2的零点为函数y＝ex的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x1，)，
函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，
又由函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，
而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有＋ln x2＝＋x1＝2.
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝lgax＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝ax＋b的图象可能为( )
答案 D
解析 结合已知函数的图象可知，
f(1)＝b<－1，a>1，
则g(x)单调递增，且g(0)＝b＋1<0，故D符合题意．
(2)(2022·西安调研)设x1，x2，x3均为实数，且＝ln x1，＝ln(x2＋1)，＝lg x3，则( )
A．x1C．x2答案 D
解析 画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))x，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示．
数形结合，知x2题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式大小
例3 (1)设a＝lg3e，b＝e1.5，c＝，则( )
A．bC．c答案 D
解析 c＝＝lg34>lg3e＝a.
又c＝lg342，
∴a(2)(2022·昆明一中月考)设a＝lg63，b＝lg126，c＝lg2412，则( )
A．bC．a答案 C
解析 因为a，b，c都是正数，
所以eq \f(1,a)＝lg36＝1＋lg32，
eq \f(1,b)＝lg612＝1＋lg62，
eq \f(1,c)＝lg1224＝1＋lg122，
因为lg32＝eq \f(lg 2,lg 3)，
lg62＝eq \f(lg 2,lg 6)，
lg122＝eq \f(lg 2,lg 12)，且lg 3所以lg32>lg62>lg122，
即eq \f(1,a)>eq \f(1,b)>eq \f(1,c)，
所以a命题点2 解对数方程不等式
例4 若lga(a＋1)0，a≠1)，则实数a的取值范围是 ．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
解析 依题意lga(a＋1)∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,a＋1<2\r(a)<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(02\r(a)>1，))
解得eq \f(1,4)命题点3 对数性质的应用
例5 已知函数f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)，下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)为奇函数；
②f(x)为偶函数；
③f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减；
④f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增．
答案 ①③
解析 f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)，令eq \f(2x＋1,2x－1)>0，
解得x>eq \f(1,2)或x<－eq \f(1,2)，
∴f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，
又f(－x)＝ln eq \f(－2x＋1,－2x－1)
＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1,2x－1)))－1
＝－ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故①正确，②错误；
又f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,2x－1)))，
令t＝1＋eq \f(2,2x－1)，t>0且t≠1，∴y＝ln t，
又t＝1＋eq \f(2,2x－1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，
且y＝ln t为增函数，
∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，故③正确；
又f(x)为奇函数，
∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，故④不正确．
教师备选
1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a＝lg23，b＝2lg53，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
答案 B
解析 ∵a＝lg23>1，b＝2lg53＝lg59>1，
c＝<0，
∴eq \f(a,b)＝eq \f(lg23,lg59)＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 5,lg 9)＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 5,2lg 3)
＝eq \f(lg 5,2lg 2)＝eq \f(lg 5,lg 4)＝lg45>1，
∴a>b，∴a>b>c.
2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g1>0，,a≥1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a>0，,a≥1，))
解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)若实数a，b，c满足lga2A．aC．c答案 C
解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得eq \f(1,lg2a)即lg2c可得c(2)若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgax，x≥2，,－lgax－4，0答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
解析 当a>1时，函数f(x)＝lgax在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，
故0当x≥2时，函数f(x)＝lgax在[2，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(2)＝lga2；
当0则lga2≥－lga2－4，即lga2≥－2＝lgaa－2，
即eq \f(1,a2)≥2,0故实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))).
课时精练
1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a＝eq \f(1,2)，b＝lg7eq \r(5)，c＝lg87，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝eq \f(1,2)＝lg7eq \r(7)>b＝lg7eq \r(5)，
c＝lg87>lg8eq \r(8)＝eq \f(1,2)＝a，
所以c>a>b.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．lg2x B.eq \f(1,2x) C． D．2x－2
答案 A
解析 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝lgax，
又f(2)＝1，即lga2＝1，
所以a＝2.故f(x)＝lg2x.
3.函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
①a>1；②01.
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
答案 C
解析 由图象可知函数为减函数，∴0令y＝0得lga(x＋c)＝0，
x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，
∴04．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10 lg eq \f(I,I0)(单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是( )
A．(－∞，10－7) B．[10－12，10－5)
C．[10－12，10－7) D．(－∞，10－5)
答案 C
解析 由题意可得，0≤10·lg eq \f(I,I0)<50，
即0≤lg I－lg(1×10－12)<5，
所以－12≤lg I<－7，
解得10－12≤I<10－7，
所以声音强度I的取值范围是[10－12,10－7)．
5．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,－x，x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,lg2a>))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,－a>lg2－a，))
解得a>1或－16．(2022·汉中模拟)已知lg23＝a,3b＝7，则lg2156等于( )
A.eq \f(ab＋3,a＋ab) B.eq \f(3a＋b,a＋ab)
C.eq \f(ab＋3,a＋b) D.eq \f(b＋3,a＋ab)
答案 A
解析 由3b＝7，可得lg37＝b，
所以lg2156＝eq \f(lg37×23,lg33×7)
＝eq \f(lg37＋lg323,lg33＋lg37)
＝eq \f(b＋3×\f(1,a),1＋b)＝eq \f(ab＋3,a＋ab).
