福建省永春第一中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)

永春一中初三年级期中考试数学科试卷（2022.11）

命题：学校指定命题    考试时间120分钟，试卷总分150分，成绩______

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下列各组中的四条线段成比例的是（    ）

A.5cm，2cm，1cm，3cm B.4cm，2cm，3cm，5cm

C.3cm，4cm，5cm，6cm D.2cm，4cm，4cm，8cm

2.要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ）

A. B. C.且 D.且且

3.下列计算正确的是（    ）

A. B. C. D.

4.一元二次方程根的情况是（    ）

A.有两个相等实数根  B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根  D.不确定

5.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6.下列结论不正确的是（    ）

A.所有的等腰直角三角形都相似 B.所有的正方形都相似

C.所有的平行四边形都相似 D.有一个角是110°的两个等腰三角形相似

7.已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是（    ）.

A.8 B.9 C.7 D.6

8.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则（    ）

A. B. C. D.

9.已知a是实数，并且，则代数式的值是（    ）学科网（北京）

A．2017 B．2021 C．2020 D．2022

10.如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11.如果，那么_____．

12.计算：______.

13.若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值可以为______.（写出一个即可）．

14.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．

15.如图，，如果，，，那么______．

16.如图，点D在等边三角形ABC的边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线EF分别交边AB、AC于点E、F．当时，的值为______．

三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分8分）计算：

18.（本小题满分8分）已知关于x的方程

（1）小明同学说：“无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根。”你认为他说的有道理吗？请说明理由；

（2）若方程的一个根是，求另一个根及m的值。学科网（北京）股份有限公司初中

19.（本小题满分8分）解方程：

20.（本小题满分8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

（1）网格中的形状是______．

（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使与全等．

（3）在图②中的边BC上确定一点E，连结AE，使．

（4）在图③中的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使，且相似比为．

21.（本小题满分8分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）

22.（本小题满分10分）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：.设这种商品每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

23.（本小题满分10分）一块直角三角形木料板的一条直角边AB长3m，面积为，现要把它加工成一个面积较大的正方形桌面，甲.乙两位同学的加工方法分别如图甲、乙，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计，结果可保留分数）学科网

（北京）股份有限公司初中

24.（本小题满分13分）【问题情境】

（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.射影定理是数学图形计算的重要定理.

其符号语言是：如图，在中，，，垂足为D，则：（1），（2），（3）；请你证明定理中的结论（2）．【结论运用】

（2）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作，垂足为F，连接OF，

①求证：；

②若，求OF的长．学科网（北京）股份有限公司初中

25.（本小题满分13分）如图，点是双曲线（）上一动点，且m、n为关于x的一元二次方程的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，FO的延长线交过B点与AB垂直的直线于点Q．

（1）求双曲线的解析式；

（2）求OP的最小值；

（3）若点O到AB的距离等于OP的最小值，求的值．

永春一中2022秋初三数学期中数学试卷答案定稿

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.D   2.B   3.D   4.C   5.D   6.C   7.A   8.B   9.C   10.A

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.    12.4   13.2（答案不唯一）   14.   15.2.4

16.【答案】

【解析】

【分析】连接DE，DF，利用SSS证明，再证明，可得，设，则，，，，，进而可得结论．

【详解】解：如图，连接DE，DF，

∵EF垂直平分AD，

∴，，

在和中，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，学科网（北京）股份有限公司

∴，

设，则，，

∴，

∴，

∴，

∴，∴，

∴，∴．

故答案为：．

三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．）

17.（本题8分）【详解】解：.

18.（本题8分）解：有道理，理由如下：

∵

∴无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：将代入方程得  解得

∴原方程为   ∴

∴另一个根为2，．

19.（本题8分）解方程：解：

∴，

20.（本题8分）（1）网格中的形状是 直角三角形 .

（2）如图①，点D即为所求（答案不唯一）．

（3）如图②，点E即为所求.

（4）如图③，点P，Q即为所求．

学科网（北京）股份有限公司

21.（本题8分）先画出图形，再根据图形写出已知.求证

证明过程

22.（本题10分）【详解】解：（1）由题意得：

；

故w与x的函数关系式为：；

（2）当时，可得方程，

解得，，

∵，∴不符合题意，应舍去．

答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．

【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本.利润的基本数量关系及解一元二次方程是解题的关键．

23.【详解】解：∵，，

∴，

甲同学：设正方形的边长为am学科网（北京）股份有限公司

则，

由正方形的性质得：

∴

∴，即

解得

则正方形的面积为

乙同学：

设正方形的边长为bm，则

由正方形的性质得：，

∴

∴，即

解得

∴

在和中，

∴

∴，

解得

则正方形的面积为

因

则甲同学的加工方法更好．

【点睛】本题考查了正方形的性质.勾股定理.相似三角形的判定与性质等知识点，理解题意，掌握正方

形与相似三角形的性质结合是解题关键．

24.【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②

【解析】

【分析】（1）通过证明得到，然后利用比例性质即可得到；

（2）根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到；

（3）先计算出CE、DE、OB的长，再利用（1）中结论得到，即可求得OF的长．

【详解】（1）证明：如图1，∵，，∴，而，

∴，∴，

∴；

（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，

∴，，∴，

∵，∴，∴，即，

而，∴；

②∵在中，，，

∴，∴，

在中，，

∵，∴，即，

∴

【点睛】本题考查射影定理.

25.【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，即可求解；

（2）根据题意可得，从而得到当时，OP最小，即可求解；

（3）过点O作于点G，可得到，设，可得，再由，，，可得到，，从而得到，，进而得到，即可求解．

【详解】解：（1）∵m、n为关于x的一元二次方程的两根，

∴，

∵点在双曲线（）上．

∴，

∴双曲线的解析式为；

（2）∵点，

∴

∴当时，OP最小，最小值为，

即OP的最小值为；

（3）如图，过点O作于点G，

∵点O到AB的距离等于OP的最小值，

∴，

设，

∵点F是AE的中点，

∴，

∵，，，

∴，

∴，，

∴，，学科网（北京）股份有限公司

即，，

∴，

∴，

∴，

∴，

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.