2024年江苏省南京市玄武区中考二模数学试题

这是一份2024年江苏省南京市玄武区中考二模数学试题，共28页。试卷主要包含了 关 于x 的方程等内容，欢迎下载使用。
1. 本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上， 答在本试卷上无效，
2. 请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再 将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定 位置，在其他位置答题一律无效．
4. 作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一 、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：原式=；
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的运算法则，其中涉及到了负整数指数幂等知识，解决本题的关键是牢记相应法则，并能够按照正确的运算顺序进行计算即可，本题较为基础，考查了学生的基本功．
2. 下列各数中，与的积为有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。【详解】解：、，结果为无理数，不合题意；
、，结果为无理数，不合题意；
、，结果为有理数，符合题意；
、，结果为无理数，不合题意；
故选：．
3. 一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 五棱锥B. 五棱柱C. 六棱锥D. 六棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．根据五棱锥的侧面展开图得出答案．
【详解】解：由几何体的表面展开图可知，该几何体的形状是五棱锥．
故选：A．
4. 数轴上点A，B表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为( )
A. －3＋5B. －3－5C. |－3＋5|D. |－3－5|
【答案】D
【解析】
【分析】数轴上两点之间的距离可以用两点所表示的数的差的绝对值来表示．
【详解】根据题意可得：AB=
故选D
【点睛】本题主要考查的是绝对值的几何意义，属于基础题型．理解绝对值的几何意义是解决这个问题的关键．
5. 关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A. 两个正根B. 两个负根
C. 一个正根， 一个负根D. 无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题．
【详解】解：，
，
即有，
方程有两个不相等的实数根，
，
方程两个不相等的实数根异号，
方程有一个正根， 一个负根，
故选：C．
6. 如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=8，则⊙O的半径为（ ）
A. B. 2C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】过点作 连接根据垂径定理可得根据
得到对式子进行变换，即可求出半径.
【详解】过点作 连接






解得：
故选B.
【点睛】考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子进行变形是解题的关键.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
故答案为：．
8. 我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造0.00068毫米的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．用科学记数法表示0.00068是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
9. 计算的结果为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据乘法分配律、二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可．
【详解】解：
=
=
=
故答案为：．
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握乘法分配律、二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键．
10. 分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：
11. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为．
12. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的底面圆的半径为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：设底面圆的半径为，
则，
解得：，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是．作点A关于y轴的对称点，得到点再将点向下平移4个单位，得到点，则 点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称和平移，正确求出点的坐标是解题的关键．先根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到，再根据点坐标的平移规律求出的坐标即可．
【详解】解：∵点A的坐标是，作点A关于y轴的对称点，得到点，
∴，
∵将点向下平移4个单位，得到点，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在圆内接六边形中，，则的度数为____________ ．
【答案】130
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，，根据求出的度数，进而求出，再根据圆内接四边形的对角互补，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，
的度数的度数，
的度数，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
故答案为：130．
15. 如 图，点 、在 反 比 例 函 数 的图像上，连接 并延长交 轴于点，若是的中点，的面积为，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，过作，过作，连接，得到，根据的几何意义和为的中点，得到，再根据的面积为3，求出的面积即可得解．
【详解】解：过作，过作，分别交于点，连接，

