2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何专题突破13球的切接问题（附解析）

这是一份2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何专题突破13球的切接问题（附解析），共4页。

A. B. C. D.
解：因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线.设长方体的同一顶点三条棱长分别为,,,且长方体的面对角线长分别为,,，则,,.长方体的体对角线长为长方体外接球直径，即为三棱锥 外接球的直径，且，则表面积为故选.
2. 已知,,为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为 ，，则球的表面积为（ A ）
A. B. C. D.
解：如图，设圆 的半径为，球的半径为.依题意，得 ，所以.
因为 为等边三角形，
由正弦定理,可得，所以.
根据球的截面性质,得 平面，所以，，所以球 的表面积 .故选.
3. [2022年新课标Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ A ）
A. B. C. D.
解：设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为,.则,，即,.
设球心到上、下底面的距离分别为,，球的半径为.则，.由 或，得 或，解得,符合题意.所以球的表面积为 .故选.
4. 已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的内切球的表面积为 .
解：由题意，设三棱锥 的内切球的半径为，球心为.则由等体积,得，即，解得.故内切球的表面积为.故填.
5. [2023年全国甲卷]在正方体中，,为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
解：设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求球的半径最大.外接球直径，则，故.
如图，分别取侧棱,,,的中点,,,，连接.显然四边形 是边长为4的正方形，则.当球的一个大圆恰好是四边形 的外接圆时，球的半径最小，即.
综上，.故填.
6. [2022年全国乙卷]已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 .
解：如图，由题意，可知当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大.
设底面边长为，底面所在圆的半径为.则，四棱锥的高.则四棱锥的体积，当且仅当，即 时，等号成立.所以该四棱锥的体积最大时，其高.故填.