2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第1课时空间向量及基本应用（附解析）

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1. 已知空间两点，，则线段的中点坐标是（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意，可知线段 的中点坐标为,,，即.故选.
2. 在下列命题中：
①若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；
③若三个向量，，两两共面，则向量，，共面；
④已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数，，使得.
其中正确命题的个数是（ A ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
解：与 共线，，所在的直线也可能重合，故①不正确.
空间任意两向量，都共面，故②不正确.
三个向量，，中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确.
只有当，，不共面时，空间任意一向量 才能表示为，故④不正确.
综上,可知四个命题中正确的个数为0.
故选.
3. 已知向量，，则与的夹角为（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意,得,.设 与 的夹角为 ，则.则 .故选.
4. 在空间四边形中，若向量，，，分别为线段，的中点，则的坐标为（ B ）
A. B. C. D.
解：如图所示，取 的中点，连接,,则,,,,,.
所以.故选 .
5. 设，，向量，，，且，，则（ C ）
A. B. C. 3D. 4
解：因为//，所以，所以.
所以.
因为，所以.
所以.所以.所以，所以.故选.
6. 已知平面 内有一点，平面 的一个法向量为，点在平面 内,则点的坐标可能是（ A ）
A. B. C. D.
解：对于，，
，所以.
所以点 在平面 内．
同理,可验证其他三个点均不在平面 内．故选.
7. 如图，在四面体中，，，，为的中点，为的中点，若,则,,的值分别为（ A ）
A. ,,B. ,,C. ,,D. ,,
解：.故选.
8. 如图，在四棱锥中， 底面，，，，，为棱的中点．证明：
（1） ；
证明：因为 底面，所以,.又，所以以点 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，.
由点 为 的中点，得．
[答案]
，，
，所以.
（2） 平面；
[答案]
因为 平面， 平面，
所以.又，，， 平面，所以 平面.
所以 为平面 的一个法向量.
而，所以.
又 平面，所以 平面.
（3） 平面 平面.
[答案]
由（2）知平面 的一个法向量为，.
设平面 的法向量为，则 取，可得.
因为，
所以.所以平面 平面.
【综合运用】
9. 已知空间向量,,，若,,共面，则（ C ）
A. 1B. 2C. 6D.
解：若,,共面，则存在实数,，使得，即．
则 解得 所以.
故选.
10. 如图所示，已知空间四边形，，且，则，的值为（ A ）
A. 0B. C. D.
解：设，，.由已知,得，，，且，，所以，.故选.
11. 如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点且，为的中点，为上一点且，则（ D ）
A. 5B. 3C. D.
解：以 为一组基底，
则



，
所以.故选.
12. 如图，在三棱锥中，，为的中点， 平面，垂足落在线段上.已知，，，.
（1） 证明：.
证明：由，是 的中点，得.
以 为坐标原点，，所在直线为 轴、轴，过点 作平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，.
于是，，所以，所以，即.
（2） 若点是线段上一点，且.试证明平面 平面.
[答案]
由（1）知.又，且点 在线段 上，
所以.又，
所以.
则，
所以，即.
又根据（1）的结论,知，且，
所以 平面.
于是 平面.
又 平面，故平面 平面.
【拓广探索】
13. 已知点在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（ C ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
解：取 的中点，连接，如图所示.
则.
当点 在正方体表面上运动，运动到点 或点 处时，最大.
,所以 的最大值为8.
故选 .