河北省唐山市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份河北省唐山市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共25页。

2． 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3． 所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．
4． 答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
一、选择题（本大题共16个小题；1-6小题，每题3分；7-16小题，每题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若，则“□”是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
详解：解：，
，
“□”是，
故选：B．
2. 如图，在同一平面内有直线l及直线外一点 P，作，垂足为M，则点P 到直线l的距离是（ ）
A. 线段的长度B. 射线
C. 线段 D. 线段
答案：A
解析：
详解：解：∵，垂足为M，
∴点P 到直线l的距离是线段的长度．
故选：A
3. 不一定相等的一组是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
答案：D
解析：
详解：、，原选项一定相等，不符合题意；
、，原选项一定相等，不符合题意；
、，原选项一定相等，不符合题意；
、，原选项不一定相等，符合题意；
故选：．
4. 下列算式中，与有理数 相等的是（ ）
A B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D
5. 神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船度地飞行1分钟的路程约为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：∵飞行速度约为每秒，
∴飞行1分钟的路程约为：，
故选：A．
6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置， 如果， 那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：如图，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
7. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：A、，故A错误；
B、与不能合并，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：D．
8. 小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小． 此时他测量了镜片到光斑的距离，得到一组数据，并借助计算机绘制了镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A. y与x的关系式为 B. 当时，
C. 镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小D. 平光镜（近视度数为 0）的镜片到光斑距离为0米
答案：C
解析：
详解：解：根据题意得：该函数图象过点，
设镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为，故A选项错误，不符合题意；
当时，，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
即镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小，故B选项正确，符合题意；
根据题意得：平光镜（近视度数为0），不会有光斑存在，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
9. 如图，平面上直线，分别过线段 两端点（数据如图），若要使，则直线围绕点（ ）
A. 顺时针旋转B. 逆时针旋转
C. 逆时针旋转D. 顺时针旋转
答案：B
解析：
详解：如图，时，
∴，
∴，
∴逆时针旋转，
故选：．
10. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A. B. 平均数为8
C. 添加一个数8后方差不变D. 这组数据的众数是6
答案：C
解析：
详解：解：根据题意得：该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
11. 在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ）

A. 甲B. 乙C. 甲和乙D. 都不正确
答案：C
解析：
详解：解：根据图②的做法可知：是的平分线，即，
由图①可得：，
∴；故甲作图痕迹正确；

根据图③的作图痕迹可知：，故乙的作图痕迹正确；
故选：C.
12. 观察如图所标记的数据，下列判断正确的是（ ）

A. 甲、乙两个四边形既是轴对称图形也是中心对称图形
B. 甲只是中心对称图形，乙只是轴对称图形
C. 甲只是轴对称图形，乙只是中心对称图形
D. 甲是轴对称图形也是中心对称图形，乙只是中心对称图形
答案：A
解析：
详解：解：观察图形可得，图甲是菱形，图乙是矩形，
∴甲、乙两个四边形既是轴对称图形也是中心对称图形
故选：A．
13. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ）
A. 左视图B. 主视图C. 俯视图D. 左视图和俯视图
答案：A
解析：
详解：解：在滚动过程中主视图会发生变化；
在滚动过程俯视图会发生变化；
在滚动过程左视图不会发生变化；
故选：A．
14. 一道条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要天完成，，还需要几天完成任务． 根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图，设两队合作还需天完成任务，并列方程为 根据上面信息，下面结论不正确的是（ ）
A. 乙队单独完成需要天完成；
B. 处代表的代数式
C. 处代表的实际意义：甲先做天的工作量
D. 甲先做天，然后甲乙两队合作天完成了整个工程．
答案：D
解析：
详解：解：由图可知：点乙队单独完成需要天完成，故说法正确，不符合题意；
处代表的实际意义：甲先做天的工作量，故说法正确，不符合题意；
处代表的代数式 ，故说法正确，不符合题意；
由，解得，甲乙两队再合作天完成了整个工程，故说法不正确，符合题意；
故选：．
15. 如图，是半圆的直径，点将弧分成相等的三段弧，点在的延长线上，连接． 三个人给出以下说法：
甲： 若为半圆的切线， 则能得出
乙： 若连接， 则
丙： 若连接， 则
三位同学给出的结论正确的是（ ）

A. 甲和乙B. 乙和丙
C. 甲和丙D. 只有甲
答案：C
解析：
详解：如图，连接，，，，，

∵点将弧分成相等的三段弧，
∴，
∴，
∵为半圆的切线，
∴，
∴，
∴，故甲的结论正确；
∵，
∴，，
∴和是等边三角形，
∴，
∴，故乙的结论不正确；
∵，故丙的结论正确；
综上可知：故甲和丙的结论正确，
故选：．
16. 如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE=x，则AD=8-x，
根据题意得：（8-x+8）×3×3=3×3×6，
解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
由勾股定理得：CD=，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△BCF，
∴，
即，
∴CF=．
故选A．
二、填空题（本大题共 3个小题： 17题2分， 18-19 题每空2分， 共 10分．）
17. 计算： _____．
答案：
解析：
详解：解：原式，
故答案为：．
18. 如图，已知点， ， ．
（1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标________；
（2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为______．
答案： ①. ②.
解析：
详解：解：（1）如图，
观察图象可知，点D的坐标为，
故答案为：；
（2）点A与C对应，点B与D对应时，如图：
此时这个旋转中心的坐标为；
故答案为：．
19. 如图，点O为的外心， 过点O分别作的垂线，分别交于 D、E 两点．
（1）若， 则的度数为______；
（2）过点O作于点F，， 连接， 若， 则的周长为___．
答案： ①. ##度 ②.
解析：
详解：解：（1）∵点O为的外心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
（2）∵点O为的外心，，
∴
∴，
∵，直线，
∴垂直平分，
∴
∴的周长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分）
20. 已知三角形的一条边长为，第二条边比第一条短，第三条边比第二条边的倍短．
（1）用含的代数式表示这个三角形的周长；
（2）当时，判断该三角形的形状，并说明理由．
答案：（1）；
（2）直角三角形，理由见解析．
解析：
小问1详解：
解：，
，
；
小问2详解：
直角三角形，理由如下：
当时，，，
∴，
∴三角形是直角三角形．
21. 数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”．
小亮写出如下算式：


