备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练50球与几何体的切接问题（附解析人教A版）

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1.(2020·天津,5)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.12πB.24πC.36πD.144π
2.(2024·贵州凯里一中模拟)已知某封闭的直三棱柱各棱长均为2,若三棱柱内有一个球,则该球表面积的最大值为( )
A.B.C.4πD.
3.(2024·浙江余姚模拟)在正四棱锥S-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧面是腰长为的等腰三角形,则正四棱锥S-ABCD的外接球的体积为( )
A.B.9πC.D.18π
4.(2024·江西南昌模拟)在三棱锥P-ABC中,已知PA=BC=2,AC=PB=,PC=AB=,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )
A.77πB.64πC.108πD.72π
5.(2021·天津,6)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为1∶3,则这两个圆锥的体积之和为( )
A.3πB.4πC.9πD.12π
6.(2024·广东深圳模拟)已知正三棱锥的外接球半径R为1,则该正三棱锥的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
7.(多选题)(2024·辽宁辽阳模拟)正三棱锥P-ABC的底面边长为3,高为,则下列结论正确的是( )
A.AB⊥PC
B.三棱锥P-ABC的表面积为9
C.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为27π
D.三棱锥P-ABC的内切球的表面积为
8.将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为 .
9.(2024·陕西汉中模拟)在如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是直角三角形,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积是 .
10.(2024·贵州贵阳模拟)SF6(六氟化硫)具有良好的绝缘性,在电子工业上有着广泛的应用,其分子结构如图所示,六个氟原子分别位于正方体六个面的中心,硫原子位于正方体中心,若正方体的棱长为a,记以六个氟原子为顶点的正八面体为T,则T的体积为 ,T的内切球表面积为 .
综 合 提升练
11.(2024·贵州贵阳模拟)已知球O的表面积为9π,若球O与正四面体S-ABC的六条棱均相切,则此四面体的体积为( )
A.9B.3
C.D.
12.(2024·四川射洪中学模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有顶点都在球O上,若球O的体积为,则该正三棱柱体积的最大值为 .
13.(2023·全国甲,文16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是 .
14.(2024·广东深圳模拟)已知四边形ABCD为平行四边形,AB=4,AD=3,∠BAD=,现将△ABD沿直线BD翻折,得到三棱锥A'-BCD,若A'C=,则三棱锥A'-BCD的内切球与外接球表面积的比值为 .
创 新 应用练
15.(2024·山东烟台模拟)如图所示,在五面体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,AB=2AD=2,△ADE和△BCF均为正三角形,EF∥平面ABCD,EF=3,则该五面体的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
课时规范练50 球与几何体的切、接问题
1.C 解析 这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即R==3,所以这个球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.
2.A 解析 设底面三角形的内切圆的半径为r,则(2+2+2)·r=2×2sin,解得r=,小于高的一半1,所以该球的最大半径为,所以球的表面积的最大值为4πr2=
3. C 解析 如图所示,不妨设该四棱锥外接球的球心O在线段SE上,球心O在线段SE的延长线的情况可同理讨论.设球的半径为R.三棱锥的底面中心为E,连接SE,BO,BE.因为在正四棱锥S-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧面是腰长为的等腰三角形,所以BE=,SE==2.在Rt△OBE中,OB2=OE2+BE2,即R2=(2-R)2+()2,解得R=球心O在线段SE的延长线上时,可得R2=(R-2)2+()2,解得R=所以外接球的体积为V=R3=
4.A 解析 因为三棱锥的对棱相等,所以可以把它补成一个长方体.设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,且长方体的面对角线长为2,则=2,此长方体体对角线为长方体外接球直径,即为该三棱锥外接球的直径,设此外接球半径为R,则2R=,R=,所以球的表面积为4πR2=77π.
5.B 解析 如图所示,设两个圆锥的底面圆圆心为点D,设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1,即AD=3BD.
设球的半径为R,则,可得R=2,所以AB=AD+BD=4BD=4,所以BD=1,AD=3.因为CD⊥AB,AC⊥BC,所以∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°,所以∠CAD=∠BCD,又因为∠ADC=∠BDC,所以△ACD∽△CBD,所以,所以CD=因此,这两个圆锥的体积之和为CD2·(AD+BD)=3×4=4π.
6. C 解析 如图所示,设该正三棱锥的高为h,底面外接圆的圆心是点O1,半径为r,底面面积为S,球心是点O.当球心O在线段SO1上时,由球的截面圆的性质,可得OA2=A+O,即R2=r2+(h-R)2,同理,当球心O在线段SO1的延长线上时,可得R2=r2+(R-h)2,解得R==1,即r2=2h-h2>0,解得00,函数V(t)=(12-3t2)t在(0,)内单调递增,当AB,所以点O在平面ABCD的射影为点M.连接OM,则OM⊥平面ABCD.取BC的中点G,连接FG,作GH⊥EF,垂足为H,如图所示.
由题可知HF=,FG=,在Rt△FHG中,HG=,所以OM=HG=因为底面ABCD为矩形,OM⊥平面ABCD,所以外接球球心在直线OM上,且到多边形各顶点的距离相等.若球心O'在线段MO上,设O'M=x,则O'O=-x,x2+AM2=(-x)2+OE2,即x2+=(-x)2+,解得x=(舍).若球心O'在线段MO的延长线上,设OO'=y,外接球的半径为R,连接O'E,O'A,显然O'E=O'A=R,则OE2+y2=R2且AM2+(OM+y)2=R2,即解得y=,R2=所以外接球的表面积S=4πR2=4π