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2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.2常用逻辑用语
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.2常用逻辑用语，共6页。试卷主要包含了充分、必要条件的判定，充分、必要条件的综合应用，全称量词命题与存在量词命题等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） 若为复数，则“”是“为纯虚数”的（ C ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：（方法一）设，则.
当 时，即
若，则 恒不成立；
若，，此时，为纯虚数；
若 且，则，与 不符.
综上，，为纯虚数，
所以“”是“为纯虚数”的充分条件.
当 为纯虚数，即 时，,
所以“”是“为纯虚数”的必要条件.
综上所述，“”是“为纯虚数”的充要条件.
（方法二）设，则.
为纯虚数.
所以“”是“为纯虚数”的充要条件.
故选.
（2） [2022年浙江卷]设，则“”是“”的（ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：（方法一） ， ，，故是充分不必要条件.
（方法二）当 时，由同角关系，得，充分性成立；当 时，，必要性不成立.所以当 时，“”是“”的充分不必要条件.故选.
【点拨】充要条件常用的三种判断方法.①定义法.分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断及的真假；第三步，下结论.②集合法.见本节常用结论，例1（2）可用此法求解.③等价转化法.将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.
变式1
（1） 已知,,则是的（ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：若 为真命题，则.若 为真命题，则.因为,所以 是 的充分不必要条件.故选.
（2） 已知是定义在上的函数，那么“函数在上的最大值为”是“函数在上单调递增”的（ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：若 在 上的最大值为，
比如，
则 在,上单调递减，在,上单调递增，
故 在 上的最大值为，推不出 在 上单调递增.
若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为.
故前者是后者的必要不充分条件.故选.
考点二 充分、必要条件的综合应用
例2 函数是奇函数的充要条件是（ D ）
A. B. C. D.
解：（方法一）因为，即，且 不恒为0，所以.由 的任意性,得.又，所以.所以 且，等价于.因此，函数 是奇函数的充要条件是.
（方法二）若 是奇函数，则，可得，且 恒成立，即
因为 不恒为0，所以，由 的任意性，得.所以.因此，是奇函数的必要条件是.若，则.所以，显然为奇函数.所以 是奇函数的充分条件是.所以 是奇函数的充要条件是.故选.
【点拨】 ①求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组）求解.②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验.
变式2 若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ D ）
A. B. C. D.
解：由不等式，可得 不合题意.要使得 是 的一个充分条件，则满足 解得故选.
考点三 全称量词命题与存在量词命题
命题角度1 全称、存在量词命题及其否定
例3 【多选题】设命题,且，命题每个三角形都有内切圆，则（ ABD ）
A. 是假命题
B. 的否定：,或
C. 是假命题
D. 的否定：存在一个三角形没有内切圆
解：，若，则；若，则,所以 与 不可能同时成立，故 是假命题.显然是真命题.所以 正确，错误.的否定：,或 的否定：存在一个三角形没有内切圆.所以，正确.故选.
【点拨】 ①否定全称（存在）量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有量词的要结合命题的含义加上量词.②否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题.
变式3 【多选题】设命题，，命题有的素数不是奇数，则（ BC ）
A. 是真命题B. 的否定：，
C. 是真命题D. 的否定：有的素数是奇数
解：因为，所以 是假命题，故 错误.的否定：，，故 正确.素数2不是奇数，所以 是真命题，故 正确.的否定：所有的素数都是奇数，故 错误.故选.
命题角度2 根据命题的真假求参数
例4 已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：（方法一）当 时，，可得，此时命题 为真.当 时，要使命题 为真，只要，即 且 即可.综上，.
（方法二）命题 的否定是“，”.当 时，显然命题 为假；当 时，命题 为真的充要条件是 且，即.故 为真时，的取值范围为.故 为真时，的取值范围为故选.
【点拨】已知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）求解，另外注意转换，如本例，可将存在量词命题为真命题转换为全称量词命题为假命题，从而转化为一元二次不等式恒成立问题，再求其补集.
变式4 已知命题“,,”为假命题，则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D. ,
解：由题意，知,,.
又，当且仅当，即 时，等号成立，所以.故选.
课外阅读·逻辑推理案例
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.逻辑推理主要表现为:掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.新高考对于思维要求的体现，有时喜欢考查基于数学知识背景下的逻辑推理问题，也可能基于数学文化、生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查.
1. [2021年八省联考]关于的方程，有下列四个命题：
甲：是该方程的根；
乙：是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号.
如果只有一个假命题，那么该命题是（ A ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
解：因为,,且四个命题三真一假，所以甲、乙必有一个是假.由甲为假,易知符合题意，由乙为假可推出矛盾.故选.
2. [2023年四省联考改编]下表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致，，改变状态．若要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为3．
解：由题意，知连续两次按一个方格等于无操作，按开关顺序对最终状态无影响.
方格 改变状态的次数为奇数，其他方格改变状态的次数为偶数.
