江苏省常州市钟楼区教科院附属初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份江苏省常州市钟楼区教科院附属初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意．
故选：C．
2. 下列各式运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
3. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B. 试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一分析即可．
【详解】解：A、是单项式，故此选项不符合题意；
B、，属于因式分解，故此选项符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是因式分解的定义，利用平方差公式分解因式，掌握“因式分解的定义”是解本题的关键．
4. 若，，则的值为（ ）
A. 12B. 8C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了逆用同底数幂除法公式求解等知识，逆用同底数幂除法公式得到，代入即可求解．
【详解】解：．
故选：D
5. 如图所示，下列结论成立的是( )
A. 若∠1＝∠4，则BC∥AD
B. 若∠5＝∠C，则BC∥AD
C. 若∠2＝∠3，则BC∥AD
D. 若AB∥CD，则∠C＋∠ADC＝180°
【答案】C
【解析】
【分析】若同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行，反之亦然.
【详解】解：A，若∠1＝∠4，则AB∥CD，故错误；
B，若∠5＝∠C，，则AB∥CD，故错误；
C，若∠2＝∠3，则BC∥AD，故正确；
D，若AB∥CD，则∠C＋∠ABC＝180°，故错误；
故选择C.
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质.
6. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cbb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
7. 如图所示，在中，D、E、F分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，再利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到，，从而得到的值．解题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，三角形的面积等于底与高的乘积的一半．
【详解】解：∵点是的中点，（阴影部分），
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，，
∴，
∴的面积等于．
故选：A．
8. 如果一个数等于两个连续奇数平方差，那么我们称这个数为“和谐数”，如：因为，所以称40为“和谐数”，下面4个数中为“和谐数”的是（ ）．
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进行求解是解决本题的关键．设这两个连续奇数为n，，应用平方差公式进行计算可得，代入计算n的值，即可得出答案．
【详解】解：设这两个连续奇数为n，，
则，
A．，解得，n不是奇数，故不符合题意；
B．，解得，n不是奇数，故不符合题意；
C．，解得，n不是奇数，故不符合题意；
D．，解得，n是奇数，故符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）
9. ______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的加法，熟知相关运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂及零指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据有理数的加法进行计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：4．
10. 是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，则数据用科学记数法可表示为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
11. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
12. 已知，，则代数式的值为________．
【答案】7
【解析】
【分析】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题关键是将变形为．首先将变形为，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：7．
13. 若关于x的多项式（m为常数）是一个完全平方式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题根据完全平方公式的结构特征进行分析，两倍的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾的两位数的情况下，对中间项2倍乘积要分正负两种情况，这点特别注意．根据首末两项分别是和的平方，可得中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，即可求出m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 若，则的值为________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，根据可得，再将原式中的变形为，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：9．
15. 如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝_____
【答案】50°
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠2＝∠A，由外角的性质可求解．
【详解】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
16. 如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是________．
【答案】22
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移性质可得，，然后判断出四边形的周长的周长，即可得出结果．
【详解】解：向右平移得到，
，，
四边形的周长，
即四边形的周长的周长，
故答案为：22．
17. 如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为______°．
【答案】80
【解析】
【分析】延长交于点G，根据三角形内角和定理可求出，由翻折的性质可知，，即得出，从而求出，由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出．
【详解】如图，延长交于点G，
∵，
∴，
由翻折可知，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
故答案：80．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，翻折的性质，三角形外角性质，熟练掌握其定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．第18、19题每题12分，第20题5分，第21、22、23、24题每题7分，第25题9分）
18. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
（1）根据积的乘方和同底数幂除法运算法则进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（3）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
19. 因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法，准确计算．
