2025高考数学一轮知识必备练习第二章函数2.2函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性

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1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
3.函数奇偶性的重要性质
（1）具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件.
（2）为偶函数.
（3）若奇函数在处有定义，则0.
（4）若既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在 轴上.
（5）若函数为奇函数，且在上单调递增（减），则在
上单调递增（减）；若函数为偶函数，且在上单调递增（减），则在上单调递减（增）.
（6）奇、偶函数的“运算”（共同定义域上）:奇奇奇，偶偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇.
（7）常用的两个等价关系.
①为偶函数的图象关于直线 对称.
②为奇函数的图象关于点 对称.
常用结论
1.函数周期性的几个常用结论
（1）周期函数的定义域必定至少一端是无界的.
（2）是的周期，则也是的周期.
（3）若函数是周期函数，且周期为，则函数也为周期函数，且周期.
（4）以下等式中任何一个可推得为的周期
;；；.
2.常见抽象函数及其原型
（1），原型为一次函数.
（2）以及，原型为幂函数.
（3）以及，原型为指数函数，且.
（4）以及，原型为对数函数，且.
（5），原型为余弦函数.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 定义在上的函数满足,则是偶函数.（ × ）
（2） 偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.（ × ）
（3） 若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称.（ √ ）
（4） 函数在定义域上满足，则是周期为的周期函数.（ √ ）
（5） 偶函数在上单调递增，则在上单调递减.（ √ ）
2. 【多选题】下列函数是偶函数的是（ AD ）
A. B.
C. D.
解：为偶函数，故 正确.为奇函数，故 错误.的定义域为，不是偶函数，故 错误.函数 的定义域为，且，所以为偶函数，故 正确.故选.
3. 已知函数对于任意实数满足条件，若，则（ B ）
A. B. C. D. 2
解：由题意，知 的周期是4.所以.故选.
4. [2023年全国甲卷]若为偶函数，则2．
解：（方法一）因为 为偶函数，所以，即.则 ，故，检验知符合题意.故．
（方法二）.
因为,都是偶函数，所以 也为偶函数，故，.
故填2.名称
偶函数
奇函数
定义
一般地，设函数的定义域为，如果，都有，
且 ，那么函数就叫做偶函数
且 ，那么函数就叫做奇函数
图象特点
关于轴对称
关于原点对称