故方格，，各按一次时符合要求.
故需按开关的最少次数为3．故填3．
例1
（1） 若为复数，则“”是“为纯虚数”的（ C ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：（方法一）设，则.
当 时，即
若，则 恒不成立；
若，，此时，为纯虚数；
若 且，则，与 不符.
综上，，为纯虚数，
所以“”是“为纯虚数”的充分条件.
当 为纯虚数，即 时，,
所以“”是“为纯虚数”的必要条件.
综上所述，“”是“为纯虚数”的充要条件.
（方法二）设，则.
为纯虚数.
所以“”是“为纯虚数”的充要条件.
故选.
（2） [2022年浙江卷]设，则“”是“”的（ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：（方法一） ， ，，故是充分不必要条件.
（方法二）当 时，由同角关系，得，充分性成立；当 时，，必要性不成立.所以当 时，“”是“”的充分不必要条件.故选.
【点拨】充要条件常用的三种判断方法.①定义法.分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断及的真假；第三步，下结论.②集合法.见本节常用结论，例1（2）可用此法求解.③等价转化法.将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.
变式1
（1） 已知,,则是的（ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：若 为真命题，则.若 为真命题，则.因为,所以 是 的充分不必要条件.故选.
（2） 已知是定义在上的函数，那么“函数在上的最大值为”是“函数在上单调递增”的（ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：若 在 上的最大值为，
比如，
则 在,上单调递减，在,上单调递增，
故 在 上的最大值为，推不出 在 上单调递增.
若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为.
故前者是后者的必要不充分条件.故选.
考点二 充分、必要条件的综合应用
例2 函数是奇函数的充要条件是（ D ）
A. B. C. D.
解：（方法一）因为，即，且 不恒为0，所以.由 的任意性,得.又，所以.所以 且，等价于.因此，函数 是奇函数的充要条件是.
（方法二）若 是奇函数，则，可得，且 恒成立，即
因为 不恒为0，所以，由 的任意性，得.所以.因此，是奇函数的必要条件是.若，则.所以，显然为奇函数.所以 是奇函数的充分条件是.所以 是奇函数的充要条件是.故选.
【点拨】 ①求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组）求解.②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验.
变式2 若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ D ）
A. B. C. D.
解：由不等式，可得 不合题意.要使得 是 的一个充分条件，则满足 解得故选.
考点三 全称量词命题与存在量词命题
命题角度1 全称、存在量词命题及其否定
例3 【多选题】设命题,且，命题每个三角形都有内切圆，则（ ABD ）
A. 是假命题
B. 的否定：,或
C. 是假命题
D. 的否定：存在一个三角形没有内切圆
解：，若，则；若，则,所以 与 不可能同时成立，故 是假命题.显然是真命题.所以 正确，错误.的否定：,或 的否定：存在一个三角形没有内切圆.所以，正确.故选.
【点拨】 ①否定全称（存在）量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有量词的要结合命题的含义加上量词.②否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题.
变式3 【多选题】设命题，，命题有的素数不是奇数，则（ BC ）
A. 是真命题B. 的否定：，
C. 是真命题D. 的否定：有的素数是奇数
解：因为，所以 是假命题，故 错误.的否定：，，故 正确.素数2不是奇数，所以 是真命题，故 正确.的否定：所有的素数都是奇数，故 错误.故选.
命题角度2 根据命题的真假求参数
例4 已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：（方法一）当 时，，可得，此时命题 为真.当 时，要使命题 为真，只要，即 且 即可.综上，.
（方法二）命题 的否定是“，”.当 时，显然命题 为假；当 时，命题 为真的充要条件是 且，即.故 为真时，的取值范围为.故 为真时，的取值范围为故选.
【点拨】已知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）求解，另外注意转换，如本例，可将存在量词命题为真命题转换为全称量词命题为假命题，从而转化为一元二次不等式恒成立问题，再求其补集.
变式4 已知命题“,,”为假命题，则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D. ,
解：由题意，知,,.
又，当且仅当，即 时，等号成立，所以.故选.
课外阅读·逻辑推理案例
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.逻辑推理主要表现为:掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.新高考对于思维要求的体现，有时喜欢考查基于数学知识背景下的逻辑推理问题，也可能基于数学文化、生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查.
1. [2021年八省联考]关于的方程，有下列四个命题：
甲：是该方程的根；
乙：是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号.
如果只有一个假命题，那么该命题是（ A ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
解：因为,,且四个命题三真一假，所以甲、乙必有一个是假.由甲为假,易知符合题意，由乙为假可推出矛盾.故选.
2. [2023年四省联考改编]下表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致，，改变状态．若要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为3．
解：由题意，知连续两次按一个方格等于无操作，按开关顺序对最终状态无影响.
方格 改变状态的次数为奇数，其他方格改变状态的次数为偶数.
故方格，，各按一次时符合要求.
故需按开关的最少次数为3．故填3．
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