（1）用平方差公式分解因式；
（2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式；
（3）先提公因式，然后用平方差公式分解因式．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，先算乘法，再合并同类项，最后将的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式
21. 画图并填空：
如图，12×10的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点．
（1）请画出；
（2）连接，，则这两条线段的关系是 ；
（3）利用方格纸，在中画出边上的中线以及边上的高；
（4）线段在平移过程中扫过区域的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）平行且相等
（3）见解析 （4）20
【解析】
【分析】（1）利用点C和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点，即可；
（2）根据平移的性质进行判断；
（3）利用网格特点和三角形的中线、高的定义作图；
（4）根据正方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
与的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等
【小问3详解】
如图，、为所作；
【小问4详解】
线段在平移过程中扫过区域的面积．
故答案为：20
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，还考查了平移的性质、正方形的面积和直角三角形的面积等知识．
22. 如图，已知，，
（1）试说明；
（2）若，平分，试求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法和性质．
（1）根据平行线的判定方法得出，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出，最后得出结果即可；
（2）先求出，再求出，根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为________；
（2）如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．
①若，判定是否是“梦想三角形”，为什么？
②当为“梦想三角形”时，则的度数是_________．
【答案】（1）或
（2）①是“梦想三角形”；理由见解析；②或或
【解析】
【分析】（1）分两种情形：当是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可．
（2）①根据“梦想三角形”的定义可以判断：是“梦想三角形”；
②分六种情况进行讨论当是的三倍时，当是的三倍时，当是三倍时，当是三倍时，当是的三倍时，当是是的三倍时，分别求出结果即可．
小问1详解】
解：当是三角形的一个内角的3倍，则这个内角为，
第三个内角为：，
故此时最小的内角是，
当另外两个内角是3倍关系时，则有另外两个内角中较小的内角为：
，
故此时最小的内角是；
故答案为：或．
【小问2详解】
解：①“梦想三角形”，理由如下：
，
，
∵，，
又∵，
，
，
“梦想三角形”．
②，
，
∵，
∴；
当是的三倍时，则，
∴；
当是的三倍时，则，
∴此时点C与点O重合，不符合题意；
当是三倍时，则，
∴；
当是三倍时，则，
∵点C在线段上，且点C不与O、B重合，
∴，即，
∵，
∴此时不符合题意；
∴不可能是的三倍；
当是的三倍时，则，
∴；
当是是的三倍时，则，
∵点C在线段上，且点C不与O、B重合，
∴，即，
∵，
∴此时不符合题意；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，垂线定义理解，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24. 在计算如图1所示的正方形的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：因此，可得到等式：．

（1）类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式：________；
（2）试在图2右边空白处画出面积为的长方形的示意图（标注好a，b），由图形可知，多项式可分解因式为：________；
（3）若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有________项．
【答案】（1）
（2）画图见解析；
（3）55
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与因式分解，解题的关键是数形结合，熟练掌握多项式乘多项式运算法则．
（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形，得出多项式分解因式的结果即可；
（3）由，共有项. 共有项，
知展开后合并同类项共项．
【小问1详解】
解：图2中大正方形的边长为，则面积为，
将图2中大正方形看作有9个图形的面积之和，则大正方形面积为：
，
∴可以得出等式：．
【小问2详解】
解：面积为的长方形的示意图，如图所示：

∴多项式分解因式为：．
【小问3详解】
解：∵，共有项， 共有项，
∴按照此规律可知：展开后合并同类项后的项数为：
（项）．
25. 如图①，在四边形 ABCD 中，∠A＝x°，∠C＝y°.
（1） ∠ABC＋∠ADC＝ °．（用含 x，y 的代数式表示）
（2） BE、DF 分别为∠ABC、∠ADC 的外角平分线，
①若 BE∥DF，x＝30，则 y＝ ；
②当 y＝2x 时，若 BE 与 DF 交于点 P，且∠DPB＝20°，求 y 的值．
（3） 如图②，∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点 Q，则∠Q＝ °．（用含 x，y 的代数式表示）
【答案】（1）（360－x－y）． （2）①30°；x＝40，y＝80；（3）90＋(x－y)
【解析】
【分析】（1）利用四边形内角和是360°即可解题,（2）①作出图像,利用四边形的内角和是360°即可解题, ②利用内角和定理和角平分线的性质得到∠PBC＋∠PDC＝(∠NBC＋∠MDC)=(x＋y),再延长 BC，与 DP 交于点 Q,利用三角形的外角的性质即可求解,（3）利用四边形BCDQ和四边形ABCD的内角和是360°,分别表示出两个等式,进行化简整理可得∠A+∠ADC+∠C+2∠1=360°,再利用∠1-∠2=90°-（）°,即可求解.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°,
∴∠ABC＋∠ADC＝360°-（∠A+∠B）=（360－x－y）°．
（2）①过点C作CH∥DF,
∵ BE∥DF
∴CH∥BE,∠FDC=∠DCH,∠EBC=∠BCH,
∴∠ABC=180°-2∠CBE,∠ADC=180°-2∠FDC,∠BCD=∠EBC+∠FDC,
∴30°+180°-2∠CBE+∠EBC+∠FDC+180°-2∠FDC=360°,
∴∠EBC+∠FDC=30°,即y=30°,
②由（1）得∠ABC＋∠ADC ＝(360－x－y) °
又∵∠ADC＋∠MDC＝180°，∠ABC＋∠NDC＝180°
∴∠NBC＋∠MDC＝(x＋y)°
∵BE、DF 分别为平分∠ABC、∠ADC
∴∠PBC＝∠NBC，∠PDC＝∠MDC
∴∠PBC＋∠PDC＝(∠NBC＋∠MDC)=(x＋y)
延长 BC，与 DP 交于点 Q,见下图,
∵∠BCD＝∠PDC＋∠DQC,∠DQC＝∠P＋∠QBP（外角性质）
∴∠BCD＝∠P＋∠PBC＋∠PDC
∴y＝20＋(x＋y)，即y－x＝40
又∵y＝2x
∴x＝40，y＝80
（3）如下图,∵∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点 Q，
∴∠ABQ=∠CBQ=∠1,
∵四边形BCDQ和四边形ABCD的内角和是360°,
即∠Q+∠2+∠ADC+∠C+∠1=360°,
∠A+∠ADC+∠C+2∠1=360°,
整理得,∠Q=∠A+（∠1-∠2）
∵∠A+∠ADC+∠C+2∠1=360°,
整理得,∠1-∠2=90°-（）°,
∴∠Q=[90＋(x－y)]°
【点睛】本题考查了四边形的内角和,角平分线的性质,问题较多且图形复杂,难度较大,利用好角平分线的性质,外角的性质,通过四边形的内角和是360°这一隐性条件找到等量关系是解题关键.