则：，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的中点，则，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，M 、N分别是 、 边上的动点，且，则线段 的最小值为___________ ．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次函数的最值，解直角三角形，先根据角所对的直角边等于斜边的一半得到，过点M作于点D，设，则，则得到，，然后利用勾股定理得到的长，再根据抛物线的顶点坐标得到结论即可．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
过点M作于点D，
设，则，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，最小，最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程：
（1）原式分别计算，，，，然后再进行加减运算既可；
（2）方程运用因式分解法求解即可
【详解】解：（1）
= .
（2），
，
∴
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，先把括号内的式子通分，然后运用分式乘除法法则进行解题即可．
【详解】解：
．
19. 临近端午，某学校采购甲、乙两种粽子共260个，其中，甲种粽子花费300元，乙种粽子花费400元，且甲种粽子的单价比乙种粽子高，求乙种粽子的单价．
【答案】乙种粽子的单价是元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为元，根据“甲、乙两种粽子共260个”列出方程求解即可．
【详解】解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为元．
根据题意，列方程得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：乙种粽子的单价是元．
20. 在某档歌唱比赛中，由10位专业评审和10位大众评审对甲、乙两位参赛歌手 进行评分（单位：分），10位专业评审评分条形统计图如图①所示；10位大众评审的评分折线统计图如图②所示．
（1）填空：
（2）计算乙的大众评分的方差；
（3）若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按的比例计算参赛歌手的最终得分，哪位选手的得分更高?
【答案】（1）8，8 （2）乙的大众评分的方差为1分
（3）甲的得分更高
【解析】
【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，统计表，加权平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）由条形统计图中数据，以及中位数，众数的概念求解，即可解题；
（2）根据统计表得到乙的大众评分平均数，再根据方差的计算公式计算，即可解题；
（3）利用加权平均数得到甲的最终得分和乙的最终得分，再进行比较，即可解题．
【小问1详解】
解：由条形统计图可知，甲的中位数为，乙的众数为，
故答案为：8，8．
【小问2详解】
解：乙的大众评分平均数为分，
则（分），
答：乙的大众评分的方差为1分；
【小问3详解】
解：甲的最终得分为：（分），
乙的最终得分为：（分），
，
甲的得分更高．
21. 游乐场有3个游玩项目A 、B 、C，甲、乙各自在这3个项目中随机选取2个项目游玩．
（1）求甲选择到项目A 的概率；
（2）甲、乙都选择到项目A 的概率为 ．
【答案】（1）甲选择到项目A 的概率为
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法：
（1）列表可得出所有等可能的结果数以及甲选择到项目A的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙都选择到项目A的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中甲选择到项目A的结果有：，，，，共4种，
∴甲选择到项目A的概率为．
【小问2详解】
解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙都选择到项目A的结果有：，，，，共4种，
∴甲、乙都选择到项目A的概率为．
故答案为：．
22. 如图，在中，，垂足分别为G 、H，E 、F分别是、的中点，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，则四边形的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明四边形是矩形，则，由E 、F分别是、的中点，可得，证明即可；
（2）如图，连接，由，E是的中点，可得，，由勾股定理得，，由，可求，由E 、F分别是、的中点，则底边上的高均为，由，可得，同理（1）可证，，，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵E 、F分别是、的中点，
∴，
∵，，，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵，E是的中点，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵E 、F分别是、的中点，
∴底边上的高均为，
∵，
∴，
同理（1）可证，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
23. 如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，）
【答案】货轮航行的路程为23.5海里
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，
由题意得：，，
在中，海里，，
（海里），
（海里），
海里，
在中，，
（海里），
海里，
（海里），
货轮航行的路程约为23.5海里．
24. 某平台提供同城配送服务，每单费用=基础配送费+路程附加费+重量附加费．其中，基础配送费为8元；路程附加费的收费标准：当配送路程不超过3千米时，每千米1元，若超过3千米，则超过部分每千米2元；重量附加费y（元）与物品重量之间的函数关系如图中折线所示．
（1）当物品重量为, 配送路程为时，则配送的费用为_____元；
（2）当时，求y 与x 的函数表达式；
（3）某客户需将重量为的物品送到相距处的某地，由于平台规定每单配送物品的重量不得超过, 现需要分两单配送（物品可任意拆分），则两单费用之和的最小值为______元．
【答案】（1）37 （2）当 时 ，y 与x 之间的函数关系式为
（3）62
【解析】
分析】（1）由基础费加上路程费即可得到答案；
（2）当时，设y 与x 之间的函数关系式为，把，代入即可得到答案；
（3）求解当时，y 与x 之间的函数关系式为；设一单重量为，则另一单重量为，再分情况讨论即可.
【小问1详解】
解：∵物品重量为, 配送路程为，
∴配送的费用为（元）；
【小问2详解】
解：当时，设y 与x 之间的函数关系式为，
把，代入可得：
，
解得：，
∴y 与x 之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：当时，设y 与x 之间的函数关系式为，
把，代入可得：
，
解得：，
∴y 与x 之间的函数关系式为；
设一单重量，则另一单重量为，
当，则，不符合题意；
当时，则；
∴两单费用之和为：
，
当时，费用最小为（元），
当时，则；
∴两单费用之和为：
，
当时，费用最小为（元），
当时，则，
∴两单费用之和为：
，
此时，费用为元，
当时，则，
∴两单费用之和为：
，
当时，费用最小为（元），
当时，则，
∴两单费用之和为：
，
当时，费用最小为（元），
综上：两单费用之和的最小值为元．
【点睛】本题考查是一次函数的实际应用，不等式的性质，理解题意，熟练的利用一次函数的性质解题是关键.
25. 已知二次函数（m为常数）．
（1）求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；
（2）设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）令，则，根据，作答即可；
（2）令，则，即，由，可得，由的面积与的面积相等，可得，即或，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：令，则，
∴，
∴该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；
【小问2详解】
解：令，则，即，
∵，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，即或，
解得或，
∴或．
26. 如图，在菱形中，点E 在上，连接交于点F，经过A、B、E，点F 恰好在上 ．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，则的长为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由平行得，由菱形性质得，即可证明；
（2）连接并延长交于H，连接，证明，得，根据圆的内接四边形性质得，证明出，再证，证明出，根据三线合一性质得，由平行即可证明出，即可解答；
（3）由求出，求出，再由，求出后即可解答．
【小问1详解】
证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接并延长交于H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题目主要考查等腰三角形的判定与性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质等知识点，熟练应用圆的相关定理及三角形全等、三角形相似等知识点的应用是本题的解题关键．
27. 在中 ，是边上的中线，是边上的中线，、交于点．
（1）求证：点在边的中线上．
如图①，连接 并延长，与交于点，连接 ，与交于点．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格；
（2）当 时，
①如图②，连接，求 证 ：；
②若 ， 则面积的最大值为______．
（3）如图③，已知线段、，求作，使 ，，且 ，
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）
【答案】（1）①；②；③
（2）①见解析；②
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，中位线的性质；
（1）根据相似三角形的性质与判定填写即可求解；
（2）①并延长交 于点，连接．证明，进而可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得证；
②根据①的结论可得，当时，面积最大，根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）由为定长，为中点，为的中点，为的中点，则的长为，根据则点在直径为的圆上，确定点的位置，进而确定点的位置，即可求解．
【小问1详解】
①；②；③
【小问2详解】
①连接并延长交 于点，连接．
由（1）可知，在 边的中线上，即是边上的中线．
、是、边的中点，
是的中位线，
，．
，．
．
．
在中，，是 的中点，
．
．
②由①可得，
∴
当时，面积最大，最大值为
【小问3详解】
作法：
1．作线段；
2．作垂直平分线，交于点；作 的垂直平分线，交于点；以为直径作；
3．以点为圆心，为半径作弧，交于点 ； 连接并延长至点，使；连接，则即为所求．
理由如下，如图所示，连接，
根据作图可得，是的直径，
∴
由分别为的中点，
∴
∴；
∴即为所求．歌手
专业评分
大众评分
平均数/分
中位数/分
众数/分
平均数/分
方差/分2
甲
8
①
8.9
6.8
3.36
乙
7.9
8
②
7
S乙2
A
B
C
A
B
C