福建省永春第一中学2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省永春第一中学2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若一个数的相反数是，则这个数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 某种细胞的直径是毫米，这个数用小数表示是（ ）
A. 0.00005B. 0.0005C. －50000D. 50000
4. 下列四个图案中是轴对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5. 已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是的点所表示的数有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6. 已知关于x的不等式组恰有5个整数解，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 若，，，比较a、b、c的大小（ ）
A. B. C. D.
8. 甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（ ）
A. 甲超市的利润逐月减少B. 乙超市的利润在1月至4月间逐月增加
C. 8月份两家超市利润相同D. 乙超市在9月份的利润必超过甲超市
9. 如图1，在菱形ABCD中，，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
10. 如图，四边形ABCD中，，AB，CD的长度可变化，点E在BC上，点F在AD上，若，，且F是AD的中点，则DE的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 一个多边形的每一个外角都等于，它是______边形.
12. 如图，中，，于点D，E是AC中点，若，则AB的长为______.
13. 如图，在平行四边形纸板ABCD中，点E，F，O分别为AB，CD，BD的中点，连接DE，OF，BF.将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为______.
14. 如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是______.
15. 如图，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一新函数图象.若一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是______.
16. 魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离.受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下是数据（单位：米）：表目距，，表高目，表距.则山高______米.
三、解答题
17.（8分）计算：.
18.（8分）如图，点C是线段BD上一点，，，.求证：.
19.（8分）先化简，再求值：，其中.
20.（8分）永春一中在“社团纳新”活动中，有四个社团那些：A. 乒乓球社团，B. 舞蹈社团，C. 文学社团，D. 手工社团.每名学生从中选择并且只能选择一个试题，学校就学生选择的社团对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人；扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是______，并补全条形统计图；
（2）该校共有2500名学生，请估计选择“手工社团”的学生有多少人？
（3）七年一班在最喜欢“乒乓球社团”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.
21.（8分）“北斗三号全球卫星导航系统”是我国航天事业的主要成果，它实现了当今时代的大量信息传递.数学兴趣小组研究如下问题：某卫星的轨道高度.小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：地球可看作是一个球心为O，半径为r的球，其表面积为.
信息二：地球静止同步卫星轨道位于赤道所在平面，轨道高度h指卫星到地球表面的距离.
信息三：地球表面上观测点A的纬度指OA与赤道平面所成的角的度数.地球表面能直接观测到卫星的点的纬度最大值为.
信息四：卫星信号覆盖地球表面的表面积为.
若卫星信号的覆盖面积与地球表面积之比为，根据以上信息，h为多少？（用含r的代数式表示）
22.（10分）如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作交DE、DC分别于P、F点，连PC.
（1）若点E为BC的中点，，，求PF的长；
（2）若正方形边长为4，直接写出PC的最小值______.
23.（10分）某数学小组在“探究密闭容器内容器体积与气体密度关系”实验中，固定密闭容器内一定质量的二氧化碳，得到下表中体积与密度的几组对应值.根据学习函数的经验，他们对体积与密度之间的函数关系进行探究.
（1）根据表中数据，求密度关于体积的函数解析式并求出a的值.
（2）若直线与上述探究的函数图像交于点A，B（点A在点B的左边），在AB段的双曲线上是否存在点D，使得的面积最大.若存在，求出点D，若不存在，说明理由.
24.（13分）已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，点F是外一点，连接EC、CF和DF，且.
【问题背景】（1）如图1，若，，求证：；
【问题拓展】（2）如图2，在（1）的条件下，连接FE并延长和AB交于点P，FP和CD交于点Q，求证：；
【问题迁移】（3）如图3，连接AE和BF，点M是BF的中点，连接EM和CM，若，，，，求线段AB的长.
图1 图2 图3
25.（13分）如图1，抛物线与x轴交于点A和点B.点B的坐标是，与y轴交于点，点D在抛物线上运动、作直线AC.
图1 图2
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图2，D是直线AC下方抛物线上的动点，连接DB交AC于点E，当时，求点D的横坐标；
（3）连接AD和DC，当的面积是4时，请直接写出符合条件的点D的坐标.
永春一中九年级期中考试数学科答案（）
一、选择题（每题4分，共40分）
1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9.C 10.A
二、填空题（每题4分，共24分）
11.二十 12.6 13. 14.或 15. 16.220
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17.解：原式.