7．(2022·海口模拟)lg3eq \r(27)＋lg 25＋lg 4＋＋的值等于 ．
答案 eq \f(7,2)
解析 原式＝lg3＋lg 52＋lg 22＋2＋
＝eq \f(3,2)＋2lg 5＋2lg 2＋2＋(－2)
＝eq \f(3,2)＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋(－2)
＝eq \f(3,2)＋2＋2＋(－2)
＝eq \f(7,2).
8．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ．
答案 (4，－1)
解析 令x－3＝1，则x＝4，
∴y＝lga1－1＝－1，
故点P的坐标为(4，－1)．
9．设f(x)＝lg2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝lg212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．
解 (1)因为f(x)＝lg2(ax－bx)，
且f(1)＝1，f(2)＝lg212，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2a－b＝1，,lg2a2－b2＝lg212，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝2，,a2－b2＝12，))解得a＝4，b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝lg2(4x－2x)，
令t＝4x－2x，
则t＝4x－2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))2－eq \f(1,4)，
因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，
所以eq \f(9,4)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))2≤eq \f(49,4)，即2≤t≤12，
因为y＝lg2t在[2,12]上单调递增，
所以ymax＝lg212＝2＋lg23，
即函数f(x)的最大值为2＋lg23.
10．(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解 (1)f(x)是奇函数，证明如下：
因为f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,1－x>0，))
解得－1f(－x)＝lga(－x＋1)－lga(1＋x)
＝－[lga(1＋x)－lga(－x＋1)]＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为当a>1时，y＝lga(x＋1)是增函数，
y＝lga(1－x)是减函数，
所以当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
f(x)>0即lga(x＋1)－lga(1－x)>0，
lgaeq \f(x＋1,1－x)>0，eq \f(x＋1,1－x)>1，eq \f(2x,1－x)>0，
2x(1－x)>0，解得0故使f(x)>0的x的解集为(0,1)．
11．设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则( )
A．a＋bC．a＋b<0答案 B
解析 ∵a＝lg0.20.3>lg0.21＝0，
b＝lg20.3∵eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg0.30.2＋lg0.32＝lg0.30.4，
∴1＝lg0.30.3>lg0.30.4>lg0.31＝0，
∴012．若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝lg4z，则( )
A．z>x>y B．z>y>x
C．x>y，x>z D．z>x，z>y
答案 D
解析 设2x＝3y＝lg4z＝k>0，
则x＝lg2k，y＝lg3k，z＝4k，
根据指数、对数函数图象易得4k>lg2k，
4k>lg3k，
即z>x，z>y.
13．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·(2x)的最小值为 ．
答案 －eq \f(1,4)
解析 依题意得f(x)＝eq \f(1,2)lg2x·(2＋2lg2x)＝(lg2x)2＋lg2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)，
当lg2x＝－eq \f(1,2)，即x＝eq \f(\r(2),2)时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－eq \f(1,4).
14．已知函数f(x)＝|lg2x|，实数a，b满足0答案 (2，＋∞)
解析 ∵f(x)＝|lg2x|，
∴f(x)的图象如图所示，
又f(a)＝f(b)且0∴01且ab＝1，
∴a＋b≥2eq \r(ab)＝2，当且仅当a＝b时取等号．
又02.
15．(2022·贵阳模拟)若3a＋lg3a＝9b＋2lg9b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a答案 B
解析 f(x)＝3x＋lg3x，
易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵3a＋lg3a＝32b＋lg3b，
∴f(2b)＝32b＋lg3(2b)>32b＋lg3b
＝3a＋lg3a＝f(a)，
∴2b>a.
16．已知函数f(x)＝lg2(2x＋k)(k∈R)．
(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；
(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．
解 (1)当k＝－4时，f(x)＝lg2(2x－4)．
由f(x)>2，
得lg2(2x－4)>2，
得2x－4>4，
得2x>8，
解得x>3.
故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．
(2)因为函数f(x)＝lg2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，
所以f(0)＝1，
即lg2(1＋k)＝1，
解得k＝1.
所以f(x)＝lg2(2x＋1)．
因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，
即lg2(2x＋1)＝x－2m有实根．
所以方程－2m＝lg2(2x＋1)－x有实根．
令g(x)＝lg2(2x＋1)－x，
则g(x)＝lg2(2x＋1)－x
＝lg2(2x＋1)－lg22x
＝lg2eq \f(2x＋1,2x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2x))).
因为1＋eq \f(1,2x)>1，lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2x)))>0，
所以g(x)的值域为(0，＋∞)．
所以－2m>0，
解得m<0.
所以实数m的取值范围是(－∞，0)．y＝lgax
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数