2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.4指数函数

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.4指数函数，共7页。试卷主要包含了指数函数的图象及应用，指数函数的性质及应用等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） 二次函数与指数函数的图象只可能为（ C ）
A. B.
C. D.
解：根据指数函数定义，知 中，同号且不相等，则二次函数 图象的对称轴,可排除，.又因为二次函数 的图象过坐标原点，所以 正确.故选 .
（2） 已知函数,且，则的图象过定点 ；若的图象不经过第四象限，则的取值范围为 .
解：的图象过定点.由 的图象不经过第四象限，得，且，解得.所以 的取值范围是.
故填 ； .
（3） 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
解：令，得.令，，其函数图象有两个交点，结合函数图象（如图），可知，即.故填.
【点拨】 ①对于有关指数函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图象，数形结合求解.
变式1
（1） 如图，曲线①②③④中不为函数，，图象中的一个的是（ B ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
解：由指数函数图象的特点，知③是函数 的图象，④是函数 的图象.根据对称性，知①是函数 的图象.所以②不是．故选 ．
（2） 函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ D ）
，B. ，
C. ，D. ，
解：由 的图象，可知函数 在定义域上单调递减.是增函数，所以.函数 的图象是将 的图象向左平移得到的，所以.故选 .
（3） 若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ C ）
A. B. C. D.
解：若 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，可转化为函数 与 的图象有两个交点，且一个在 轴右侧，另一个在 轴左侧，作出它们的图象如图所示.由图象，知.故选.
考点二 指数函数的性质及应用
命题角度1 比较指数幂的大小
例2
（1） 已知，，，则 （ A ）
A. B. C. D.
解：因为，，所以.因为，，所以.综上所述，.故选 .
（2） 若，则（ A ）
A. B. C. D.
解：因为函数 在 上单调递减，且，所以.所以函数 在 上单调递减.又，所以.因为幂函数 在 上单调递增，，所以.所以.故选．
【点拨】 比较两个幂的大小，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可做除法，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要对原式变形或利用中间量.
变式2
（1） 已知，，，则（ C ）
A. B. C. D.
解：，，且，所以.又，所以．故选 ．
（2） 已知函数，记，，，则，，的大小关系为（ B ）
A. B. C. D.
解:由题意，知 为偶函数.当 时，单调递增，.因为，所以，故.故选.
命题角度2 解不等式
例3 已知函数则不等式的解集为 ．
解：令函数，，则函数 单调递增.令，，则函数 单调递增.又，所以函数 在 上单调递增．因为，所以，解得.则不等式的解集为．故填.
【点拨】 利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
变式3 函数的定义域为,..
解：,则.
，则.
综上，.故填,.
命题角度3 综合应用
例4
（1） 若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意，得函数 是 上的增函数.
则由指数函数与一次函数单调性，可知应满足 解得.所以实数 的取值范围为.故选 .
（2） 已知函数满足，且，请写出一个符合上述条件的函数（答案不唯一）..
解：满足,考虑指数函数.又，考虑函数是减函数，故 满足条件.故填（答案不唯一）.
【点拨】 形如的函数，它的单调性与的单调性有关：若，则函数的单调增（减）区间即函数的单调增（减）区间；若，则函数的单调增（减）区间即函数的单调减（增）区间.即“同增异减”.注意，当底数与1的大小关系不确定时，应分类讨论.
变式4
（1） 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
解：令，则其图象开口向上，对称轴为直线.因为外层函数 在 上单调递减，函数 在区间 上单调递减，所以函数 在 上单调递增.所以，解得.故选 .
（2） 已知函数满足：①定义域为；；，，.请写出一个符合上述条件的函数（答案不唯一）.
解：由条件③，可考虑指数函数的复合函数.由条件②，知 为偶函数.令，满足题意.故填（答案不唯一）.
例5 已知的值域为，则的取值范围是 （ D ）
B.
C. D.
解：因为 的值域为，
所以.解得 或.所以 或.
故选 .
【点拨】 求或，且的值域，均遵循复合函数“由内向外”的求值域原则，常利用换元法解题.
变式5 已知函数,，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ B ）
A. ,B. ,C. D.
解：不等式，即，
因此.
令，则 在 上单调递减，
所以 的最大值是.
因此实数 的取值范围是,.故选.