发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”
（1）验证：是“佳偶和谐式”；
（2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
（3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）该命题是真命题
解析：
小问1详解：
解：∵，
∴是“佳偶和谐式”；
小问2详解：
证明：设这两个连续偶数分别为，则
∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
小问3详解：
解：设任意两个偶数分别为，
∴
∴任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，
∴该命题是真命题．
22. 某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢五次，训练结束后，把结果制成了如图，所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）“进球次”所在扇形的圆心角是 ；请补充完整折线统计图；
（2）若有一名新队员加入足球队，经过五次定点射门后，把进球的结果与原进球结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员进球的最大值；
（3）在此次定点射门训练中进球次的队员中有名女生． 学校想从进球次的队员中选人参加比赛，请通过列表或树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率．
答案：（1），补充完整折线统计图见解析图；
（2）此队员进球的最大值为次；
（3）一男一女的概率．
解析：
小问1详解：
解：定点射门进球的总人数为（人），
“进球次”所在扇形的圆心角是，
“进球次”的人数为（人），
补充完整折线统计图如图，
小问2详解：
原命中结果的平均数为，
∵一名新队员加入足球队，经过五次定点射门后，把进球的结果与原进球结果组成一组新数据，发现平均数变小，
∴此队员进球的最大值为次；
小问3详解：
∵“进球次”的人数为（人），
其中有名女生，则有名男生，
画树状图，
由图知，机会均等的结果共种，其中一男一女的有种，
∴一男一女的概率．
23. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，点是的中点，点与点关于轴对称，直线的关系式为 ．
老师您好，因为题干强调了是“线段端点”所以才添加的，实在抱歉，给您添麻烦了。
（1）若直线经过点，求直线的关系式；
（2）在（）的条件下，若将直线向左平移个单位长度，且平移后的直线经过点， 求的值；
（3）直线 经过点，且与线段有交点（包含，点），请直接写出的取值范围．
答案：（1）直线的关系式为 ；
（2）；
（3）的取值范围为．
解析：
小问1详解：
解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∵直线的关系式为 经过点，
∴，解得，
∴直线的关系式为 ；
小问2详解：
∵，，点是的中点，
∴，
设平移后的解析式为：，
将代入得，
解得：；
小问3详解：
当直线经过点，时，
，解得：；
当直线经过点，时，
，解得：，
∴的取值范围为．
24. 筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示 2，筒车按逆时针方向转动，每绕一圈需要，筒车与水面分别交于、，且． ，筒车的轴心距离水面的高度 长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间．
（1）求筒车的半径；
（2）盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长：
（3）拟修建接水槽，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田． 所在直线与 相切，当盛水桶从浮出水面至绕到上用时时，求接水槽的长．
答案：（1）筒车的半径为
（2）
（3）接水槽的长米
解析：
小问1详解：
解：如图2中，连接．
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
答：筒车的半径为；
小问2详解：
由（1）可得，
∴
∴盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，它走过的路径长为；
小问3详解：
由筒车⊙O按逆时针方向转动，每绕一圈需要，可得筒每秒钟转．
如图所示，延长交于点，连接，，过点作于点，过点作于点,

∵当盛水桶从浮出水面至绕到上用时，
∴，
.∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵所在直线与 相切，即，
∴
∵，
∴
∴
∴
答：接水槽的长米．
25. 为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图 为喷水口喷水的横截面，该喷水口 离地竖直高度 为 ，可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其中 ，其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点 离喷水口的水平距离为，高出喷水口， 喷水口到绿化带的水平距离 为（单位： ）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）通过计算求点的坐标；
（3）绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围．
答案：（1），米；
（2）
（3）
解析：
小问1详解：
解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：，
∵，
将其代入可得：，解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为：，
令，解得：或，
∵点C在x轴的正半轴，
∴，即喷出水的最大射程米．
小问2详解：
解：∵关于对称轴的对称点为：，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，
∴下边缘抛物线为：，
令，解得：或，
∵点B在正半轴上，
∴．
小问3详解：
解：绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，
此时
则，
当d有最小值，
当上边缘抛物线过点时，有最大值，
∵，．
∴令，解得：或，
结合图象可知：
∴d的最大值为：；
∴．
26. 在四边形 中， ，， ， ，， 作 于点 ， 在中， ，，，将按如图 1 放置，此时与 重合，然后将 沿平移至点与点 重合，再改变的位置，如图 3， 将顶点沿 移动至点， 并使点 始终在上．

（1）求证： ；
（2）如图， 当线段经过点时， 求 的长；
（3）若点在上运动，交于点．
当 于点时， 求的长；
设 ，请直接用含的式子表示的长，并直接写出长的最小值．
答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）；，的最小值为．
解析：
小问1详解：
∵于，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴；
小问2详解：
∵，，
∴，
∵，
∴四边是矩形，
∴，
设交于点，

同理四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
小问3详解：
① 由（）知，
当于点时，，
∴
，
，
∴为等边三角形，
∴；
② ∵，，
∴，
∴，
∴，
作于，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最小，最小值为．