18.证明：，
在和中
，
，
.
19.解：原式.
当x＝2时，
原式.
解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人），
∴扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是，
喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），
故答案为：100，144°，
补全条形统计图如图所示：
（2）由题意得：（人），
答：估计选择“手工社团”的学生约有1000人；
（3）画树形图：
共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是.
21.解：设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，
过作圆的切线，线段交圆于点，如图，
，
则
又，
∴，∴，∴.
22.（1）解：证明：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
点为的中点；
延长到，使得，连接，
，
，
又，分别是，的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
.
（2）取的中点，连接，，
，
，
，
、、共线时，的值最小，最小值为.
故答案为：.
23.（1）设密度关于体积的函数表达式为
当即
（2）如图所示
解方程组
解得
设，其中
过作轴交于
设
当且仅当，即时，等式成立
另解：
方程有解
或
或
当时，
（负值舍去）
24.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠CDF，
∴∠CBD＝∠CDF，
∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCD﹣∠DCE＝∠ECF﹣∠DCE，
即∠BCE＝∠DCF，
又∵CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
（2）证明：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴，AB∥CD，
∴∠BPE＝∠CQF，
如图2，在CD上取一点T，使FT＝FD，连接FT，
则∠FTD＝∠FDT，
∴FT＝FD，
∵BE＝FD，
∴BE＝FT，
∵∠ADB＝∠CDF，
∴∠PBE＝∠QTF，
∴△PBE≌△QTF（AAS），
∴PE＝QF；
图2
（3）解：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠CDE＝30°，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵∠ADE＝∠CDE＝30°，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，
∵DF＝CF＝CE，
∴DF＝EC＝CF＝AE＝5，
如图3，连接AC，
∵∠ADC＝60°，AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACE≌△DCF（SSS），
∴∠ACE＝∠DCF，
∵∠ACE+∠ECD＝60°，
∴∠DCF+∠ECD＝60°，
即∠ECF＝60°，
延长FC到点N使CN＝CE，连接BN，
∵∠BCD＝∠ECN＝120°，
∴∠BCN＝∠DCE，
∵BC＝CD，
∴△BCN≌△DCE（SAS），
∴BN＝DE，∠NBC＝∠EDC＝30°，
∵点M是BF的中点，CF＝CN，
∴CM是△FBN的中位线，
∴CM∥BN，，
∴∠BCM＝∠NBC＝30°，
∴∠MCD＝∠BCD﹣∠BCM＝120°﹣30°＝90°，
∴MC⊥CD，
过点E作EH⊥CD于点H，则EH∥MC，
在Rt△EHD中，，
∴EH＝MC，
∴四边形EMCH是平行四边形，
又∵∠MCD＝90°，
∴平行四边形EMCH为矩形，
∴∠EMC＝90°，
设MC＝EH＝3a，则ED＝6a，
∵ED﹣ME＝2，
∴ME＝6a﹣2，
在Rt△EMC中，由勾股定理得：ME2+MC2＝EC2，
即（6a﹣2）2+（3a）2＝52，
解得：a1＝1，（不符合题意，舍去），
∴MC＝EH＝3，ME＝CH＝4，
∴ED＝6，
∴，
∴，
∴.
图3
25.（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
令，则
解得，
∴点的横坐标为；
∴点的坐标为；
（2）解：过点D作轴于点F，过点E作轴于点G，如图，
∵，
∴
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴
∵D在抛物线上，
∴设D点的坐标为，
∵D是直线下方抛物线上的动点，
∴，
∴
∴
∴E点坐标为，即
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点E在直线上，
∴
整理得，，
解得，，
当时，；
当时，；
∴点D的横坐标为或；
（3）解：①当点D在的下方时，如图，连接，
设，
∴点D到x轴的距离为，到y轴的距离为，
∵，
∴
，
整理得，
解得，，
当时，
∴点D的坐标为；
②当点D在的上方时，设，如图，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为
∴当时，，
∵
∴，
整理得，，
解得，（负值舍去），
当时，；
∴点D的坐标为；
设，如图，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为
∴当时，，
∵
∴，
整理得，，
解得，（正值舍去），
当时，；
∴点D的坐标为；
综上，点D的坐标为或或.
…
2
3
4
5
6
…
…
6
4
a
2.4
2
…